江苏省淮安市2013届高三11月第一次调研考试数学试题

江苏省淮安市2013届高三11月第一次调研考试数学试题

淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题 ‎2012.11‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卷对应的位置上）‎ ‎1.集合，，则 ．‎ ‎2.若复数满足，其中是虚数单位，则 ．‎ ‎3.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品的种数是 ． ‎ ‎4.已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ． ‎ ‎5.如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ． ‎ ‎6.已知点在圆上运动，则到直线的距离的最小值是 ．‎ ‎7过点.与函数（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ．‎ ‎8.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是 ．‎ ‎9.如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长，若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高度为 ．‎ ‎10.已知，若，则的值 为 ． ‎ ‎11.若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当 时，数列也是等差数列．‎ 12. 已知双曲线，分别是双曲线虚轴的上、下端点，分别是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为 ． ‎ 13. 设等差数列的前项和为，若取值范围是 ． ‎ ‎14.已知函数，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是 ．‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.（本题满分14分）‎ 已知，，分别是的三个内角，，的对边，若向量∥， ‎ （1） 求角的大小； ‎ （2） 求函数的值域 ‎16.（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中， 为的中点.‎ （1） 求证：平面；‎ （2） 求证：∥平面.‎ ‎17.（本题满分14分）‎ 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元，小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）‎ （1） 大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ （2） 在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？‎ ‎（利润=累计收入销售收入总支出）‎ ‎18.（本题满分16分）‎ 已知椭圆的离心率，一条准线方程为 ‎⑴求椭圆的方程；‎ ‎⑵设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且．‎ ‎①当直线的倾斜角为时，求的面积；‎ ‎②是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.（本题满分16分）‎ 已知各项均为正数的数列前项的和为，数列的前项的和为，且 ‎．‎ ‎⑴证明数列是等比数列，并写出通项公式；‎ ‎⑵若对恒成立，求的最小值；‎ ‎⑶若成等差数列，求正整数的值．‎ 20. ‎（本题满分16分）‎ 已知函数．‎ （1） 求的最大值；‎ （2） 若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ （3） 若关于的方程恰有一解，其中为自然对数的底数，求实数的值．‎ 淮安市2012-2013学年度高三年级第一次调查测试 ‎ 数学试题参考答案与评分标准 数学Ⅰ部分 一、填空题：‎ ‎1． 2．2 3． 6 4．4 5．5 6．2 7． 8． 　　　9．6 10． 11． 12． 13． 14． ‎ 二、解答题：‎ ‎15．(1) 因为向量，，且∥，‎ 所以, …………………………………………………………2分 由正弦定理，得, …………4分 即，所以， ………………………………………6分 因为，所以； …………………………………………………………8分 ‎(2) 因为 ,…12分 B A C D A1‎ B1‎ C1‎ G 而，所以函数的值域为, ……………………14分 ‎16．（1）因为在直三棱柱中，所以平面,‎ 因为平面，所以，‎ 又，,所以平面,‎ 因为，所以 ……………4分 又因为，所以是正方形，所以，‎ 又，所以平面， ……………………………………………8分 ‎(2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中，∥， ………………………………………………………………12分 因为平面，平面，所以∥平面，………………14分 ‎17．（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，‎ 则，‎ 即，…………………………………………………4分 由，解得，…………………………………6分 而，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． ……………………8分 ‎（2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手车后，小张的年平均利润为 ‎，…………………………………12分 而，当且仅当时等号成立． ‎ 答：小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大，………………………14分 ‎18．（1）因为，，， …………………………………2分 解得，所以椭圆方程为． ……………………………………4分 ‎（2）①由，解得 ，………………………………………………6分 由 得 ， …………………………………………………………8分 所以，所以． …………………………………10分 ‎②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则 因为，故，‎ 当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，‎ 由，得，所以， ………………………12分 同理可得 （将中的换成可得）……………………………14分 ‎，，‎ 当与的斜率有一个不存在时，可得，………………15分 故满足条件的定圆方程为：．………………………………………………16分 ‎19．（1）因为，其中是数列的前项和，是数列的前项和，且，‎ 当时，由，解得，……………………………………………2分 当时，由，解得； ………………………………4分 由，知，两式相减得 ‎，即，………………5分 亦即，从而，再次相减得 ‎，又，所以 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， ………………………………………7分 其通项公式为 ．……………………………………………………………8分 ‎（2）由（1）可得，，……10分 若对恒成立，‎ 只需对恒成立，‎ 因为对恒成立，所以,即的最小值为3；………………12分 ‎（3）若成等差数列，其中为正整数，则成等差数列，‎ 整理得，………………………………………………………………………14分 当时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立，‎ 所以满足条件的值为．……………………………………………………16分 ‎20．（1）因为，所以，…………………………………2分 由，且，得，由，且，，…………………4分 所以函数的单调增区间是，单调减区间是，‎ 所以当时，取得最大值；………………………………………………………6分 ‎（2）因为对一切恒成立，‎ 即对一切恒成立，‎ 亦即对一切恒成立，…………………………………………8分 设，因为，‎ 故在上递减，在上递增， ，‎ 所以． …………………………………………………………………………10分 ‎（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，‎ 由（1）知，在时，， …………………………………………12分 而函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故时，，…………………………………………………………14分 故方程恰有一解当且仅当，‎ 即． …………………………………………………………………………16分