2019届二轮复习（理）专题35空间几何体的表面积和体积学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题35空间几何体的表面积和体积学案（全国通用）

‎ ‎ ‎ 1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．‎ ‎ ‎ ‎1.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ 高频考点一　求空间几何体的表面积 例1、[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)‎ A.10　 B．‎12　 ‎C．14　 D．16‎ 答案　B 解析　观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B. ‎ ‎【变式探究】 (1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2 ‎(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎(3)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．‎ 答案　(1)C　(2)B　(3)12‎ 解析　(1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示．‎ ‎∴其表面积S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选C.‎ ‎(3)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，‎ ‎∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12. ‎ ‎【感悟提升】空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎【变式探究】如图所示， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A.18＋36 B.54＋18 C.90 D.81‎ 答案　B 高频考点二　求空间几何体的体积 例2、[2017·全国卷Ⅱ]如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A.90π B．63π C．42π D．36π 答案　B 解析　(割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．‎ 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.‎ ‎【变式探究】(1)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D.1＋π ‎(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)‎ A.3 B. C.1 D. 解析　(1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋×π×＝＋π. ‎ 答案　(1)C　(2)C ‎【变式探究】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，‎ ‎＝＝.选D.‎ 高频考点三　求简单几何体的体积 例3、在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．2π 答案　C 解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，‎ 该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C. 学 . ‎ ‎【变式探究】(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于(　　)‎ A. B. C．36π D. ‎(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，‎ ‎ ‎ ‎(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，‎ 容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，‎ ‎∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，‎ ‎∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.‎ ‎【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ 高频考点四　与球有关的切、接问题 例4、(1)[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A.π B. C. D. 答案　B 解析　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，‎ 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，‎ r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．‎ ‎∴r＝ ＝.‎ ‎∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.‎ ‎(2)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为(　　)‎ A.36π B. C．32π D．28π 答案　B ‎【举一反三】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，‎ AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2]‎ C. D．3 答案　C 解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，‎ 则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，‎ OM＝AA1＝6，‎ 所以球O的半径R＝OA＝＝. ‎ ‎【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎ ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎【变式探究】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. 答案　C 解析　由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为△ABC所在圆面的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，‎ ‎∴()2＋()2＝1，即x＝，则AB＝AC＝1，‎ ‎∴S矩形ABB1A1＝×1＝. ‎ ‎ ‎ ‎3. （2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2. （2018年全国Ⅱ卷理数） 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为 的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为 ‎1.[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ．‎ 答案　14π ‎ ‎ ‎2.[2017·山东高考]由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 ．‎ 答案　2＋　‎ 解析　该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，‎ ‎∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. ‎ ‎3、[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)‎ A.10　 B．‎12　 ‎C．14　 D．16‎ 答案　B ‎4、[2017·全国卷Ⅱ]如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A.90π B．63π C．42π D．36π 答案　B 解析　(割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．‎ ‎ 学 ]‎ ‎5、[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A.π B. C. D. 答案　B 解析　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，‎ 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，‎ r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．‎ ‎∴r＝ ＝.‎ ‎∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B. ‎ ‎6．[2017·江苏高考]如图，在圆柱O1O2内有一个球O ‎，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 ．‎ 答案　 ‎ ‎ ‎7.[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A．60 B．‎30 C．20 D．10‎ 答案　D 解析　由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝××3×5×4＝10.故选D.‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C. ‎ ‎3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）‎ A. ‎ B. C.D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎6.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为，2,2，所以，该三棱锥的体积为. ‎ ‎7.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为 ‎，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为 ‎1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.‎ ‎3.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，选A. ‎ ‎4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎5.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C． ‎ ‎7.【2015高考山东，理7】在梯形中，， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎8.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积，‎ 故选C.‎ ‎1．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ 图12‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B　‎ ‎2．（2014·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. ‎【答案】A　‎ ‎【解析】如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.‎ ‎3．（2014·陕西卷）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B．4π C．2π D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R)2＝()2＋12＋12，解得R＝1，所以该球的体积为V＝πR3＝π. ‎ ‎4．(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.　　　B.　　　C．200　　　D．240‎ ‎ ‎ 答案：C ‎5.(2013年高考广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　)‎ A．4　　　　　 B. C.　　　　　 D．6‎ 解析：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2‎ ‎，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.‎ 答案：B ‎6.(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．16＋8π B．8＋8π ‎ C．16＋16π D．8＋16π 解析：根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋×22π×4＝16＋8π，选择A. 学 . ‎ 答案：A ‎7.(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．‎ 答案：3π