秒杀题型02 椭圆、双曲线、抛物线定义

秒杀题型02 椭圆、双曲线、抛物线定义

2020 高考数学试题 之秒 锥曲线压轴题之秒 题 二： 椭 、双曲线、抛物线定义 秒 题 一：利用椭 定义解题： 秒 思路： 点 两定点 (距离为2c)距离之 为定值 (2a)的点的轨迹， i.2a> 2c，椭 ； ii.2a= 2c，两定点 定的线段； iii.2a< 2c，无轨迹。 1. (高考题)设 P 椭 x2 25 + y 2 16  = 1上的点,若 F1,F2 椭 的两个焦点, PF1 + PF2  于 （ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 2. (2014 辽宁卷)已知椭 C : x 2 9 + y 2 4 = 1,点M与C的焦点不 ,若M关于C的焦点的对称点 为A,B,线段MN的中点 C上, |AN |+ |BN |= . 秒 公式：过抛 的一个焦点作弦AB,与另一个焦点F 造三角形FAB，则FAB的 长 于 4a。 1. (2011 新课标全国卷14) 面直角 标系 xOy中,椭 C的中 为原点,焦点F1,F2 x轴上,离 率为 2  2 .过F1的直线 l交C于A,B两点,且ΔABF2的 长为 16, 么C的方 为 . 2. (高考题)已知 为椭 的两个焦点 , 过 的直线交椭 于 A ,B 两点 , , = . 3. (高考题)已知ΔABC的顶点B,C 椭 x2 3 + y2= 1上,顶点A 椭 的一个焦点,且椭 的另外一 个焦点 BC边上, ΔABC的 长 （ ） A. 2 3  B. 6 C. 4 3  D. 12 4. (高考题)已知椭 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点为F1、F2,离 率为 3  3 ,过F2的直线 l交 C于A,B两点,若ΔAF1B的 长为 4 3  , C的方 为（ ） A. x 2 3 + y 2 2 = 1 B. x 2 3 + y2= 1 C. x 2 12 + y 2 8 = 1 D. x 2 12 + y 2 4 = 1 〖母题〗已知经过椭 x2 25 + y 2 16 = 1的右焦点F2 直于 x轴的直线AB,交椭 于A,B两点,F1 椭 的左焦点 .（1）求ΔAF1B的 长; （2）如 AB不 直于 x轴,ΔAF1B的 长 变化 ?为什么? 秒 题 二：利用双曲线定义解题： 秒 思路： Ⅰ.双曲线上任意一点 两焦点距离之差的绝对值 数 2a; Ⅱ.注意定义中两个 件 : ①绝对值; ② 2a< 2c。 Ⅲ. 绝对值表示两支 (或两 ),不 绝对值表示一支 (或一 ); Ⅳ.① 2a< 2c时,表示双曲线； ② 2a= 2c时表示以两定点为端点 两 的 线； ③ 2a> 2c时，无轨迹。 Ⅴ. 2a= 0时表示两定点的中 线。 1. (2012 辽宁卷)已知双曲线 x2− y2= 1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2, PF1 + PF2 的值为_______. 2. (高考题)设椭 C1的离 率为 5 13 ,焦点 x轴上且长轴长为 26,若曲线C2上的点 椭 C1的两个 焦点的距离的差的绝对值 于 8, 曲线C2的标准方 为（ ） A. x 2 42 − y 2 32 = 1 B. x 2 132 − y 2 52 = 1 C. x 2 32 − y 2 42 = 1 D. x 2 132 − y2 122 = 1 3. (高考题)已知双曲线C的离 率为 2,焦点为F1、F2,点A C上,若 F1A = 2 F2A , cos∠AF2F1 =（ ） A. 1 4  B. 1 3  C. 2  4  D. 2  3  4. (高考题)若双曲线 E : x 2 9 - y 2 16 = 1 的左、右焦点 为 F1,F2,点P 双曲线 E上,且 PF1 = 3, PF2  于（ ） A. 11 B. 9 C. 5　　 D. 3 秒 公式：过双曲线的一个焦点作弦 AB（交到 一支上），与另一个焦点 F 造三角形 FAB，则 FAB的 长 于 4a+ 2AB。 1. (2013 辽宁卷)已知 F为双曲线C : x 2 9 − y 2 16 = 1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长 于虚轴 长的 2倍,点A 5,0  线段PQ上, ΔPQF的 长为 . 2. (高考题)过双曲线 x2 4 - y 2 3 = 1左焦点 F1的直线交双曲线的左支于M ,N两点,F2为其右焦点, MF2 + NF2 - MN 的值为 ． 〖母题〗已知双曲线 x2 a2 - y 2 b2 = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点 为 F1,F2,过 F1的直线与左支相交于A,B 两点,如 AF2 + BF2 = 2 AB , 么 AB = . 秒 题 三：利用抛物线定义解题： 秒 思路：III.抛物线： 定点 (焦点 )距离 于 定直线 (准线 )距离。 图 标准 方 y 2 = 2 px ( p > 0) y2=− 2px(p> 0) x2= 2py(p> 0) x2=− 2py(p> 0) 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦半 PF = x0+ p 2  PF =− x0+ p 2  PF = y0+ p 2  PF =-y0+ p 2  参数 p 的几 意义 参数 p表示焦点 准线的距离,p越大, 口越 阔 . 1. (2016 新课标全国卷I10)以抛物线 C的顶点为 的 交 C于 A,B两点,交C的准线于D,E两点 .已知 AB = 4 2  , DE = 2 5  , C的焦点 准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. (高考题)抛物线 y= 4x2上的一点M 焦点的距离为 1, 点M的纵 标 （ ） A. 17 16  B. 15 16  C. 7 8  D. 0 3. (高考题)设抛物线 y2= 8x上一点P y轴的距离 4, 点P 该抛物线焦点的距离 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. (高考题)已知F 抛物线 y2= x的焦点,A,B 该抛物线上的两点, AF + BF = 3, 线段AB的 中点 y轴的距离为（ ） A. 3 4  B. 1 C. 5 4  D. 7 4  秒 公式：焦点 x轴上的 锥曲线,曲线上的点到 一个焦点的距离成 差数列，则横 标成 差 数列，反过 也成立。 1. (2007 新课标全国卷6)已知抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点为F,点P1 x1,y1 ,P2 x2,y2 ,P3 x3,y3  抛物线上,且 2x2= x1+ x3, （ ） A. FP1 + FP2 = FP3  B. FP1 2+ FP2 2= FP3 2 C. 2 FP2 = FP1 + FP3  D. FP2 2= FP1 · FP3  2. (2018 新课标全国卷III20)已知斜率为 k的直线 l与椭 C : x 2 4 + y 2 3 = 1交于A,B两点 .线段AB 的中点为M 1，m m> 0 ． （1）证 : k<- 1 2 ； （2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP  +FA  +FB  = 0.证 ：FA   , FP   , FB   成 差数 , 求该数 的公差． 秒 技巧 :一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化 为到焦点的距离 . 1. (2014 新课标全国卷I10)已知抛物线C : y2= 8x的焦点为F,准线为 l,P l上一点,Q 直线PF 与C的一个焦点,若FP  = 4FQ  , |QF |=（ ） A. 7 2  B. 5 2  C. 3 D. 2 2. (2017 新课标全国卷II16)已知F 抛物线C : y2= 8x的焦点,M C上一点,FM的延长线交 y轴 于点N .若M为FN的中点， FN = . 秒 公式：作过抛物线焦点且倾斜角为 60°或 120°的弦,两段焦半径分别为 : 2p,2p 3 . 1. (2017 新课标全国卷II文12)过抛物线C : y2= 4x的焦点F,且斜率为 3  的直线交C于点M (M x轴上方 ),l为C的准线,点N l上且MN⊥ l, M 直线NF的距离为（ ） A. 5  B. 2 2  C. 2 3  D. 3 3  2. (高考题)设抛物线 y2= 8x的焦点为F,准线为 l,P为抛物线上一点,PA⊥ l,A为 足,如 直线AF 的斜率为- 3  , 么 PF =（ ） A. 4 3  B. 8 C. 8 3  D. 16 3. (高考题)设O 标原点,F 抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点,A 抛物线上的一点,FA  与 x轴正 的夹角为 60°, OA   为 ． 4. (高考题)抛物线 y2= 4x的焦点为F,准线为 l,经过F且斜率为 3  的直线与抛物线 x轴上方的部 相交于点A,AK⊥ l, 足为K, △AKF的面积 （ ） A. 4 B. 3 3  C. 4 3  D. 8 〖母题〗已知抛物线 y2= 2px(p> 0)上一点M与焦点F的距离 MF = 2p,求点M的 标 . 〖母题6〗M 抛物线 y2= 4x上一点,F 抛物线的焦点,以 Fx为始边、FM为终边的角∠ xFM= 60°,求 FM . 2020 高考数学试题 之秒 锥曲线压轴题之秒 题 二： 椭 、双曲线、抛物线定义 秒 题 一：利用椭 定义解题： 秒 思路： 点 两定点 (距离为2c)距离之 为定值 (2a)的点的轨迹， i.2a> 2c，椭 ； ii.2a= 2c，两定点 定的线段； iii.2a< 2c，无轨迹。 1. (高考题)设 P 椭 x2 25 + y 2 16  = 1上的点,若 F1,F2 椭 的两个焦点, PF1 + PF2  于 （ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【解 】 用椭 的定义 PF1 + PF2 = 2a= 10, D。 2. (2014 辽宁卷)已知椭 C : x 2 9 + y 2 4 = 1,点M与C的焦点不 ,若M关于C的焦点的对称点 为A,B,线段MN的中点 C上, |AN |+ |BN |= . 【解 】如图,BN= 2QF2,AN= 2QF1, |AN |+ |BN |= 2(QF1+QF2) = 4a= 12. 秒 公式：过抛 的一个焦点作弦AB,与另一个焦点F 造三角形 FAB，则FAB的 长 于 4a。 1. (2011 新课标全国卷14) 面直角 标系 xOy中,椭 C的中 为原点,焦点F1,F2 x轴上,离 率为 2  2 .过F1的直线 l交C于 A,B两点,且ΔABF2的 长为 16, 么C的方 为 . 【解 】4a= 16,a= 4, 方 为 : x 2 16 + y 2 8 = 1. 2. (高考题)已知 为椭 的两个焦点 , 过 的直线交椭 于 A ,B 两点 , , = . 【解 】AB = 4a− 12= 8。 3. (高考题)已知ΔABC的顶点B,C 椭 x2 3 + y2= 1上,顶点A 椭 的一个焦点,且椭 的另外一 个焦点 BC边上, ΔABC的 长 ( ) A. 2 3  B. 6 C. 4 3  D. 12 【解 】 长为：4a= 4 3  ， C。 4. (高考题)已知椭 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点为F1、F2,离 率为 3  3 ,过F2的直线 l交 C于A,B两点,若ΔAF1B的 长为 4 3  , C的方 为 ( ) A. x 2 3 + y 2 2 = 1 B. x 2 3 + y2= 1 C. x 2 12 + y 2 8 = 1 D. x 2 12 + y 2 4 = 1 【解 】4a= 4 3  ，∴ a= 3  ，c= 1,b= 2  ， A。 〖母题〗已知经过椭 x2 25 + y 2 16 = 1的右焦点F2 直于 x轴的直线AB,交椭 于A,B两点,F1 椭 的左焦点 .（1） ΔAF1B的 长; （2）如 AB不 直于 x轴,ΔAF1B的 长 变化 ?为什么? 【解 】（1）20；（2）不变。 秒 题 二：利用双曲线定义解题： 秒 思路： Ⅰ.双曲线上任意一点 两焦点距离之差的绝对值 数 2a; Ⅱ.注意定义中两个 件 : ①绝对值; ② 2a< 2c。 Ⅲ. 绝对值表示两支 (或两 ),不 绝对值表示一支 (或一 ); Ⅳ.① 2a< 2c时,表示双曲线； ② 2a= 2c时表示以两定点为端点 两 的 线； ③ 2a> 2c时，无轨迹。 Ⅴ. 2a= 0时表示两定点的中 线。 1. (2012 辽宁卷)已知双曲线 x2− y2= 1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2, PF1 + PF2 的值为_______. 【解 】r1− r2= 2,r12+ r22= 8, PF1 + PF2 = 2 3  . 2. (高考题)设椭 C1的离 率为 5 13 ,焦点 x轴上且长轴长为 26,若曲线C2上的点 椭 C1的两个 焦点的距离的差的绝对值 于 8, 曲线C2的标准方 为 ( ) A. x 2 42 − y 2 32 = 1 B. x 2 132 − y 2 52 = 1 C. x 2 32 − y 2 42 = 1 D. x 2 132 − y2 122 = 1 【解 】由双曲线定义 a= 4，c= 5，b= 3， A。 3. (高考题)已知双曲线C的离 率为 2,焦点为F1、F2,点A C上,若 F1A = 2 F2A , cos∠AF2F1 = ( ) A. 1 4  B. 1 3  C. 2  4  D. 2  3  【解 】由双曲线定义 ：F1A − F2A = 2a，F1A = 2 F2A ，∴ F1A = 4a, F2A = 2a，F1F2 = 2c = 4a，由 定理 ：cos∠AF2F1= 1 4 ， A。 4. (高考题)若双曲线 E : x 2 9 - y 2 16 = 1 的左、右焦点 为 F1,F2,点P 双曲线 E上,且 PF1 = 3, PF2  于 ( ) A. 11 B. 9 C. 5　　 D. 3 【解 】由双曲线定义 ：PF2 = 9, B。 秒 公式：过双曲线的一个焦点作弦 AB（交到 一支上），与另一个焦点 F 造三角形 FAB，则 FAB的 长 于 4a+ 2AB。 1. (2013 辽宁卷)已知 F为双曲线C : x 2 9 − y 2 16 = 1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长 于虚轴 长的 2倍,点A 5,0  线段PQ上, ΔPQF的 长为 . 【解 】4a+ 2PQ= 44. 2. (高考题)过双曲线 x2 4 - y 2 3 = 1左焦点 F1的直线交双曲线的左支于M ,N两点,F2为其右焦点, MF2 + NF2 - MN 的值为 ． 【解 】MF2 - MF1 = 2a①，NF2 - NF1 = 2a②，①+②可 MF2 + NF2 - MN = 4a，而 a = 2， 于 8。 〖母题〗已知双曲线 x2 a2 - y 2 b2 = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点 为 F1,F2,过 F1的直线与左支相交于A,B 两点,如 AF2 + BF2 = 2 AB , 么 AB = . 【解 】4a。 秒 题 三：利用抛物线定义解题： 秒 思路：III.抛物线： 定点 (焦点 )距离 于 定直线 (准线 )距离。 图 标准 方 y2= 2px(p> 0) y2=− 2px(p> 0) x2= 2py(p> 0) x2=− 2py(p> 0) 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦半 PF = x0+ p 2  PF =− x0+ p 2  PF = y0+ p 2  PF =-y0+ p 2  参数 p的 几 意义 参数 p表示焦点 准线的距离,p越大, 口越 阔 . 1. (2016 新课标全国卷I10)以抛物线C的顶点为 的 交C于A,B两点,交C的准线于D,E两 点 .已知 AB = 4 2  , DE = 2 5  , C的焦点 准线的距离为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【解 】 AM = 2 2  = yA , 8 = 2 px A ,x A = 4 p  ,R = 4 p  + p 2  = DN 2+ON 2  = 5+ p 2 4   ,p= 4, B。 2. (高考题)抛物线 y= 4x2上的一点M 焦点的距离为 1, 点M的纵 标 ( ) A. 17 16  B. 15 16  C. 7 8  D. 0 【解 】由抛物线定义 B。 3. (高考题)设抛物线 y2= 8x上一点P y轴的距离 4, 点P 该抛物线焦点的距离 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【解 】由抛物线定义 B。 4. (高考题)已知F 抛物线 y2= x的焦点,A,B 该抛物线上的两点, AF + BF = 3, 线段AB的 中点 y轴的距离为 ( ) A. 3 4  B. 1 C. 5 4  D. 7 4  【解 】由抛物线定义 C。 秒 公式：焦点 x轴上的 锥曲线,曲线上的点到 一个焦点的距离成 差数列，则横 标成 差 数列，反过 也成立。 1. (2007 新课标全国卷6)已知抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点为F,点P1 x1,y1 ,P2 x2,y2 ,P3 x3,y3  抛物线上,且 2x2= x1+ x3, ( ) A. FP1 + FP2 = FP3  B. FP1 2+ FP2 2= FP3 2 C. 2 FP2 = FP1 + FP3  D. FP2 2= FP1 · FP3  【解 】2x2= x1+ x3可知焦半 成 差数 , C. 2. (2018 新课标全国卷III20)已知斜率为 k的直线 l与椭 C : x 2 4 + y 2 3 = 1交于A,B两点 .线段AB 的中点为M 1，m m> 0 ． （1）证 : k<- 1 2 ； （2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP  +FA  +FB  = 0.证 ：FA   , FP   , FB   成 差数 , 该数 的公差． 【解 】（1）设直线 l方 为 y= kx+ t,设A(x1,y1),B(x2,y2), y= kx+ t x2 4 + y 2 3 = 1  联 y (4k2+ 3)x2+ 8ktx+ 4t2- 12= 0， Δ= 64k2t2- 4(4t2- 12) (3+ 4k2)> 0， 4k2+ 3> t2…①， 且 x1+ x2= -8kt 3+ 4k2 = 2,y1+ y2= k(x1+ x2) + 2t= 6t 3+ 4k2 = 2m，∵m> 0, ∴ t> 0且 k< 0. 且 t= 3+ 4k 2 -4k …② .由①② 4k2+ 3> (3+ 4k 2)2 16k2 ,∴ k> 1 2 或 k<- 1 2 .∵ k< 0, ∴ k<- 1 2 . （2）FP  + 2FM  = 0  ,∵M (1,m)，F(1,0),∴P的 标为 (1, - 2m).由于P 椭 上，∴ 1 4 + 4m 2 3 = 1， ∴m= 3 4 ,M (1, - 3 2 ),又 x12 4 + y1 2 3 = 1,x2 2 4 + y2 2 3 = 1,两 相减可 y1- y2 x1- x2 =-3 4  ⋅ x1+ x2 y1+ y2 ， 又 x 1 + x 2 = 2 ,y 1 + y2 = 3 2  , ∴ k = -1，直线 l 方 为 y - 3 4  = -(x - 1 ) , 即 y = -x + 7 4 ，∴ y=-x+ 7 4  x2 4 + y 2 3 = 1      ， 去 y 28x2- 56x+ 1= 0，x1,2= 14± 3 21  14 ,2d= ||FA  |- |FB  ||= | a- c a x1- a+ c a x2 |=± c a  | x1 - x2 |=± 1 2  (x1+ x2)2- 4x1x2  =± 1 2  4- 1 7   =± 3 21  14 .∴ d=± 3 21  28 . 秒 技巧 :一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化 为到焦点的距离 . 1. (2014 新课标全国卷I10)已知抛物线C : y2= 8x的焦点为F,准线为 l,P l上一点,Q 直线PF 与C的一个焦点,若FP  = 4FQ  , |QF |= ( ) A. 7 2  B. 5 2  C. 3 D. 2 【解 】 用相 成比 与抛物线上的点 焦点的距离 于 准线的距离， |QF |= 3， C。 2. (2017 新课标全国卷II16)已知F 抛物线C : y2= 8x的焦点,M C上一点,FM的延长线交 y轴 于点N .若M为FN的中点， FN = . 【解 】y2= 8x p= 4，焦点为F 2， 0 ，准线 l : x=-2，如图，M为 F、N中点，知线段BM为梯 AFNC的中 线, ∵ CN= 2,AF= 4, ∴MB= 3,又由定义知MB= MF,且 MN = NF , ∴ FN = 6。 秒 公式：作过抛物线焦点且倾斜角为 60°或 120°的弦,两段焦半径 分别为 : 2p,2p 3 . 1. (2017 新课标全国卷II文12)过抛物线C : y2= 4x的焦点F,且斜率为 3  的直线交C于点M (M x轴上方 ),l为C的准线,点N l上且MN⊥ l, M 直线NF的距离为 ( ) A. 5  B. 2 2  C. 2 3  D. 3 3  【解 】斜率为 3  可知ΔMNF为边长为 4的 边三角 , NF= 2 3  ， C。 2. (高考题)设抛物线 y2= 8x的焦点为F,准线为 l,P为抛物线上一点,PA⊥ l,A为 足,如 直线AF 的斜率为- 3  , 么 PF = ( ) A. 4 3  B. 8 C. 8 3  D. 16 【解 】由秒 公 B。 3. (高考题)设O 标原点,F 抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点,A 抛物线上的一点,FA  与 x轴正 的夹角为 60°, OA   为 ． 【解 】由秒 公 21  2 p。 4. (高考题)抛物线 y2= 4x的焦点为F,准线为 l,经过F且斜率为 3  的直线与抛物线 x轴上方的部 相交于点A,AK⊥ l, 足为K, △AKF的面积 ( ) A. 4 B. 3 3  C. 4 3  D. 8 【解 】由秒 公 4 3  。 〖母题〗已知抛物线 y2= 2px(p> 0)上一点M与焦点F的距离 MF = 2p, 点M的 标 . 【解 】 3 2 p, ± 3  p 。 〖母题6〗M 抛物线 y2= 4x上一点,F 抛物线的焦点,以 Fx为始边、FM为终边的角∠ xFM= 60°, FM . 【解 】由秒 公 4。