高考数学人教A版（理）一轮复习：第八篇 第6讲 空间向量及其运算

高考数学人教A版（理）一轮复习：第八篇 第6讲 空间向量及其运算

第6讲 空间向量及其运算 A级　基础演练 ‎(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．在下列命题中：‎ ‎①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；‎ ‎②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；‎ ‎③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；‎ ‎④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.‎ 其中正确命题的个数是 (　　)．‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.‎ 答案　A ‎2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ (　　)．‎ A．－4 B．－2 C．4 D．2‎ 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，‎ ‎∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．‎ ‎∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.‎ 答案　D ‎3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．‎ A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}‎ C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}‎ 解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．‎ 答案　C ‎4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 (　　)．‎ A．0 　　　　 B. ‎ C. 　　　　 D. 解析　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．‎ ‎①＝2－－；②＝＋＋；‎ ‎③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；‎ 解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．‎ 答案　③‎ ‎6.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.‎ 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，‎ ·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.‎ 答案　0‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．‎ ‎(1)判断、、三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内．‎ 解　(1)由已知＋＋＝3 ，‎ ‎∴－＝(－)＋(－)，‎ 即＝＋＝－－，‎ ‎∴，，共面．‎ ‎(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，‎ ‎∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．‎ ‎8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，‎ ‎(1)试证：A1、G、C三点共线；‎ ‎(2)试证：A1C⊥平面BC1D；‎ ‎(3)求点C到平面BC1D的距离．‎ ‎(1)证明　＝＋＋＝＋＋，‎ 可以证明：＝(＋＋)＝，‎ ‎∴∥，即A1、G、C三点共线．‎ ‎(2)证明　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.‎ ‎(3)解　∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，‎ 即||＝a，因此||＝a.‎ 即C到平面BC1D的距离为a.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分) ‎ ‎1．(2013·海淀月考)以下四个命题中正确的是 (　　)．‎ A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0‎ D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．‎ 答案　B ‎2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1‎ 与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 (　　)．‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析　＝＋＝＋(－)‎ ‎＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，则CD的长为________．‎ 解析　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6，‎ ‎〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°‎ ‎||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2‎ ‎＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，‎ 则||＝2.‎ 答案　2 cm ‎4．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．‎ 解析　设＝a，＝b，＝c.‎ OA与BC所成的角为θ，‎ ·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.‎ ‎∴cos θ＝＝＝.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．‎ 证明　设＝a，＝b，＝c，则 ＝＋＝＋ ‎＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，‎ ＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝－a＋b＋c＝.‎ ‎∴∥，即B、G、N三点共线．‎ ‎6．(13分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；(2)·；(3)EG的长；‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．‎ 解　设＝a，＝b，＝c.‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，‎ ·＝·(－a)＝a2－a·c＝，‎ ‎(2)·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎ ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎ ＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.‎ ‎(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ 由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎