【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版5-3平面向量的数量积学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版5-3平面向量的数量积学案

‎§5.3　平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.‎ ‎1.两个向量的夹角 ‎(1)定义 已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.‎ ‎(2)范围 向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.‎ ‎(3)向量垂直 如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.‎ ‎2.向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.‎ ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.‎ ‎3.向量的数量积 ‎(1)向量的数量积(内积)的定义 ‎|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)向量数量积的性质 ‎①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；‎ ‎②a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎③a·a＝|a|2，|a|＝；‎ ‎④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)；‎ ‎⑤|a·b|≤|a||b|.‎ ‎(3)向量数量积的运算律 ‎①交换律：a·b＝b·a.‎ ‎②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).‎ ‎③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎(4)向量数量积的坐标运算与度量公式 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ‎①a·b＝a1b1＋a2b2；‎ ‎②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；‎ ‎③|a|＝；‎ ‎④cos〈a，b〉＝.‎ 概念方法微思考 ‎1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？‎ 提示　不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cos θ，而b在a方向上的正投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角.‎ ‎2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？‎ 提示　不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量.(　√　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　√　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c).(　×　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)‎ ‎(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.‎ 答案　12‎ 解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，‎ 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，‎ ‎∴10＋2－k＝0，解得k＝12.‎ ‎3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________.‎ 答案　－2‎ 解析　由数量积的定义知，b在a方向上的正投影为 ‎|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 答案　2 解析　方法一　|a＋2b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 方法二　(数形结合法)‎ 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.‎ 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.‎ ‎5.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的正投影为 ‎________.‎ 答案　 解析　＝(2,1)，＝(5,5)，‎ 由定义知，在方向上的正投影为 ＝＝.‎ ‎6.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.‎ 答案　－ 解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，‎ ‎∴a·b＋b·c＋a·c＝－.‎ 题型一　平面向量数量积的基本运算 ‎1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)‎ A.8 B.10 C.11 D.12‎ 答案　D 解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，‎ ‎∴a＋b＝(x－2,5)，‎ 又(a＋b)⊥b，‎ ‎∴(x－2)×(－2)＋20＝0，‎ ‎∴x＝12.‎ ‎2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ 答案　B 解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵|a|＝1，a·b＝－1，‎ ‎∴原式＝2×12＋1＝3.‎ ‎3.(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，‎ ‎||＝||＝2，〈，〉＝60°，‎ ‎∵D，E是边BC的两个三等分点，‎ ‎∴·＝·＝· ‎＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.‎ 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解.‎ 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　求向量的模 例1　(1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C 解析　如图所示，‎ 设＝k，所以＝－＝k－，‎ 所以·＝·(k－)‎ ‎＝k2－·＝25k－5×6× ‎＝25k－15＝－5，‎ 解得k＝，所以||＝||＝3.‎ ‎(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为(　　)‎ A.4 B.2 C. D.1‎ 答案　A 解析　因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.‎ 如图所示，设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝a－c，＝b－c，∠AOB＝120°.‎ 所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，‎ 所以A，O，B，C四点共圆.‎ 不妨设为圆M，因为＝b－a，‎ 所以2＝a2－2a·b＋b2＝12.‎ 所以||＝2，‎ 由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径为2R＝＝4.‎ 所以当||为圆M的直径时，|c|取得最大值4.‎ 命题点2　求向量的夹角 例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得a·(a－b)＝a2－a·b ‎＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3，‎ ‎∴cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.‎ ‎(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.‎ 答案　 解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，‎ ‎|e1－e2|＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 同理|e1＋λe2|＝.‎ 所以cos 60°＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 解得λ＝.‎ 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ‎①利用公式|a|＝.‎ ‎②利用|a|＝.‎ ‎(2)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].‎ ‎②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.‎ ‎③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.‎ 跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.‎ 答案　 解析　∵|2a－b|＝1，‎ ‎∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，‎ ‎∴4－4|b|cos 30°＋b2＝1，‎ 整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0，‎ 解得|b|＝.‎ ‎(2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　∵a⊥(a－b)，‎ ‎∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.‎ 题型三　平面向量与三角函数 例3 已知向量a＝，b＝，且x∈.‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.‎ 解　(1)a·b＝cos cos －sin ·sin ＝cos 2x.‎ ‎∵a＋b＝，‎ ‎∴|a＋b|＝ ‎＝＝2|cos x|.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴cos x>0，∴|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1‎ ‎＝22－.‎ ‎∵x∈，∴≤cos x≤1，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；‎ 当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.‎ 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.‎ 跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈‎ eq lc( c)(avs4alco1(0，f(π,2))).‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值.‎ 解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，‎ 所以m·n＝cos ＝，‎ 即sin x－cos x＝，‎ 所以sin＝，‎ 因为00”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　根据向量数量积的定义式可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)‎ A.1 B.－1 C.2 D.－2‎ 答案　B 解析　向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，‎ 则ka－2b＝.‎ 若ka－2b与a垂直，‎ 则k－4＋k＋6＝0，‎ 解得k＝－1.故选B.‎ ‎3.(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)‎ A.2 B. C. D.2 答案　A 解析　根据题意，|a－b|＝＝，‎ 则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，‎ 可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，‎ 可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，‎ 则＝2，故选A.‎ ‎4.(2018·辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为(　　)‎ A.135° B.120° C.60° D.45°‎ 答案　A 解析　∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，‎ ‎∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a| 可得，‎ a2－2a·b＋b2＝a2，‎ 解得|b|＝|a|，‎ ‎∴cos θ＝＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴θ＝135°，故选A.‎ ‎5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为(　　)‎ A.－1 B.1 C.－ D. 答案　D 解析　由题意可得 |a|＝|b|＝1，‎ 且 a·b＝|a|×|b|×cos 60°＝，‎ a·(a－b)＝a2－a·b＝1－＝，‎ 则向量a－b在向量a方向上的正投影为 ‎ ＝＝.故选D.‎ ‎6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)‎ A.[－1,0] B.[－1,2]‎ C.[－1,3] D.[－1,4]‎ 答案　C 解析　如图所示，‎ 由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).‎ 可设点M(x，y)，‎ A(0,0)，B(2,0).‎ ‎∴·＝(－x，－y)·(2－x，－y)‎ ‎＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，‎ 由∈[0,2]，‎ ‎∴·∈[－1,3]，故选C.‎ ‎7.(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________.‎ 答案　 解析　∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝7，‎ ‎∴a·b＝7－b2＝3.‎ 设向量a与b的夹角为α，‎ 则cos α＝＝＝.‎ 又0≤α≤π，‎ ‎∴α＝，‎ 即向量a与b的夹角为.‎ ‎8.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的正投影为________.‎ 答案　－ 解析　向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，‎ ‎∴|a＋b|＝ ‎＝＝＝，‎ 解得a·b＝－1.‎ a在b方向上的正投影为＝＝－.‎ ‎9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________.‎ 答案　－17‎ 解析　如图，建立平面直角坐标系，‎ 则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).‎ 则＝(3，－4)，＝(－3,2).‎ ‎∴·＝3×(－3)－4×2＝－17.‎ ‎10.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e为平面单位向量，则(a－b)·e的最大值为________.‎ 答案　 解析　由|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，‎ 得cos〈a，b〉＝＝，‎ ‎∴〈a，b〉＝60°，‎ 设a＝(1,0)，b＝(1，)，e＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∴(a－b)·e＝－sin θ，‎ ‎∴(a－b)·e的最大值为.‎ ‎11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.‎ 解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，‎ 所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6，‎ 所以cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ 所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||·sin∠ABC ‎＝×4×3×＝3.‎ ‎12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值.‎ 解　方法一　设BC的中点为D，AD的中点为E，‎ 则有＋＝2，‎ 则·(＋)＝2· ‎＝2(＋)·(－)‎ ‎＝2(2－2).‎ 而2＝2＝，‎ 当P与E重合时，2有最小值0，‎ 故此时·(＋)取最小值，‎ 最小值为－22＝－2×＝－.‎ 方法二　以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，‎ 则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，‎ 设P(x，y)，取BC的中点D，‎ 则D.‎ ·(＋)＝2· ‎＝2(－1－x，－y)· ‎＝2 ‎＝2.‎ 因此，当x＝－，y＝时，‎ ·(＋)取最小值，为2×＝－.‎ ‎13.已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　∵＋＋＝0，‎ ‎∴＋＝－，‎ ‎∴O为三角形的重心，‎ ‎∴△OBC的面积为△ABC面积的，‎ ‎∵·＝2，‎ ‎∴||||cos∠BAC＝2，‎ ‎∵∠BAC＝60°，∴||||＝4，‎ ‎△ABC的面积为||||sin∠BAC＝，‎ ‎∴△OBC的面积为，故选A.‎ ‎14.(2019·阜新模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设BC的中点为D，‎ 因为点G是△ABC的重心，‎ 所以＝＝×(＋)＝(＋)，‎ 再令||＝c，||＝b，‎ 则·＝bccos 120°＝－3，所以bc＝6，‎ 所以||2＝(||2＋2·＋||2)‎ ‎＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，‎ 所以||≥，‎ 当且仅当b＝c＝时取等号，故选B.‎ ‎15.已知，是非零不共线的向量，设＝＋，定义点集A＝，当F1，F2∈A时，若对于任意的m≥3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式≤k恒成立，则实数k的最小值为________.‎ 答案　 解析　由＝＋(m≥3)，‎ 可得P，Q，M三点共线且＝m，‎ 由A＝，‎ 可得cos∠PFM＝cos∠QFM，‎ 即∠PFM＝∠QFM，则FM为∠PFQ的角平分线，‎ 由角平分线的性质定理可得＝＝m，‎ 以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则P，Q，F(x，y)，‎ 于是＝m，‎ 化简得2＋y2＝2，‎ 故点F(x，y)是以为圆心，为半径的圆.要使得不等式对m≥3恒成立，‎ 只需2≤k，即k≥2＝2 对m≥3恒成立，∴k≥2×＝.‎ ‎16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值.‎ 解　设∠OBC＝θ，‎ 则B，C，‎ A，‎ M，‎ ·＝×‎ ＋2sin×sin ‎＝4cos2θ＋2cos2－6cos θcos＋2sin2 ‎＝2＋4cos2θ－6cos θcos ‎＝2＋4cos2θ－6cos θ ‎＝2＋cos2θ＋3sin θcos θ ‎＝＋cos 2θ＋sin 2θ ‎＝＋sin.‎ ‎∴·的最大值为＋.‎