黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高三年级期中考试数学理科试题（含答案）

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高三年级期中考试数学理科试题（含答案）

1 哈三中 2020-2021 学年度上学期高三年级 期中考试数学(理)试题 一､选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合则 A∪B= , 则 A∪B= A. [-2,+∞) B. [1,3] C. (1,3] D. (1,+∞) 2.已知 =2, 则 与 夹角为 3.数列 中, ,则 A.2 C.-1 D.1 4.中国的 5G 技术领先世界, 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式: .它表示:在受噪声 干扰的信道中,最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 w,信道内信号的平均功率 S,信道内部的高斯噪声功率 N 的大 小,其中 做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里的 1 可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽 W,而将信 噪比 从 1000 提升至 4000,则 C 大约增加了 附: lg2≈0.3010 A.10% B.20% C.50% D.100% 5. 在△ABC 中, 则 6.等比数列 的各项均为正数,且 .则 ＝ A.3 B.505 C.1010 D.2020 7.函数 的图象大致形状是 2{ | log ( 1)}A x y x= = − 2{ | 6 0}B x x x= − − ≤ | | 1,a = b , ( ),a a b⊥ −   a b . 6A π . 3B π 2. 3C π 5. 6D π { }na 1 1 12, 1 ( 2)n n a a na − = = − ≥ 8a = 1. 2B 2log (1 )SC W N = + S N S N 2 ,BD DC=  AD = 1 2.3 3A AB AC+  2 1. 3 3B AB AC+  1 3. 4 4C AB AC+  3 1. 4 4D AB AC+  { }na 1010 1011 3a a = 3 1 3 2 3 2020log log loga a a+ + + 1( ) cos1 x x ef x xe += − 2 8.已知向量 与 的夹角为 , , ,则 在 方向上的投影为 A. B. C.2 D 9.设 是定义在 R 上的偶函数,且 ,当 时, ,若关于 x 的方程 在区间 内恰有 5 个不同的 实数根,则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 10.已知函数 是幂函数,对任意的 ， 且 , 满足 ,若 a， , ,则 的值 A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.等于 0 D.无法判断 11.已知函数 ,若不等式 对于 恒成立,则 a 的取值范围为 A. B. C. D. 12.已知函数 ,周期 , ,且在 处取得最大值,则使得不等式 恒成立的实数λ的最小值为 A. B. C. D. 二､填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分:将答案填在答题卡相应的位置上) a b 60o | | 2a = | | 5b = 2a b−  a 3 2 − 3 2 5 2 ⋅ ( )f x ( ) ( )2 2f x f x+ = − [ ]2,0x∈ − ( ) 2 12 x f x  = −    ( ) ( ) ( )2 0 0, 1af x log x a a− + = > ≠ ( )2,10− ( )8,12 ( )12,+∞ ( ]8,12 ( )1,8 ( ) ( ) 32 11 mf x mm x −= − − 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − >− b R∈ 0a b+ < ( ) ( )f a f b+ ( ) 2| | 3f x ln x x= + + ( ) ( )2 3 2 2f log a f x x− + x∈ R 1 ,13      1 ,33      ( ]1 ,1 1,33  ∪  [ )3,+∞ ( )f x sin x cos xω ω= − 2T π< 33f π  =   6x π= | | aλ ω  3 10 3 11 3 12 3 13 3 13.若向量 与 共线,则 ______. 14.函数 的部分图象如图所示,则 ＿＿＿＿＿. 15.我国著名的数学家秦九在《数书九章》提出了“三斜求积术”,他把三角形的三条边 分别称为小斜､中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而 得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个数,相减后余数被 4 除,所得的数作为“实”,1 作为“隅”,开 平方后即得面积所谓“实”､“隅”指的是在方程 中,p 为“隅”,q 为“实”,即若 的大斜､中斜､小 斜 分 别 为 a,b,c, 则 . 已 知 点 D 是 边 AB 上 一 点 , , , , ，则 的面积为_____. 16.设 是数列 的前 n 项和, ,当 时有 ,则使 1 成 立的正整数 m 的最小值为_______. 三､解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 为等差数列 的前 n 项和,已知 , . (1)求数列 的通项公式 . (2)求 ,并求 的最小值. 18.已知函数 , . (1)当函数 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合; (2)用五点法做出该函数在 上的图象; (3)写出函数 单调递减区间 ( ), 3a t t= − ( )3,2b t= + t = ( ) ( ) 0, 0,| | 2f x Asin x A πω ϕ ω ϕ = + > > <   ( )f x = 2px q= ABC 22 2 2 2 2 21 4 2 a c bS a c   + − = −     ABC 3AC = 2BC = A 45CD °∠ = 8 15 7tan BCD +∠ = ABC nS { }na 1 3a = 2N 1 12 2nn n nS S S S naπ − − =+ − 1 2 202mtS S S  nS { }na 7 1α = 4 32S = − { }na nS nS ( ) 21 3 1 2 2 4f x cos x sinxcosx= + − ( )x R∈ ( )f x [ ]0,π ( )f x 4 19.数列 中, , . (1)求证:数数列 是等比数列,并求数列 的通项公式； (2)设 ,数列 的前 n 项和为 .求证: . 20.△ABC 中,三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, , (1)判断 的形状; (2)若 ,试求 M 的最小值 21.已知函数 ， . (1)判断函数 的单调性; (2)若 ,判断是否存在实数 a,使函数 的最小值为 2?若存在求出 a 的值;若不存在,请说明 理由 (3)证明: . 请考生在第 22,23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.曲线 C: ,其中 t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C ﹔ρ=2acosθ(a>0)关于 C 对称. (1)求曲线 C 的普通方程,曲线 C 直角坐标方程: { }na 1 2a = ( ) 1 2 1 n n na an+ += { }na n { }pa n n nb a n = − { }12n n nb b + nS 1nS < 2AB AB AC BA BC CB CB= ⋅ + ⋅ + ⋅      ABC ( ) 1 1 1M a b c a b c  = + + + +   ( ) 21 2f x ax x lnx b= − ⋅ + ( ) ( )g x f x′= ( )y g x= ( ]( )0, 2.718x e e∈ ≈ ( )g x 31 2 33 12 3 4 1 n n ln nn  + + + + > − + +  2 1 2 1 x t y t = + = −    2 1 1 2 5 (2)将 C 向左平移 2 个单位长度,按照 变换得到 C ,点 P 为 C 上任意一点,求点 P 到曲线 C 距离的最 大值, 23.已知函数 (1)解不等式 ; (2)若 对所有的 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 1 2 3 2 x x y y ′ ′  =  = 3 3 1 ( ) | 2 |f x x= − ( ) ( )2 4 2f x f x− + < ( ) ( ) 21 3 3f x f x m m− ⋅ + + x∈ R