2021高考数学一轮复习课时作业37直接证明与间接证明理

2021高考数学一轮复习课时作业37直接证明与间接证明理

课时作业 37　直接证明与间接证明 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法 解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.‎ 答案：B ‎2．用反证法证明命题：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．‎ 答案：B ‎3．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)‎ A．至少有一个不大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2 D．都大于2‎ 解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾，‎ ‎∴a，b，c都小于2错误．‎ ‎∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项．‎ 答案：C ‎4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)‎ A．P>Q B．P＝Q C．PQ，要证P>Q，只需证P2>Q2，只需证：‎ ‎2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立．‎ 4‎ 答案：A ‎5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)a＋b，则a，b应满足的条件是________．‎ 解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________.‎ 解析：因为a∥b，‎ 所以(x＋1)×(－2)＝2×4，‎ 解得x＝－5.‎ 答案：－5‎ ‎8．[2020·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________．‎ 解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．‎ 答案：x≠－1且x≠1‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．‎ 证明：由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，‎ 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．‎ ‎10．已知a，b是正实数，求证＋≥＋.‎ 证明：证法一　(作差法)因为a，b是正实数，所以＋－－＝＋ ‎＝ 4‎ ‎＝≥0，‎ 所以＋≥＋.‎ 证法二　(分析法)已知a，b是正实数，‎ 要证＋≥＋，‎ 只需证a＋b≥(＋)，‎ 即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，‎ 即证a＋b－≥，‎ 就是要证a＋b≥2.‎ 显然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋.‎ 证法三　(综合法)因为a，b是正实数，‎ 所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2，‎ 当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥＋.‎ 证法四　(综合法)因为a，b是正实数，‎ 所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，‎ 当且仅当a＝b时取等号，‎ 所以＋≥＋.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.‎ 证明：假设a，b，c都不大于0，‎ 即a≤0，b≤0，c≤0，‎ 所以a＋b＋c≤0.‎ 而a＋b＋c ‎＝＋＋ ‎＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π 4‎ ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.‎ 所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.‎ 4‎