2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

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2017-2018 学年山东省临沂市罗庄区高二 下学期期中考试文 科 数 学 2018. 05 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔 和 2B 铅笔分别涂写在答题卡上； 2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡. 参考公式与临界值表： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d b c b d      ． 2 0( )P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 1 i1 i x y  ，其中 x ， y 是实数，i 是虚数单位，则 ix y 的共轭复数为 A. 1 2i B. 2 i C. 2 i D. 1 2i 2. 在一组样本数据 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ，， ( , )n nx y （ 1 22, , , , nn x x x  不全相等） 的散点图中，若所有样本点 ( , )i ix y (i 1, 2, , )n  都在直线 1 12y x  上，则这组样本 数据的样本相关系数为 A. 1 B. 0 C. 1 2 D. 1 3. （下列①②两题任选一题） ①已知点 P 的极坐标是 (1, ) ，则过点 P 且垂直极轴所在直线的直线方程是 A. 1  B. cos  C. 1 cos    D. 1 cos   ②若| |x a h  ，| |y a h  ，则下列不等式一定成立的是 A. | |x y h  B. | |x y h  C. | | 2x y h  D. | | 2x y h  4.有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知 直线 b  平面 ，直线 a 平面 ，直线b ∥平面 ，则直线b ∥直线 a ．结论显然是 错误的，这是因为 A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 5. 为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了 5 天，其开业天数与 每天的销售额的情况如下表所示： 开业天数 10 20 30 40 50 销售额/天(万元) 62 75 81 89 根据上表提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 0.67 54.9y x  ，由于表中 有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 A．67 B．68 C．68.3 D．71 6. 已知 ( i) (1 2i) 5a b    （为虚数单位， ），则 a b 的值为 A. B. C. D. 7. （下列①②两题任选一题） ①直线 cos , sin , x t y t      （t 为参数）与圆 4 2cos , 2sin , x y       （ 为参数）相切，则直线的 倾斜角 为 A. 6  或 5 6  B. 4  或 3 4  C. 3  或 2 3  D. 6  或 5 6  ②若函数 ( ) | | | 5|f x x t x    的最小值为3，则实数t 的值为 A. 或 B. 或 C. D. 8. 假设有两个分类变量 X 和Y 的 2 2 列联表：对同一样本，以下数据能说明 X 与Y 有关系的可能性最大的一组为 A. 45, 15a c  B. 40, 20a c  C. 35, 25a c  D. 30, 30a c  XY 1y 2y 总计 1x a 10 10a  2x c 30 30c  总计 60 40 100 9. 若复数 z 满足 2 3 2iz z   其中 为虚数单位，则 z  A. 1 2i B. 1 2i C. 1 2i  D. 1 2i  10. 下面使用类比推理恰当的是 A. “若 3 3a b   ，则 a b ”类推出“若 0 0a b   ，则 a b ” B. “若 ( )a b c ac bc   ”类推出“ ( )a b c ac bc   ” C. “ ( )a b c ac bc   ”类推出“ ( ) ( 0)a b a b cc c c     ” D. “ ( )n n nab a b ”类推出“ ( )n n na b a b   ” 11. （下列①②两题任选一题） ①在以 O 为极点的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是 cos 2 0    ，直线l 与极轴 相交于点 M ，以 OM 为直径的圆的极坐标方程是 A. 2 cos   B. 2sin  C. 2 cos  D. 2cos  ②已知 , Ra b ，则使不等式| | | | | |a b a b   一定成立的条件是 A. 0a b  B. 0a b  C. 0ab  D. 0ab  12. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六 艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、 数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规 定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为 , ,a b c （ a b c  ，且 , , N*a b c ）；选手 最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为 26 分，乙和丙最后得分都 为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是 A. 每场比赛第一名得分 a 为 4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名 C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题纸给定的横 线上. 13. 复平面内的点 , ,A B C ，点 A 对应的复数为 2 i ，BA  对应的复数为1 2i ，BC  对 应的复数为3 i ，则点C 对应的复数为 ． 14.已知点 2 1 1( , )A x x ， 2 2 2( , )B x x 是抛物线上任意不同的两点，依据图象知，线段 AB 总是位于 A ， B 两点之间函数图象的上方，因此有结论 2 2 21 2 1 2( )2 2 x x x x  成立．运 用类比的方法可知，若点 1 1( ,sin )A x x ， 2 2( ,sin )B x x 是函数 sin ( (0, ))y x x   图象 上不同的两点，则类似地有结论________． 15.已知由一组样本数据确定的回归直线方程为 ˆ 1.5 1y x  ，且 2x  ，发现有两组 数据 (2.4, 2.8) 与 (1.6, 5.2) 误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为 1，那么当 4x  时， ˆy 的估计值为 ． 16. （下列①②两题任选一题） ①已知直线 1 ,: 3 2 . x tl y t      （t 为参数且 ）与曲线 cos ,: 2 cos2 , xC y       （ 是 参数且 [0, 2 ]  ），则直线l 与曲线C 的交点坐标为 ． ②若关于 x 的不等式 2| 3| | 1| 3x x a a     对任意 恒成立，则实数 a 的 取值范围是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程 17. （本小题满分 10 分） 设复数 iz a b  ( , R, 0)a b a  ，满足| z | 10 ，且复数 (1 2i)z 在复平面上 对应的点在第二、四象限的角平分线上． （1）求复数 z ； （2）若 i ( R)1 i mz m  为纯虚数，求实数 m 的值． 18. （本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 1 1n na a n n      ， N*n . （1）求 2 3 4, ,a a a ，并猜想数列 na 的通项公式； （2）设数列 na 的前 n 项和为 nS ，求证：数列 nS 不是等差数列． 19. （本小题满分 12 分） 某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 分为优秀， 分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的 2 2 列联表，且已知在甲、乙两个文科 班全部 人中随机抽取 人为优秀的概率为 3 11 ． （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，是否有99.9%的把握 认为“成绩与班级有关系”． 20. （下列①②两题任选一题）（本小题满分 12 分） ①在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为 2 2cos , 2sin x y       （ 为参数），以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是 2 sin( ) 3 33     ，射线 :OM 3   与圆C 的交点 为O ， P ，与直线的交点为 Q ，求线段 PQ 的长． ②设函数 ( ) | 2 3| | 1|f x x x    ． （1）解不等式 ( ) 4f x  ； （2）若存在 3[ , 1]2x  ，使不等式 1 ( )a f x  成立，求实数 a 的取值范围． 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 21. （本小题满分 12 分） 某市春节期间 家超市的广告费支出 ix （万元）和销售额 iy （万元）数据如下： 超市 A B C D E F G 广告费支出 ix 1 2 3 4 5 6 7 销售额 iy 19 32 40 44 52 53 54 参考数据及公式： 8x  ， 42y  ， 7 1 2794i i i x y   ， 7 2 1 708i i x   ， 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y n xy b x nx         ， ˆˆa y bx  ， ln 2 0.7 ． （1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）用对数回归模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程： ˆ 12ln 22y x  ，经计算 得出线性回归模型和对数模型的 2R 分别约为 0.75 和 0.97 ，请用 2R 说明选择哪个回归 模型更合适，并用此模型预测 A 超市广告费支出为8 万元时的销售额． 22. （下列①②两题任选一题）（本小题满分 12 分） ①以直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的 长度单位．已知直线l 的参数方程为 sin , 1 cos x t y t       （t 为参数，0    ），曲线C 的 极坐标方程为 2cos 4sin   ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，当 变化时，求| |AB 的最小值． ②已知函数 2( ) log (| 1| | 2| )f x x x a     ． （1）当 7a  时，求函数 ( )f x 的定义域； （2）若关于 x 的不等式 ( ) 3f x  的解集是 R ，求实数 a 的最大值． 高二质量调研试题 文科数学参考答案 2018. 05 一、选择题：BACAB DAABC DC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 4 2i 14. 1 2 1 2sin sin sin2 2 x x x x  15.6 16. ①(1,3) 16.② 1a   或 4a  ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17.解：（1） 由| z | 10 得 2 2 10a b  ，① ………………2 分 又复数 (1 2i) z ( 2 ) ( 2 )ia b b a     在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线 上， 则 ( 2 ) ( 2 ) 0a b b a    ，即 3a b ，② ………………………4 分 由①②联立的方程组得 3, 1a b  或 3, 1a b    ． ∵ 0a  ，∴ 3 iz   ． …………………………………………………………5 分 （2） 由（1）得 3 iz   ，……………………………………………………6 分 i ( i)(1 i)3 i+1 i 2 m mz      5 1i2 2 m m   ．…………………8 分 ∵ i ( R)1 i mz m  为纯虚数， ………………………………………………9 分 ∴ 5m   ．…………………………………………………………………………10 分 18.解：（1）∵ na 满足 1 1a  ， 1 1 1n na a n n      ， N*n ∴ 2 2 1a   ，同理 3 3 2a   ， 4 4 3a   ，，…………………3 分 归纳猜想： 1na n n   ．…………………………………………………6 分 （2）由（1）知 1 1 1S a  ， 2 1 2 1 2 1 2S a a      ，……………7 分 3 2 3 2 3 2 3S S a      ．…………………………………………8 分 假设 nS 是等差数列，…………………………………………………………9 分 则 1 2 3, ,S S S 成等差数列，所以 2 1 32S S S  ，………………………………10 分 即 2 2 1 3  ，两边平方得 2 3 ，显然不成立，所以假设错误．……11 分 ∴数列 nS 不是等差数列．……………………………………………………12 分 19. 解：（1） ………………………………6 分 （2） 2 2 110 (300 1000) 7.486 10.82830 80 60 50K       ， 没有 99.9%的把握认为成绩与班级有 关．………………………………12 分 20. ①解：（1） 圆C 的普通方程为 2 2( 2) ( 2) 4x y    ，………………2 分 又 cosx   ， siny   ， ∴圆C 的极坐标方程为 4cos  ．……………………………………………4 分 （2） 设 1 1( , )P   ，则由 4cos , ,3       1 1 2, .3     ……………6 分 设 2 2Q( , )  ，则由 (sin 3cos ) 3 3, 3         ， 解得 2 2 3, .3     ………………………………………………………………8 分 ∵ 1 2 3    ， ……………………………………………………………10 分 ∴| | 1PQ  ． ………………………………………………………………12 分 20. ②解：（1）∵ ( ) | 2 3| | 1|f x x x    ， ∴ 33 2, 2 3( ) 4, 12 3 2, 1 x x f x x x x x              ，…………………………………………………2 分 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 ∴ ( ) 4f x   3 ,2 3 2 4 x x       或 3 1,2 4 4 x x       或 1, 3 2 4 x x      2x   或 0 1x  或 1x  ， ………………………5 分 综上所述，不等式的解集为： ( , 2) (0, )   ．………………………6 分 （2） 若存在 3[ ,1]2x  使不等式 1 ( )a f x  成立  min1 ( )a f x  ，……………………………………………………………8 分 由（1）知， 3[ ,1]2x  时， ( ) 4f x x  ， ∴ 3 2x   时， min 5( ) 2f x  ， 51 2a    3 2a  ， ∴实数 a 的取值范围为 3( , )2   ．……………………………………………12 分 21.解： （1） 1 222 1 2794 7 8 42ˆ 1.7708 7 8 n i i i n i i x y n xy b x nx             ， …3 分 ˆˆ 28.4a y bx   ， ………………………………………………5 分 ∴ y 关于 x 的线性回归方程是 ˆ 1.7 28.4y x  ． ……………………6 分 （2）∵ 0.75 0.97 ， …………………………………………………7 分 ∴对数回归模型更合适．…………………………………………………………9 分 当 8x  万元时，预测 A 超市销售额为 47.2 万元． …………………………12 分 22. ①解：（1） 由 sin , 1 cos x t y t       （t 为参数， 0    ），消去t ，得 cos sin sin 0x y     ， …………………………………………………1 分 ∴直线l 的普通方程为 cos sin sin 0x y     ． ……………………2 分 由 2cos 4sin   ，得 2( cos ) 4 sin    ， 把 cosx   ， siny   代入上式，得 2 4x y ， ∴曲线C 的直角坐标方程为 2 4x y ． ………………………………………4 分 （2） 将直线l 的参数方程代入 2 4x y ，得 2 2sin 4 cos 4 0t t    ， …5 分 设 A ， B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ， 则 1 2 2 4cos sint t    ， 1 2 2 4 sint t    ，………………………………………7 分 ∴ 1 2| | | t t |AB   2 1 2 1 2(t t ) 4t t   ………………………………………………8 分 2 4 2 2 16cos 16 4 sin sin sin       ……………………………………………………10 分 当 2   时，| |AB 取得最小值，最小值为 4 ．………………………………12 分 22. ②解：（1） 由题设知：| 1| | 2| 7x x    ，……………………2 分 ① 当 2x  时，得 1 2 7x x    ，解得 4x  ．……………………3 分 ② 当1 2x  时，得 1 2 7x x    ，无解．………………………4 分 ③ 当 1x  时，得 1 2 7x x     ，解得 3x   ． ………………5 分 ∴函数 ( )f x 的定义域为( , 3) (4, )   ．……………………………6 分 （2）不等式 ( ) 3f x  ，即| 1| | 2| 8x x a     ， ………………7 分 ∵ Rx 时，恒有| 1| | 2| | ( 1) ( 2)| 3x x x x        ，………………9 分 又不等式| 1| | 2| 8x x a     解集是 R ， ∴ 8 3a   ，即 5a   ．……………………………………………………11 分 ∴ a 的最大值为 5 ． …………………………………………………………12 分