高中数学讲义微专题51 等差等比数列综合问题

高中数学讲义微专题51 等差等比数列综合问题

微专题 51 等差等比数列综合问题 一、基础知识： 1、等差数列性质与等比数列性质： 等差数列 等比数列 递推公式 通项公式 等差（比）中项 等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列 相邻 项和 成等差数列 成等比数列 2、等差数列与等比数列的互化： （1）若 为等差数列， ，则 成等比数列 证明：设 的公差为 ，则 为一个常数 所以 成等比数列 （2）若 为正项等比数列， ，则 成等差数列 证明：设 的公比为 ，则 为常数 所以 成等差数列 二、典型例题： 例 1：已知等比数列 中，若 成等差数列，则公比 （ ） A. B. 或 C. D. 思路：由“ 成等差数列”可得： ，再由等比数列 定义可得： ，所以等式变为： 解得 或 ，经检验均  na  nb  1n na a d n N       1n n b q n Nb     1 1na a n d   1 n nb b q  1 22 n n na a a   2 1 2n n nb b b  m n p q   m n p qa a a a   m n p qb b b b k 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  2 3 2, ,n n n n nS S S S S   na 0, 1c c   nac  na d 1 1 n n n n a a a d a c c cc      nac  na 0, 1c c   logc na  na q 1 1log log log logn c n c n c c n aa a qa       logc na  na 1 3 24 , ,2a a a q  1 1 2 2 1 1 3 24 , ,2a a a 3 1 2 3 1 22 4 2 2a a a a a a     2 3 1 2 1,a a q a a q  2 2q q  2q  1q   符合条件 答案：B 例 2：已知 是等差数列，且公差 不为零，其前 项和是 ，若 成等比数列， 则（ ） A. B. C. D. 思路：从“ 成等比数列”入手可得： ， 整 理 后 可 得 ： ， 所 以 ， 则 ， 且 ，所以 符合要求 答案：B 小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉 及的项均用 （或 ）进行表示，从而得到 （或 ）的关系 例 3 ： 已 知 等 比 数 列 中 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 ， 则 _______________ 思路：由等比数列性质可得： ，从而 ，因为 为等比数列， 所 以 为 等 差 数 列 ， 求 和 可 用 等 差 数 列 求 和 公 式 ： 答案： 例 4：三个数成等比数列，其乘积为 ，如果第一个数与第三个数各减 ，则成等差数列， 则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为 ，则有 ，解得 ，而第一个数 与第三个数各减 2，新的等差数列为 ，所以有： ，即  na d n nS 3 4 8, ,a a a 1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  3 4 8, ,a a a     22 4 3 8 1 1 13 2 7a a a a d a d a d      2 13 5a d d  1 3 5d a  2 1 1 3 05a d a     2 1 4 1 64 6 025 adS d a d     B 1,a d 1,a q 1,a d 1,a q  na 5 10 11 9 12 2a a a a e  1 2 20ln ln lna a a    10 11 9 12a a a a 5 10 11 9 12a a a a e   na  ln na 10 11 1 2 20 10 11 ln lnln ln ln 20 10ln 502 a aa a a a a       50 512 2 , ,a a aqq 3=512 512a a aq aq     8a  8 2,8,8 2qq    816 2 8 2qq        ，解得 或者 ， 时，这三个数为 ，当 时，这三个数为 答案： 小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。设为 （或 ），这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。 例 5：设 是等差数列， 为等比数列，其公比 ，且 ，若 ，则有（ ） A. B. C. D. 或 思路：抓住 和 的序数和与 的关系，从而以此为入手点。由等差数列性质出 发， ，因为 ，而 为等比数列，联想到 与 有关，所以利用均值不等式可得： （ 故 ，均值不等式等号不成立）所以 即 答案：B 小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘 积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。 例 6：数列 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ，则有（ ） A. B. C. D. 与 的大小不确定 思路：比较大小的式子为和的形式，所以以 为入手点，可得 ，从而 作差比较 ，由 为 正项等比数列可得： ，所以 答案：B 小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘 222 5 2 5 2 0q q qq      2q  1 2q  2q  4,8,16 1 2q  16,8,4 4,8,16 , ,a a aqq , ,a d a a d   na  nb 1q   0 1,2,3, ,ib i n   1 1 11 11,a b a b  6 6a b 6 6a b 6 6a b 6 6a b 6 6a b 1 11,a a 1 11,b b 6 6,a b 1 1 11 11 1 11 1 11,a b a b a a b b      1 11 62a a a   nb 1 11b b 6b 2 1 11 1 11 6 62 2 2b b b b b b    1q  1 11b b 1 11 1 11 6 62 2a a b b a b     6 6a b  na  nb 6 7a b 3 9 4 10a a b b   3 9 4 10a a b b   3 9 4 10a a b b   3 9a a 4 10b b  nb 4 10 7 62 2b b b a        26 3 3 3 9 4 10 3 9 6 3 3 3 32 2 1a a b b a a a a a q a q a q            na  23 3 1 0a q   3 9 4 10a a b b   积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。 例 7：设数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， 是以 1 为首项，2 为公比的等比 数列，则 （ ） A. B. C. D. 思路：求和看通项，考虑 ，所以 ， ，所以 答案：A 例 8：(2011,江苏）设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为 的等差数列，则 的最小值是___________ 思 路 ： 可 知 等 比 数 列 为 ， 等 差 数 列 为 ， 依 题 意 可 得 ①，若要 最小，则 要达到最小，所以在①中，每一 项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立。所以 ，所以 ， 验证当 时， ，①式为 ，满足题意。 答案： 例 9：已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，等比数列 是公比为 的正整数， 前 项和为 ，若 ，且 是正整数，则 等于（ ） A. B. C. D. 解：本题 的通项公式易于求解，由 可得 ，而处理 通 项 公 式 的 关 键 是 要 解 出 ， 由 可 得 ， 所 以 ，由 ，可得 ，所以 可取的值为 ，可得只有 才有符合条件的 ，即 ，所以  na  nb 1 2 10b b ba a a    1033 2057 1034 2058   1 1 1 1, 2n n na a n d n b       11 2 1n n b na b      1 2 1 2 2 2 1n n n b b ba a a n n            1 2 10 1033b b ba a a    1 2 71 a a a    1 3 5 7, , ,a a a a q 2 4 6, ,a a a 1 q 2 31, , ,q q q 2 2 2, 1, 2a a a  2 3 2 2 21 1 2a q a q a q        q 3q 3 2 2 1 2 3q a     3 3q  3 3q  2 1a  31 1 3 2 3 3 3      3 3  na 0d  n nS  nb q n nT 2 1 1,a d b d  2 2 2 1 2 3 1 2 3 a a a b b b     2 9 8 S T 45 17 270 17 90 17 135 17  na 1a d  1 1na a n d nd     nb q 2 1b d 2 1n nb d q   2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 4 9 14 1 a a a d d d Nb b b d qd q d q q            q N  2 1q q N    2 1q q  1,2,7,14 2 1 7q q   q 2q  ，所以 ， ，则 答案：D 例 10： 个正数排成 行 列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且 所有的公比都相同，已知 ，则 _______， ___________ 思路：本题抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整个 数阵，抓住已知中的 ，可得 ， 从而只要得到某一行的数，即可求得数阵中的每一项 。而第四列即 可 作 为 突 破 口 ， 设 每 行 的 公 差 为 由 可 得 ， 从 而 ， 所 以 。 则 ， 求 和 的 通 项 公 式 ， 利 用 错 位 相 减 法 可 求 得 ： 答案： 小炼有话说：对于数阵问题首先可设其中的项为 （第 行第 列），因为数阵中每行每列具 备特征，所以可将其中一行或一列作为突破口，求得通项公式或者关键量，然后再以该行（或 该列）为起点拓展到其他的行与列，从而得到整个数阵的通项公式 1 22nb d  22 9 45S d  8 1 2 8 2 1 2551 b T d    2 2 9 2 8 2025 135 255 17 S d T d  2n n n 12 42 43 1 31, ,8 16a a a   32a  11 22 nna a a    12 42 11, 8a a  3 42 12 1 1 8 2 aq qa    ija i id 42 43 1 3,8 16a a  4 1 16d   4 42 4 12 16ja a j d j    4 4 4 1 1 1 1 2 16 2 2 i i i ij ja a j j                       3 32 1 12 2 4a       1 2 n nna n       11 22 12 2 2 n nna a a n            32 11 22 1 1, 2 24 2 n nna a a a n            ija i j