黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题

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黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题

哈尔滨市第六中学2020届高三第三次模拟考试 理科数学试卷 考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,‎ 满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;‎ ‎(2)选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, ‎ 字迹清楚;‎ ‎(3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效;‎ ‎(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、 选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设,则( )‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎3.已知向量且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.在等比数列中,若,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若函数的零点在区间上,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.函数,下列结论正确的是( )‎ A.向右平移个单位,可得到函数的图像 ‎ B.的图像关于中心对称 ‎ C.的图像关于直线对称 ‎ D.在为增函数 ‎9.在的展开式中, 项的系数为( )‎ A.10 B.25 C.35 D.66‎ ‎10.已知三棱锥的外接球的球心为,平面, , ,‎ ,则球心O到平面的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在中,的对边分别为,,,且满足,‎ ‎,则面积的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义域为R的奇函数,满足,则下列叙述正确的为( )‎ ‎①存在实数k,使关于x的方程有7个不相等的实数根 ‎②当时,恒有 ‎③若当时,的最小值为1,则 ‎④若关于的方程和的所有实数根之和为零,则 A.①②③ B.①③ C.②④ D.①②③④ ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题,23题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.过点的直线与抛物线交于两点,且,‎ 则此直线的方程为_________.‎ ‎14.函数的单调减区间为______________.‎ ‎15.在我校本年度足球比赛中,经过激烈角逐后,最终四个班级的球队闯入半决赛.‎ 在半决赛中,对阵形式为:对阵,对阵,获胜球队进入决赛争夺冠亚军,‎ 失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的,四支球队间相互获胜的概率如下表所示:‎ 获胜概率 ‎—‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.8‎ 获胜概率 ‎0.7‎ ‎—‎ ‎0.7‎ ‎0.5‎ 获胜概率 ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎—‎ ‎0.3‎ 获胜概率 ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.7‎ ‎—‎ 则队最终获得冠军的概率为_____.‎ ‎16.正方体的棱长为2,点在棱上运动,过三点作正方体的截面,若为棱的中点,则截面面积为_________,若截面把正方体分成体积之比为的两部分,则=_______.‎ 三、解答题:本大题共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列前三项的和为,前三项的积为, ‎ ‎(Ⅰ)求等差数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若公差,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分分)‎ 如图,在多面体中,正方形所在平面垂直于平面,是等腰直角三角形,,∥,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.(本小题满分分)‎ ‎ 已知点,过点作抛物线的两切线,切点为.‎ ‎(Ⅰ)求两切点所在的直线方程;‎ y x D o ‎(Ⅱ)椭圆,离心率为,(Ⅰ)中直线AB与椭圆交于点P,Q, 直线的斜率分别为,,,若,‎ 求椭圆的方程.‎ ‎20.(本小题满分分)‎ ‎“海水稻”就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区,具有耐盐碱的水稻,它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力,具有抗涝,抗病虫害,抗倒伏等特点,还具有预防和治疗多种疾病的功效,防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系,用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.‎ 海水浓度(‰)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 亩产量(吨)‎ ‎0.62‎ ‎0.58‎ ‎0.49‎ ‎0.4‎ ‎0.31‎ 残差 ‎(Ⅰ)请你估计:当浇灌海水浓度为8‰时,该品种的亩产量.‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎(i )完成上述残差表:‎ ‎(ii)统计学中,常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据,利用统计学的相关知识,说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?(计算中数据精确到)‎ ‎(附:残差公式,相关指数)‎ ‎21.(本小题满分分)‎ ‎ 已知函数()‎ ‎(Ⅰ)若为的极大值点,求的取值范围;.‎ ‎(Ⅱ)当时,判断与轴交点个数,并给出证明.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ 作答时请写清题号。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),‎ 以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线,的极坐标方程分别为,,交曲线于点,交曲线于点.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若关于的不等式有解,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对任意成立,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C A C D C C D B D B ‎13、 14、15、0.22 16、‎ ‎17.解:‎ ‎(1)由,得所以 ( 1分 )‎ 又得,即 ( 2分 )‎ 所以, ( 4分 )‎ 即或 ( 6分 )‎ ‎(2)当公差时,‎ ‎1)当时,, ( 7分 )‎ 设数列的前项和为,则( 8分 )‎ ‎2)当时, ( 10分)‎ 所以数列的前项和 ( 12分)‎ ‎18.解:‎ ‎(1)可取中点,连结,证明四边形为平行四边形,‎ 且平面即可(6分)‎ ‎(2)易知两两垂直,故以为坐标原点,分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系。‎ 可求得,(7分)‎ 平面的一个法向量为(9分)‎ 设直线与平面所成角为,则(11分)‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为。(12分)‎ ‎19、(1)(2)‎ 设切点则有 由切线的斜率为设切点 所以抛物线点的切线的斜率为,切线方程为 抛物线点的切线的斜率为,切线方程为(2分)‎ 两切线交点(4分)‎ ‎(6分)‎ 直线方程为 由得又,‎ 所以.‎ 所以椭圆方程为,‎ 由得,‎ 所以,(8分)‎ 又因为,‎ 即,(10分)‎ ‎(12分)‎ ‎20.(1)经计算,,‎ 由可得,,.....1分 当时,, 2分 所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩产量为0.24吨. 3分 ‎(2)(ii)由(1)知,从而有 海水浓度(‰)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 亩产量(吨)‎ ‎0.62‎ ‎0.58‎ ‎0.49‎ ‎0.4‎ ‎0.31‎ 残差 ‎-0.02‎ ‎0.02‎ ‎0.01‎ ‎0‎ ‎-0.01‎ ‎8分 ‎(ii) , 10分 所以亩产量的变化有是由海水浓度引起的.(或者说海水浓度解释了的亩产量变化)12分 ‎21、(1)(1分)‎ 设 当无极值 成立 为极小值点 综上(6分)‎ ‎(2)由(1)知 ①在单调递增,,有唯一零点 ‎②满足,‎ 在增,减增 当时恒成立,当 有唯一零点 ‎③‎ 在增,减增 在无零点,在有唯一零点 综上:,有唯一零点(12分)‎ ‎22.解:(1)曲线E的普通方程为 令,得,‎ 即曲线E极坐标方程为 ......4分 ‎(2)依题意得,根据勾股定理,,‎ 将,代入中,‎ 得, ......6分 设点所对应的极径分别为,,,, ... ...7分 则,,, ... ...8分 ‎∴‎ ‎... ...10分 ‎23.(1),‎ ‎∴的值域为,‎ ‎∵关于的不等式有解,‎ ‎∴, 5分 ‎(2)与 由图象知,要使对任意成立,‎ 只需要,且 解得,9分 故得取值范围为.10分
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