数学（理）卷·2020届甘肃省临夏中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2020届甘肃省临夏中学高二上学期期末考试（2018-01）

甘肃省临夏中学 2017—2018 学年第一学期期末考试 卷 年级：高二 科目：数学（理） 座位号 一、选择题(每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) .命题“ ”的否定是（ ） A． ， B． C． ， D． ， 2.设 l、m、n 均为直线，其中 m、n 在平面 α 内，则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的(　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.等轴双曲线 上一点 与两焦点 的连线相互垂直,则 的面积 为( ) A． B． C． D． 4.抛物线 的焦点坐标为( 　) A． B． C． D． 5.已知 A、B、C 三点不共线，对于平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是( ) A．OM→ ＝OA→ ＋OB→ ＋OC→ B．OM→ ＝2OA→ －OB→ －OC→ C．OM→ ＝OA→ ＋1 2OB→ ＋1 3OC→ D．OM→ ＝1 2OA→ ＋1 3OB→ ＋1 6OC→ 6.对 ，方程 所表示的曲线不可能是( 　) A．两条直线 B．圆 C．椭圆或双曲线 D．抛物线 7.已知空间向量 a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若 2a-b 与 b 垂直，则|a|=( 　) A． B. C. D. 8.正三棱柱 的各棱长都为 2, 分别是 中点,则 的长是 x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + < 1 012, 0 2 00 <+−∈∃ xxRx 012, 0 2 00 ≥+−∈∃ xxRx 012, 0 2 00 >+−∈∃ xxRx 2 2 1x y− = P 1 2F F， 1 2PF F△ 2 1 2 4 1 2y x= − )0,4 1( )0,4 1(− )4 1,0( )4 1,0( − Rk ∈∀ 122 =+ kyx 2 35 2 21 2 37 2 53 111 CBAABC − FE, 11, CAAB EF ( 　) A.2 B. C. D. 9.过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线，交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长( ) A．4 B.8 C.12 D.16 10.长方体 中， ， ， 为 的中点，则异面直 线 与 所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知双曲线的渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，则双曲线方程为 ____________.　 12.若 a ，b ，c ，则 a ( b+c ) =___________. 13.已知在空间四边形 OABC 中，OA→ ＝a、OB→ ＝b、OC→ ＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝ 3MA，N 为 BC 中点，用 a、b、c 表示MN→ ，则MN→ 等于_____________. 14.在三棱锥 中， ，AB＝BC＝1 2PA，点 分别是 AC、PC 的中点， OP⊥底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为______________. 一、解答题 (本大题共 4 小题，共 44 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分 10 分) 已知 a =(1,5,-1),b =(-2,3,5), 若( a+b) // (a -3b), 求 的 值． 16.(本小题满分 10 分) 已知抛物线 , 焦点为 F，从抛物线上一点 P 引抛物线准 线的垂线，垂足为 M, 且 , 求 的面积． 17.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1 ＝4，D 是棱 AA1 的中点．如图所示. 3 5 7 xy 82 = 1111 DCBAABCD − 21 == AAAB 1=AD E 1CC 1BC AE 10 10 10 30 10 152 10 103 xy 3±= )0,4(),0,4(− )1,3,2( −= )3,0,2(= )2,2,0(= • ABCP− BCAB ⊥ DO, k k xy 42 = 5|| =PF MPF∆ (1) 求证：DC1⊥平面 BCD ； (2) 求二面角 的大小． 18.(本小题满分 12 分) 椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右 焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当 的面积为 12 2 7 时，求直线的方程． 甘肃省临夏中学 2017—2018 学年第一学期期末考 试卷 高二数学（理科） 答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）． 题号 1 2 3 4 5 选择题得分 选项 C A D Ｄ D 题号 6 7 8 9 10 选项 D　 D C D B 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）． CBDA −− )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC )2 3,1( 2 1 21, FF 1F BA, ABF2∆ 11． 　 12． 3_ 13． －3 4a＋1 2b＋1 2c_ 14． 210 30 14. [解析]∵OP⊥平面 ABC，OA＝OC，AB＝BC， ∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP. 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O－xyz. 设 AB＝a，则 A( 2 2 a,0,0)、B(0， 2 2 a,0)、C(－ 2 2 a,0,0)． 设 OP＝h，则 P(0,0，h)， ∵PA＝2a，∴h＝ 14 2 a. ∴OD → ＝(－ 2 4 a,0， 14 4 a)． 由条件可以求得平面 PBC 的法向量 n＝(－1,1， 7 7 )， ∴cos〈OD → ，n〉＝ OD → ·n |OD → ||n| ＝ 210 30 . 设 OD 与平面 PBC 所成的角为 θ， 则 sinθ＝|cos〈OD → ，n〉|＝ 210 30 . 三、解答题（共 44 分）． 15． 16. [ 解 析 ] 设 ， 由 抛 物 线 方 程 得 准 线 方 程 ： ， 由 得 ， ，所以 17．[解析](1)证明：如图所示建立空间直角坐标系． 由题意知 C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、D(2,0,2)、A1(2,0,4)、C1(0,0,4)． ∴DC1→ ＝(－2,0,2)，DC → ＝(－2,0，－2)，DB → ＝(－2,2，－2)． 1124 22 =− yx 3 1−=k ),( 00 yxP xy 42 = 1−=x 5|||| == PMPF 40 =x 40 ±=y 10452 1 =××=∆MPFS ∵DC1→ ·DC → ＝0，DC1→ ·DB → ＝0. ∴DC1⊥DC，DC1⊥DB. 又∵DC∩DB＝D， ∴DC1⊥平面 BDC. (2)设 n＝(x，y，z)是平面 ABD 的法向量． 则 n·AB → ＝0，n·AD → ＝0， 又AB → ＝(－2,2,0)，AD → ＝(0,0,2)， ∴Error!取 y＝1，得 n＝(1,1,0)． 由(1)知， DC1→ ＝(－2,0,2)是平面 DBC 的一个法向量， 记 n 与DC1→ 的夹角为 θ， 则 cosθ＝ －2 2·2 2 ＝－1 2， 结合三棱柱可知，二面角 A－BD－C 是锐角， ∴所求二面角 A－BD－C 的大小是π 3. 18．[解析](1)∵椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)过点(1，3 2)，∴ 1 a2＋ 9 4b2＝1①， 又∵离心率为1 2，∴c a＝1 2，∴b2 a2＝3 4②， 联立①②得 a2＝4，b2＝3. ∴椭圆的方程为：x2 4＋y2 3＝1. (2)①当直线的倾斜角为π 2时，A(－1，3 2)，B(－1，－3 2)， S△ABF2＝1 2|AB|×|F1F2|＝1 2×3×2≠12 2 7 ，不适合题意． ②当直线的倾斜角不为π 2时，设直线方程 l：y＝k(x＋1)， 代入x2 4＋y2 3＝1，得：(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ －8k2 4k2＋3， x1x2＝4k2－12 4k2＋3 ， ∴|AB|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝ (1＋k2)[ 64k4 (4k2＋3)2 －4(4k2－12) 4k2＋3 ]＝12(1＋k2) 4k2＋3 . 点 F2 到直线 l 的距离 d＝ |k＋k| 1＋k2， ∴S△ABF2＝1 2|AB|·d＝12|k| 1＋k2 4k2＋3 ＝12 2 7 ， 化为 17k4＋k2－18＝0，解得 k2＝1，∴k＝±1， ∴直线方程为：x－y＋1＝0 或 x＋y＋1＝0.