高中数学选修第2章2_3_1同步练习
高中数学人教A版选2-1 同步练习
.双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F2(－3，0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
已知A(0，－4)，B(0，4)，|PA|－|PB|＝2a，则当a＝3和4时，点P的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和两条射线
C．双曲线一支和一条直线
D．双曲线一支和一条射线
解析：选D.当a＝3时，2a＝6<|AB|＝8，轨迹为双曲线上支；当a＝4时，2a＝8＝|AB|，轨迹为以B为端点，向上的一条射线．
(2011·高考上海卷)设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝__________．
解析：由已知条件知m＋9＝52，所以m＝16.
答案：16
已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是__________．
解析：由于双曲线－＝1的右焦点为F(5，0)，将xM＝5，代入双曲线方程可得|yM|＝，即为点M到右焦点的距离，由双曲线的定义知M到左焦点的距离为＋2×3＝.
答案：
[A级 基础达标]
方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：选C.依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D.依题意：
解得a＝1.故选D.
若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．(5，10) B．(－∞，5)
C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)
解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5
9(舍去)．
∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
根据下列条件，求双曲线的方程：
(1)以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)；
(2)以椭圆＋＝1长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点．
解：(1)双曲线中c＝3，且焦点在y轴上，设方程为－＝1(a>0，b>0)，将A(4，－5)代入，得25b2－16a2＝a2b2.
又∵b2＝c2－a2，即b2＝9－a2，∴25(9－a2)－16a2＝a2(9－a2)．
解得a2＝5或a2＝45(舍)，b2＝9－a2＝4.
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)椭圆的焦点为(±，0)，相应的两个顶点为(±4，0)，
∴双曲线中，c＝4，a＝.
∴b2＝9，且双曲线的焦点在x轴上．
∴所求的双曲线方程为－＝1.
[B级 能力提升]
(2012·聊城质检)已知点F1(－，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2.当点P
的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是( )
A. B.
C. D．2
解析：选A.因为动点P满足|PF2|－|PF1|＝2为定值，又2<2，所以P点的轨迹为双曲线的一支．因为2a＝2，所以a＝1.又因为c＝，所以b2＝c2－a2＝1.所以P点轨迹为x2－y2＝1的一支．当y＝时，x2＝1＋y2＝，则P点到原点的距离为|PO|＝＝＝.
已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.∵·＝0，∴⊥，
∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，
∴(|MF1|－|MF2|)2
＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2
＝40－2×2＝36，
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，
又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，
∴双曲线方程为－y2＝1.
已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于__________．
解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于×16× ＝48.
答案：48
已知圆C方程为(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
解：∵圆P与圆C外切，∴|PC|＝|PA|＋2，
即|PC|－|PA|＝2，
∵0<|PC|－|PA|<|AC|＝6，
∴由双曲线定义，点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝9－1＝8，
故所求轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
(创新题)方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求角α所在的象限．
解：将方程化为－＝1.
∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，
∴，即.
∴α在第四象限．
