湖北省部分重点中学2020届高三上学期第一次联考考数学（理）试题

湖北省部分重点中学2020届高三上学期第一次联考考数学（理）试题

湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考 高三数学试卷（理科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由二次不等式的解法得，由对数不等式的解法得，再结合集合并集的运算即可得解.‎ ‎【详解】解不等式,解得,则,‎ 解不等式,解得,即,‎ 即,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.‎ ‎2.已知是实数，是纯虚数，则 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可知：，‎ 为纯虚数，则：，据此可知.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. B. C. D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简得到，再结合二倍角的余弦公式即可求解.‎ ‎【详解】，即 ‎ 所以 ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.‎ ‎4.已知为等比数列，若，则（ ）‎ A. -32 B. 96 C. -32或96 D. -96或32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为，利用等比数列通项公式表示，化简得到，即可求出.‎ ‎【详解】设公比为 或 ‎ 当时 ‎ ‎ 当时，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎5.点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的线性运算可得，即点在线段上，且,由三角形面积公式可得，得解.‎ ‎【详解】解：因为点是所在平面上一点，又，‎ 所以,即,即，‎ 则点在线段上，且,‎ 又，,‎ 又，即，‎ 所以点在线段上，且,‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎6.下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①命题“若，则，中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ‎②命题“设，若，则或”是一个真命题 ‎③“的否定是“”‎ ‎④已知，都是实数，“”是“”的充分不必要条件 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题①的逆命题的真假；判断命题②的逆否命题的真假；写出命题③的否定即可判断；利用不等式表示的平面区域，即可判断真假.‎ ‎【详解】命题“若，则，中至少有一个不小于2”的逆命题为:“若，中至少有一个不小于2，则”,当时，为假命题，故①错误；‎ 命题“设，若，则或”的逆否命题为：“设，若且，则”为真命题，故②正确；‎ ‎“的否定是“”故③错误；‎ 表示的区域是以为顶点的正方形及其内部 表示的区域是为圆心，1为半径的圆及其内部 所以 成立，反之不成立，故④正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分条件和必要条件的判断，否定等，属于基础题.‎ ‎7.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的判断依据为，先判断各选项的奇偶性，再判断函数在的增减性，再利用函数的奇偶性判断函数在的增减性即可.‎ ‎【详解】解：对于选项A, ，则，即为偶函数，又时，，则函数在为减函数，在为增函数，由函数为偶函数，可得函数在不为增函数，即选项A不合题意；‎ 对于选项B, ，则，即为偶函数，又时，，则函数在为增函数，由函数为偶函数，可得函数在为减函数，即选项B不合题意；‎ 对于选项C, ，则，即为奇函数，即选项C不合题意； ‎ 对于选项D，,则，即为偶函数，又时，，函数在为减函数，由函数为偶函数，可得函数在为增函数，即选项D符合题意；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定及函数单调性的判定，重点考查了函数性质的应用，属中档题.‎ ‎8.已知定义在上的奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. （-1，6） B. （-6，1） C. （-2，3） D. （-3，2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性定义求出，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解.‎ ‎【详解】函数是定义在上的奇函数 所以，化简得 ‎ 即且在上单调递增 ‎，解得： ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.‎ ‎9.中，，满足，则的面积的最大值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积公式以及平方关系计算得到，利用模长公式以及基本不等式得到，结合三角形面积公式化简即可求解.‎ ‎【详解】,即 ‎ ‎ ‎ ‎ ，即 ‎ 所以 所以 ‎ ‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.‎ ‎10.已知函数（且），若，且，则值（ ）‎ A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得到，利用函数的解析式得出，，令，利用表示，结合指数函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】设 ，则 所以 设 ‎ 所以，则 又，所以 ‎ 若，则为减函数，且，所以，所以 若，则为增函数，且，所以，所以 所以的值恒大于 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的求法及其图像的做法，指数函数的单调性，属于难题.‎ ‎11.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，利用正弦函数的图像的性质以及单调性，根据题意列出不等式组，化简即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 令，即 因为在区间上恰好取得一次最大值1‎ 所以，解得： ‎ 令，解得： ‎ 因为在区间上是增函数，是函数唯一含原点的递增区间 所以 ，解得： ‎ 综上， ‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及正弦函数的图像的性质以及单调性，属于中档题.‎ ‎12.已知对任意实数都有，若不等式，（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求导利用已知条件，得出，求导，得出函数的单调性，令，利用过定点以及函数的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.‎ ‎【详解】令 ‎ ‎ ，即，(为常数)‎ 则 ‎ 因为，所以，即 ‎ ‎ ‎ ，‎ 在区间 上单调递减，在区间上单调递增 令，由于过定点，则函数和图像如下图所示 要使得的解集中恰有两个整数，则有 ‎ ‎ 解得： ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出过定点，结合函数的图像，数形结合来分析问题，属于难题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，共20分）‎ ‎13.已知实数，满足约束条件则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可.‎ ‎【详解】解：由实数，满足约束条件，作出可行域如图所示，联立，解得，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点时，目标函数取最小值，即当时，目标函数取最小值，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.‎ ‎14.非零向量和满足，，则与的夹角为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向量的数量积运算可得，再利用向量的夹角公式，再将已知条件代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由非零向量和满足，‎ 则，即，‎ 设与的夹角为，则，‎ 又 ，则，‎ 又，‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积公式及向量的夹角公式，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎15.已知函数在区间上是单调函数，则实数的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】的单调增区间为 ‎ 当时，的单调增区间为 由于 ‎ 则要使函数在区间上是单调函数 必须 ‎ 即实数的最大值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题.‎ ‎16.已知函数，若使得成立则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求出的表达式，从而得到的表达式，设，利用导数得到其最小值，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】由题意 ，即 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 设 ，则 ‎ 令，可得 ‎ 由当时，可得递增 当时，，递减 当时，递增 即在处取得极小值且为最小值 ‎ 则的最小值是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出证明过程或算步）‎ ‎17.已知数列满足，，‎ ‎（1）证明：，；‎ ‎（2）求和：‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由递推式，取为，两式做差即可得证； ‎ ‎（2）由（1）得为公差为3，首项为的等差数列，再利用等差数列前项和公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）①‎ ‎②‎ ‎ ①－②得 ，‎ 即命题得证；‎ ‎（2）‎ 由（1）得为公差为3的等差数列，又由，解得，‎ ‎，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.‎ ‎18.如图，在中，是边的中点，，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由 ‎，再结合两角差的余弦公式，将已知条件代入运算即可；‎ ‎（2）在中，由正弦定理，得，求出，再利用求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由 由 又 因为 故；‎ ‎（2）在中，由正弦定理，得 因为是边的中点，所以．‎ 故，‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了两角差的余弦公式及正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.‎ ‎19.已知四棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形底面是菱形，点为的中点 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 连结AC，交BD于O，利用中位线定理证明，结合线面平行的判定定理证明即可；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面PAB和平面PBC的法向量，即可求解.‎ ‎【详解】（1）‎ 连结AC，交BD于O，连接MO，由于底面ABCD为菱形，O为AC中点 又M为的中点，，又面，面 平面 ‎（2）过作，垂足为，由于为正三角形，为的中点。由于侧面 面，由面面垂直的性质得面，‎ 由，得∴‎ 以E为坐标原点，EP为轴，EA为轴，EB为y轴，建立空间直角坐标系。‎ 则 ‎，‎ 设平面PAB的法向量为，平面PBC的法向量为 由及 得，取，得平面PAB的一个法向量为 同理可求得平面PBC的一个法向量，由法向量的方向得知 所求二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行以及二面角，(2)问中关键是建立空间直角坐标系来求解二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为其右顶点为，下顶点为，定点，‎ 的面积为过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定值，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三角形面积公式结合离心率列出方程，求解即可;‎ ‎(2)利用点斜式写出直线PQ,BP,BQ的方程，令，得点M，N的横坐标，求出，将直线代入椭圆方程利用韦达定理得出，，化简即可判断为定值.‎ ‎【详解】（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，‎ 有，又由得，解得 ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为 则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标 直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标 把直线代入椭圆得 由韦达定理得 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆方程的计算以及直线与椭圆位置关系，(2)问中关键是利用韦达定理化简，属于中档题.‎ ‎21.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.‎ ‎（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50。用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.‎ 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，‎ ‎（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到）若掷出反面遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为P试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。‎ ‎【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为，约2万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎0000‎ ‎(1)利用每组中点值乘以其频率,再求和即可得到平均值；‎ ‎(2)由(1)可知，利用求解即可；‎ ‎(3)根据题意可知：得出移到第n格两种方式①遥控车先到第格，又掷出反面；②遥控车先到第格，又掷出正面，由此得到，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出的表达式，由此得到，，根据题意得出参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0，分别求出或0的概率，然后求出期望即可.‎ ‎【详解】（1）（千米）‎ ‎（2）因为服从正态分布 ‎ 所以 ‎ ‎（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即。遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种。‎ ‎ ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为 ‎ ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为 所以， ‎ ‎ 当时，数列是公比为的等比数列 ‎ ‎ ‎ 以上各式相加，得 ‎ （）， 获胜的概率 失败的概率 设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0‎ X的期望 参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求平均数、正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，考查面较广，属于难题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）判断函数在区间上零点的个数；‎ ‎（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）对一切成立.‎ ‎【答案】（1）两个零点；（2）（I）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对求导，利用导数得出函数的单调性，结合零点存在性定理即可得出零点的个数；‎ ‎(2) （Ⅰ）对函数求导，由(1)得出的范围，进而得到，利用诱导公式即可得出;‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得出 >>，结合的单调性确定，且，对n为偶数和奇数进行分类讨论，即可得出对一切成立.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，，‎ 在上单调递减，，在上无零点 当时，，在上单调递增， ‎ 在上有唯一零点 当时，，上单调递减 ‎，上有唯一零点 综上，函数在区间上有两个零点。 ‎ ‎（2）‎ ‎（I）由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；‎ 在有极大值点，即为，同理可得，在有极小值点，‎ 在有极值点.由得 ‎，，由函数在单调递增，‎ 得，，‎ 由在单调递减得 ‎；‎ ‎（Ⅱ）同理， >>‎ 由在上单调递减得 ‎，且 当n为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，‎ 即，结论成立；‎ 当n为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即，结论也成立。‎ 综上，对一切，成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在研究函数性质的应用、零点存在性定理、余弦函数的单调性，考查面较广，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎