北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷（解析版）

北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学（理）试卷（解析版）

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试 数学（理科）试卷 ‎2019年1月 第一部分（选择题）‎ 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．‎ ‎【详解】∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），‎ B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），‎ ‎∴A∩B＝（，3），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，属于基础题．‎ ‎2.设向量，,则与垂直的向量的坐标可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．‎ ‎【详解】；‎ 可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．‎ ‎3.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，‎ 可得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，‎ 又由函数f（x）为R上的奇函数，‎ 则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质．‎ ‎4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则a等于（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．‎ ‎【详解】抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a2+5＝32＝9，‎ ‎∵a＞0，解得a＝2，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．‎ ‎5.已知x,y满足不等式组则的最大值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z＝x+y的最大值．‎ ‎【详解】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；‎ 三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；‎ 将三个代入得z的值分别为3，2，6；‎ ‎∴直线z＝x+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解．‎ ‎6.设，则“ ”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．‎ ‎【详解】∵a，b∈（1，+∞），‎ ‎∴a＞b⇒logab＜1，‎ logab＜1⇒a＞b，‎ ‎∴a＞b是logab＜1的充分必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．‎ ‎【详解】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；‎ 在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，‎ 它的面积为BC•PB1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题．‎ ‎8.设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：‎ ‎①函数图象上两点与的横坐标分别为和，则； ‎ ‎②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；‎ ‎③设,是抛物线上不同的两点，则 ；‎ ‎④设, 是曲线（是自然对数的底数）上不同的两点，则．‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由新定义，利用导数求出函数y＝sinx、y＝x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确；举例说明②是正确的；求出曲线y＝ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断④错误．‎ ‎【详解】对于①，由y＝sinx，得y′＝cosx，‎ 则kA＝cos1，kB＝cos（﹣1）＝cos1，则|kA﹣kB|＝0，即φ（A，B）＝0，①正确；‎ 对于②，如y＝1时，y′＝0，则φ（A，B）＝0，②正确；‎ 对于③，抛物线y＝x2的导数为y′＝2x，yA＝xA2，yB＝xB2，‎ ‎∴yA﹣yB＝xA2﹣xB2＝（xA﹣xB）（xA+xB），‎ 则φ（A，B）2，③正确；‎ 对于④，由y＝ex，得y′＝ex，φ（A，B），‎ 由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）1，∴④错误；‎ 综上所述，正确的命题序号是①②③．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解．‎ 二、填空题．‎ ‎9.复数的共轭复数是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案．‎ ‎【详解】解：z，‎ ‎∴复数z的共轭复数是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．‎ ‎10.设等比数列{an}的公比，前n项和为，则_____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．‎ ‎【详解】解：15．‎ 故答案是：15．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．‎ ‎11.已知角的终边与单位圆的交点为，则 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由任意角的三角函数的定义有，sinα，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±，‎ 由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±，得解 ‎【详解】解：由三角函数的定义有：sinα，由sin2α+cos2α＝1，‎ 得：cosα＝±，‎ 由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题 ‎12.的展开式中含的项的系数是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．‎ ‎【详解】解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣1）r•x6﹣2r，‎ 令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为15，‎ 故答案为：15．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎13.直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数．‎ ‎【详解】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：yx；‎ 与曲线（θ为参数）的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝1．‎ 圆的圆心（2，0）到直线yx的距离为：1；‎ 所以直线与圆相切，有1个交点．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力．‎ ‎14.已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出f（x）的函数图象，由直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0，由△＝0，解得k值，求出过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围．‎ ‎【详解】作出y＝f（x）与y＝kx﹣2的函数图象如图所示：‎ 直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），‎ 联立，得x2﹣kx+2＝0．‎ 由△＝k2﹣8＝0，得k．‎ 又过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k＝3．‎ 易知直线经过点(2,0)时恰好与曲线相切.‎ 由图可知，若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，‎ 则实数k的取值范围为（0，3）∪{}．‎ 故答案为：（0，3）∪{}．‎ ‎【点睛】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且．‎ ‎（Ⅰ）求BD的长；‎ ‎（Ⅱ）求△BCD的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）运用正弦定理可解决此问题；（Ⅱ）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题．‎ ‎【详解】（Ⅰ）在中，因为， ‎ 所以． ‎ 由正弦定理， ‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）因为， ‎ 所以．‎ 所以 ．‎ 在中，由余弦定理， ‎ 得， ‎ 解得或（舍）．‎ 所以的面积 ‎ ‎ ‎【点睛】解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎16.北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：‎ 四惠 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 四惠东 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 高碑店 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 传媒大学 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ 双桥 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ 管庄 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ 八里桥 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ 通州北苑 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 果园 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 九棵树 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 梨园 ‎3‎ ‎3‎ 临河里 ‎3‎ 土桥 四惠 四惠东 高碑店 传媒大学 双桥 管庄 八里桥 通州北苑 果园 九棵树 梨园 临河里 土桥 ‎（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；‎ ‎（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件A中基本事件数63．由此能求出两站间票价不足5元的概率．‎ ‎（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ ‎（Ⅲ）Dξ＝Dη．‎ ‎【详解】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，‎ 在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A中基本事件数为78-15=63．‎ 所以两站间票价不足5元的概率． ‎ ‎（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元.‎ X的所有可能取值为6，7，8，9，10. ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎． ‎ 所以X的分布列为 X ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ） ．‎ ‎【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎17.如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ) （Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．‎ ‎（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角 B﹣AE﹣B1的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，‎ 因为底面，CD⊂平面ABC， ‎ 所以． ‎ 又为等边三角形，为的中点，‎ 所以．因为， ‎ 所以平面； ‎ ‎（Ⅱ）取中点，连结，则 因为，分别为， 的中点，‎ 所以．‎ 由（Ⅰ）知，，‎ 如图建立空间直角坐标系．‎ 由题意得，，， ,,,,， ‎ ‎，． ‎ 设平面 法向量， ‎ 则即 ‎ 令，则，．即． ‎ 平面BAE法向量．‎ 因为，，，‎ 所以 ‎ 由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为. ‎ ‎（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．‎ 假设线段上存在点M，使平面．则 ‎，使得．‎ 因为，所以． ‎ 又，所以．‎ 由（Ⅱ）可知，平面法向量，‎ 平面，当且仅当，‎ 即，使得．‎ 所以 解得．‎ 这与矛盾．‎ 所以在线段上不存在点M，使平面．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．‎ ‎18.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) y=x-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，yP），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得 ‎ 解得． ‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， ‎ 由得. ‎ 令，得． ‎ ‎，．‎ 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴． ‎ 过做的垂线，则垂足为线段的中点．‎ 设点的坐标为，则．‎ 由方程组解得，即． ‎ 而， ‎ 所以直线的方程为y=x-1．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．‎ ‎19.已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）的定义域为． ‎ ‎ ． ‎ 令，得． ‎ 当时，；当时，． ‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； ‎ ‎（Ⅱ）设点的横坐标为，则，．‎ 因为，，所以，． ‎ 由题意得 由得或（舍）． ‎ 所以 ．‎ 设，则 ‎． ‎ 令，得． ‎ 当时，，单调递增；‎ 当 时，，单调递减． ‎ 所以在的最大值为，‎ 即的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎20.一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．‎ ‎（Ⅰ）求和； ‎ ‎(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；‎ ‎（Ⅲ）设，求证：，，使得．‎ ‎【答案】(Ⅰ)11,36 (Ⅱ)见解析；（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；‎ ‎（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得Sn和f（n），比较大小得结论；‎ ‎（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤Sn成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜Sn+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+pn，结合（Ⅱ）可知，当n≥5时，Sn＜f（n），得到pn＞2k﹣1，从而pn+1＞2k+1．进一步得到．‎ ‎【详解】(Ⅰ)，‎ ‎； ‎ ‎(Ⅱ)当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 当时，，，．‎ 所以当时，．‎ 当时，，，．‎ 不难看出，当时，．‎ ‎（Ⅲ）因为，，，，，‎ 所以当时，，使得；‎ 当时，，使得；‎ 当时，，使得；‎ 当时，，使得 所以时，命题成立． ‎ ‎ 当时，设是使得成立的最大自然数，只需证．‎ 因为 ， ‎ ‎，‎ 由(Ⅱ)可知，当时，， ‎ 所以，从而 所以，即． ‎ 综上可知，命题成立．‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．‎