2017-2018学年四川省威远中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年四川省威远中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

威远中学 2017-2018 学年高二下学期半期考试试题 文科数学 考试时间共 120 分钟，满分 150 分 出题人：陈婷 审题人：周裕河 做题人：张琦华 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 若命题“ p q ”为假，且“ p ”为假，则（ ） A． p 或 q 为假 B． q 假 C． q 真 D．不能判断 q 的真假 2.命题“对任意的 3 2 1 0x x x  R， ≤ ”的否定是（ ） A．不存在 3 2 1 0x R x x  ， ≤ B．存在 3 2 1 0x R x x  ， ≤ C．存在 3 2 1 0x R x x   ， D．对任意的 3 2 1 0x R x x   ， 3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x=-2，则该抛物线的方程为( ) A． xy 82  B. xy 82  C. xy 42  D. xy 42  4.已知双曲线方程为 2 2 19 3 x y  ，则双曲线的渐近线方程为( ) A． 3 3y x  B． 3y x  C． 1 3y x  D． 3y x  5．已知椭圆 2 2 110 2 x y m m    ，若焦点在 y 轴上且焦距为 4 ，则 m 等于（ ） A. 4 B.5 C. 7 D.8 6.“双曲线离心率 2e ”是“双曲线是等轴双曲线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要件 7. 若抛物线 pxy 22  的焦点与椭圆 126 22  yx 的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 8.已知椭圆 C： 134 22  yx ，直线l ： 0 mmyx （ Rm ），l 与 C 的公共点个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C.2 个 D. 无法判断 9.已知两点 1F （-1，0）、 2F （1，0），且 21FF 是 1PF 与 2PF 的等差中项，则动点 P 的轨 迹方程是( ） A． 1916 22  yx B． 11216 22  yx C． 134 22  yx D． 143 22  yx 10.已知点 P 在椭圆 2 2 x a + 2 2 y b =1(a>b>0)上，点 F 为椭圆的右焦点， PF 的最大值与最小值的 比为 2, 则这个椭圆的离心率为（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 2 2 11.已知 P 为抛物线 2 4y x 上一个动点，Q 点坐标（0，4），那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A. 17 B. 52 C. 5 D. 9 12.设 P 为双曲线   2 2 2 2: 1 , 0x yC a ba b    上一点， 1 2,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点， 2 1 2PF F F ，若 1 2PF F 的外接圆半径是其内切圆半径的 17 6 倍，则双曲线 C 的离心率为 （ ） A. 2 B. 4 C. 2 或 3 D. 4 或 5 3 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13．若命题“任意实数 x ，使 2 1 0x ax   ”为真命题，则实数 a的取值范围为__________． 14．已知椭圆 124 22  yx 的两个焦点是 1F ， 2F 点 P 在椭圆上，若 1PF - 2PF =2，则 21FPF 的面积是________. 15.已知点 A（2，0），抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准 线相交于点 N，则|FM|：|MN|=________. 16.下列三个命题中 ①“k=1”是“函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为π”的充要条件; ②“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 相互垂直”的充要条件; ③“双曲线 12 2 2  yx 上任意点 M 到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题 其中是真命题的为________ 三、解答题 本大题共 6 个小题，共 70 分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17. (本小题满分 10 分) 已知 054: 2  xxp ， )0(3:  aaxq .若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p： 0342  kk ，命题 q：方程 xkky )2( 22  表示焦点在轴正半轴上的抛物线. （1）若命题 q 为真命题，求实数 k 的取值范围； （2）若命题( p )Λ q 为真命题，求实数 k 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点 1F （-2 2 ，0）、 2F （2 2 ，0），且长轴长为 6，设直线 2 xy 交椭 圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在原点，过点 A ( 4,4) 且焦点在 x 轴 （1）求抛物线方程 （2）直线l 过定点 B )0,1( ，与该抛物线相交所得弦长为 8，求直线l 的方程 21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线   2 2 2 2: 1 , 0x yC a ba b    的离心率为2 3 3 ，过点 A(0，－b)和 B(a，0)的直线与原 点的距离为 3 2 . (1)求双曲线 C 的方程； (2)直线 y＝kx＋m(k≠0, m≠0)与该双曲线 C 交于不同的两点 C，D，且 C，D 两点都在以点 A 为圆心的同一圆上，求 m 的取值范围． 22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(a>b>0)的一个焦点为( 5 ,0),离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 威远中学 2019 届 高二下学期半期考试试题 文科数学 参考答案 一、选择题 1-5 BCBAD 6-10 ADCCB 11-12 AD 12.【解析】∵ 分别为双曲线 的左、右焦点 ∴ ， ∵ ∴点 在双曲线的右支， 的内切圆半径为 . 设 ，则 .∵ ，即 ∴ ，即 的外接圆半径为 .∵ 的外接圆半径是其内切圆半径 的 倍∴ ，即 . ∴ ∴ 或 二、填空题 13. 14. 15. 16.①②③ 16.【解析】①“k=1”可以推出“函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为π”,但是函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为π, 即 y=cos2kx,T= =π,k=±1. ②“a=3”不能推出“直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 相互垂直”,反之垂直推出 a= ; ③设M点为 ，满足 ， 点M到渐近线 的距离分别为 与 ， 乘积得 答案:①②③ 三、解答题 17.试题解析：设 ， ，因为 是 的充分不必要条件，从而有 并 .故 ，解得 .............10 分 18 解：（1）命题 为真命题时， ，解得 或 ， 则 的取值范围是 ……………………6 分 （2）命题 为真命题，则 和 均为真命题， 易知 为真命题时， 的取值范围是 ， 则 ， 解得 ，所以 的取值范围是 . ……………………12 分 19 解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上， 其中c=2 ，a=3，从而b=1 其标准方程为 ……………………6 分 联立方程组 ，消去y得 设A ，B ，则 中点 ， = ，所以 所以线段AB中点坐标为 ……………………12 分 20 解：（1）设抛物线方程为 抛物线过点 ，得p=2 则 ……………………6 分 （2）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1 与抛物线交于 、 ，弦长为 4，不合题意 ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为 消y得 弦长= 解得 得 所以直线l方程为 或 ……………………12 分 21.解：(1) x2 3 －y2＝1.……………………6 分 (2) x2 －y2＝1，消去 y 得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0， 由已知，1－3k2≠0 且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0⇒m2＋1＞3k2.① 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD 的中点 P(x0，y0)， 则 x0＝ x1＋x2 2 ＝ 3km 1－3k2，y0＝kx0＋m＝ m 1－3k2， 因为 AP⊥CD， 所以 kAP＝ 3km －0＝ m＋1－3k2 3km ＝－ 1 k， 整理得 3k2＝4m＋1.② 联立①②得 m2－4m＞0， 所以 m＜0 或 m＞4，又 3k2＝4m＋1＞0， 所以 m＞－ 1 4，因此－ 1 4＜m＜0 或 m＞4. 故 m 的取值范围为 ∪(4，＋∞)．……………………12 分 22.(1)因为c= ,离心率e= ,所以a=3,b=2, 椭圆C的标准方程为 + =1.……………………6 分 (2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切线方程为 y-y0=k(x-x0), 代入 + =1 中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点, 则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 进一步化简( -9)k2-2x0y0k+ -4=0 因为两条切线相互垂直,所以 k1k2=-1, 也就是 =-1,则 + =13. 显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 + =13, 所以点 P 的轨迹方程为 + =13.……………………12 分 方法二:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1 且 + =1. 两条切线方程分别为 + =1 和 + =1, 因为两条切线都过点 P(x0,y0), 所以 + =1 且 + =1, 因为两条切线相互垂直, 所以 k1= ,k2= 且 k1k2=-1, 也就是 =-1,整理得 + =13. 显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 + =13, 所以点 P 的轨迹方程为 + =13.