2013年上海市春季高考数学试卷

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文档介绍

2013年上海市春季高考数学试卷

‎2013年上海市春季高考数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.‎ ‎1.(3分)函数y=log2(x+2)的定义域是  .‎ ‎2.(3分)方程2x=8的解是  .‎ ‎3.(3分)抛物线y2=8x的准线方程是  .‎ ‎4.(3分)函数y=2sinx的最小正周期是  .‎ ‎5.(3分)已知向量,.若,则实数k=  .‎ ‎6.(3分)函数y=4sinx+3cosx的最大值是  .‎ ‎7.(3分)复数2+3i(i是虚数单位)的模是  .‎ ‎8.(3分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a=5,c=8,B=60°,则b=  .‎ ‎9.(3分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为  .‎ ‎10.(3分)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为  (结果用数值表示).‎ ‎11.(3分)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn=  .‎ ‎12.(3分)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为  .‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.‎ ‎13.(3分)展开式为ad﹣bc的行列式是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.(3分)设f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,下列结论正确的是(  )‎ A.f﹣1(2)=2 B.f﹣1(2)=4 C.f﹣1(4)=2 D.f﹣1(4)=4‎ ‎15.(3分)直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是(  )‎ A.(2,﹣3) B.(2,3) C.(﹣3,2) D.(3,2)‎ ‎16.(3分)函数f(x)=的大致图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎17.(3分)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是(  )‎ A. B.ab<b2 C.﹣ab<﹣a2 D.‎ ‎18.(3分)若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2(  )‎ A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 ‎19.(3分)(1+x)10的二项展开式中的一项是(  )‎ A.45x B.90x2 C.120x3 D.252x4‎ ‎20.(3分)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是(  )‎ A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x ‎21.(3分)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为(  )‎ A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16‎ ‎22.(3分)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是(  )‎ A.Z∪∁UN B.N∩∁UN C.∁U(∁u∅) D.∁U{0}‎ ‎23.(3分)已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎24.(3分)已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎ ‎ 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎25.(7分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为,求该三棱柱的体积.‎ ‎26.(7分)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.‎ ‎27.(8分)已知数列{an}的前n项和为S,数列{bn}满足b,求.‎ ‎28.(13分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2‎ ‎(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.‎ ‎29.(12分)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F.‎ ‎(1)点A,P满足.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎30.(13分)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点Pn在x轴上,其横坐标为xn,且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列,记∠PnAPn+1=θn,n∈N*.‎ ‎(1)若,求点A的坐标;‎ ‎(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.‎ ‎31.(18分)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.‎ ‎(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;‎ ‎(2)求函数h(x)= 图象对称中心的坐标;‎ ‎(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b ‎ 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).‎ ‎ ‎ ‎2013年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.‎ ‎1.(3分)(2013•上海)函数y=log2(x+2)的定义域是 (﹣2,+∞) .‎ ‎【分析】要使函数有意义,只需令x+2>0即可.‎ ‎【解答】解:欲使函数有意义,须有x+2>0,解得x>﹣2,‎ 所以函数的定义域为(﹣2,+∞).‎ 故答案为:(﹣2,+∞).‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2013•上海)方程2x=8的解是 3 .‎ ‎【分析】由已知条件2x=8=23,可得x=3,由此可得此方程的解.‎ ‎【解答】解:由2x=8=23,可得x=3,即此方程的解为3,‎ 故答案为 3.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2013•上海)抛物线y2=8x的准线方程是 x=﹣2 .‎ ‎【分析】根据抛物线方程的标准形式,可得抛物线以原点为顶点,开口向右,由2p=8算出=2,即可得到抛物线的准线方程.‎ ‎【解答】解:∵抛物线的方程为y2=8x ‎∴抛物线以原点为顶点,开口向右.‎ 由2p=8,可得=2,可得抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=﹣2‎ 故答案为:x=﹣2‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2013•上海)函数y=2sinx的最小正周期是 2π .‎ ‎【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是 ,运算可得结果.‎ ‎【解答】解:函数y=2sinx的最小正周期是 ==2π,‎ 故答案为 2π.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2013•上海)已知向量,.若,则实数k=  .‎ ‎【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程,解出即可.‎ ‎【解答】解:由,得1×(k﹣6)﹣9k=0,解得k=﹣,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2013•上海)函数y=4sinx+3cosx的最大值是 5 .‎ ‎【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin(x+∅),再根据正弦函数的值域,求得它的最大值.‎ ‎【解答】解:∵函数y=4sinx+3cosx=5(sinx+cosx)=5sin(x+∅),(其中,cos∅=,sin∅=) ‎ 故函数的最大值为5,‎ 故答案为5.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2013•上海)复数2+3i(i是虚数单位)的模是  .‎ ‎【分析】利用模长公式|z|=,代入计算即可得出复数2+3i(i是虚数单位)的模.‎ ‎【解答】解:∵复数2+3i,‎ ‎∴2+3i的模 =.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2013•上海)在△‎ ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a=5,c=8,B=60°,则b= 7 .‎ ‎【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49,解之即可得到b=7.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,a=5,c=8,B=60°,‎ ‎∴根据余弦定理,得 b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49‎ 解之得b=7(舍负)‎ 故答案为:7‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2013•上海)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为 60° .‎ ‎【分析】连接A1D,根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义,我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,连接BD后,解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角.‎ ‎【解答】解:连接A1D,由正方体的几何特征可得:A1D∥B1C,‎ 则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,‎ 连接BD,易得:‎ BD=A1D=A1B 故∠BA1D=60°‎ 故答案为:60°‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2013•上海)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为  (结果用数值表示).‎ ‎【分析】‎ 先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率,然后根据对立事件的概率和为1可得答案.‎ ‎【解答】解:从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为:=,‎ 则选出的3人中男女同学都有的概率为:1﹣=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2013•上海)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn=  .‎ ‎【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn,则由题意可得 ,解得a、b的值,即可求得数列的前n项和Sn的解析式.‎ ‎【解答】解:设等差数列的前n项和Sn=an2+bn,则由题意可得 ,解得 ,‎ 故数列的前n项和Sn=,‎ 故答案为 .‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2013•上海)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为 4836 .‎ ‎【分析】这是一个类比推理的问题,在类比推理中,参照上述方法,2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53),即可得出答案.‎ ‎【解答】解:类比36的所有正约数之和的方法,有:‎ ‎2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,‎ 所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836.‎ 可求得2000的所有正约数之和为 4836.‎ 故答案为:4836.‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.‎ ‎13.(3分)(2013•上海)展开式为ad﹣bc的行列式是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,再根据所给的式子即可得出答案.‎ ‎【解答】解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,‎ 由题意得,=ad﹣bc.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2013•上海)设f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,下列结论正确的是(  )‎ A.f﹣1(2)=2 B.f﹣1(2)=4 C.f﹣1(4)=2 D.f﹣1(4)=4‎ ‎【分析】本题的关键是求函数f(x)=的反函数,欲求原函数的反函数,即从原函数式f(x)=中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.‎ ‎【解答】解:∵f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,‎ ‎∴f﹣1(x)=x2,(x≥0),‎ ‎∴f﹣1(2)=4,f﹣1(4)=16,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2013•上海)直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是(  )‎ A.(2,﹣3) B.(2,3) C.(﹣3,2) D.(3,2)‎ ‎【分析】题意可得首先求出直线的斜率为:k=,即可得到它的一个方向向量(1,k),再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案.‎ ‎【解答】解:由题意可得:直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=,‎ 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =(1,),或(3,2)‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2013•上海)函数f(x)=的大致图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】筛选法:利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案.‎ ‎【解答】解:因为﹣<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,排除选项B、C;‎ 又f(x)的定义域为(0,+∞),‎ 故排除选项D,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2013•上海)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是(  )‎ A. B.ab<b2 C.﹣ab<﹣a2 D.‎ ‎【分析】由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,代入各个选项检验,只有D正确,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,可得=﹣1,∴‎ ‎,故A不正确.‎ 可得ab=2,b2=1,∴ab>b2,故B不正确.‎ 可得﹣ab=﹣2,﹣a2=﹣4,∴﹣ab>﹣a2,故C不正确.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2013•上海)若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2(  )‎ A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 ‎【分析】由题意可得z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,故z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2关于x轴对称.‎ ‎【解答】解:若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,故z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2关于x轴对称,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎19.(3分)(2013•上海)(1+x)10的二项展开式中的一项是(  )‎ A.45x B.90x2 C.120x3 D.252x4‎ ‎【分析】根据(1+x)10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1+x)10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr,故当r=3时,此项为120x3,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎20.(3分)(2013•上海)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是(  )‎ A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x ‎【分析】根据函数的奇偶性排除A、C,再根据函数的单调性排除D,经检验B中的函数满足条件,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数,故排除A、C.‎ 由于函数y=cosx是偶函数,周期等于2π,且在(0,π)上是减函数,故满足条件.‎ 由于函数y=cos2x是偶函数,周期等于π,在(0,)上是减函数,在(,π)上是增函数,故不满足条件.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎21.(3分)(2013•上海)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为(  )‎ A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16‎ ‎【分析】设两个球的半径分别为r1、r2,根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=,解之得=,由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比.‎ ‎【解答】解:设两个球的半径分别为r1、r2,根据球的表面积公式,‎ 可得它们的表面积分别为S1=4,S2=4‎ ‎∵两个球的表面积之比为1:4,‎ ‎∴===,解之得=(舍负)‎ 因此,这两个球的体积之比为==()3=‎ 即两个球的体积之比为1:8‎ 故选:C ‎ ‎ ‎22.(3分)(2013•上海)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是(  )‎ A.Z∪∁UN B.N∩∁UN C.∁U(∁u∅) D.∁U{0}‎ ‎【分析】根据题目中条件“全集U=R”,对各个选项一一进行集合的运算,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵全集U=R,‎ ‎∴Z∪∁UN=R,N∩∁UN=∅,∁U(∁u∅)=∅,∁U{0}={x∈R|x≠0}.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎23.(3分)(2013•上海)已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎【分析】根据充要条件的定义可知,只要看“b2﹣4ac<0”与“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可.‎ ‎【解答】解:若a≠0,欲保证函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方,则必须保证抛物线开口向上,且与x轴无交点;‎ 则a>0且△=b2﹣4ac<0.‎ 但是,若a=0时,如果b=0,c>0,则函数f(x)=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方,不能得到△=b2﹣4ac<0;‎ 反之,“b2﹣4ac<0”并不能得到“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”,如a<0时.‎ 从而,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎24.(3分)(2013•上海)已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎【分析】建立直角坐标系,设出A、B坐标,以及M坐标,通过已知条件求出M的方程,然后判断选项.‎ ‎【解答】解:以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴,建立坐标系,‎ 设M(x,y),A(﹣a,0)、B(a,0);‎ 因为=λ•,‎ 所以y2=λ(x+a)(a﹣x),‎ 即λx2+y2=λa2,当λ=1时,轨迹是圆.‎ 当λ>0且λ≠1时,是椭圆的轨迹方程;‎ 当λ<0时,是双曲线的轨迹方程.‎ 当λ=0时,是直线的轨迹方程;‎ 综上,方程不表示抛物线的方程.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎25.(7分)(2013•上海)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为,求该三棱柱的体积.‎ ‎【分析】因为 CC1∥AA1.根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,从而∠BC1C=.在Rt△BC1C中,求得BC,从而求出S△ABC,最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积.‎ ‎【解答】解:因为 CC1∥AA1.‎ 所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,即∠BC1C=.‎ 在Rt△BC1C中,BC=CC1tan∠BC1C=6×=2,‎ 从而S△ABC==3,‎ 因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3×6=18.‎ ‎ ‎ ‎26.(7分)(2013•上海)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.‎ ‎【分析】设出矩形的边FP的边长,利用三角形相似求出矩形的宽,表示出矩形面积,利用二次函数的最值求解即可.‎ ‎【解答】解:如图,设矩形为EBFP,FP长为x米,其中0<x<40,‎ 健身房占地面积为y平方米.因为△CFP∽△CBA,‎ 以,,求得BF=50﹣,‎ 从而y=BF•FP=(50﹣)•x ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎≤500.‎ 当且仅当x=20时,等号成立.‎ 答:该健身房的最大占地面积为500平方米.‎ ‎ ‎ ‎27.(8分)(2013•上海)已知数列{an}的前n项和为S,数列{bn}满足b,求.‎ ‎【分析】先由Sn求出an,进而得到bn,由bn的表达式可判断数列{bn}‎ 是无穷等比数列,从而可得答案.‎ ‎【解答】解:当n≥2时,=﹣2n+2,‎ 且a1=S1=0,所以an=﹣2n+2.‎ 因为=,所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数列.‎ 故==.‎ ‎ ‎ ‎28.(13分)(2013•上海)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2‎ ‎(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.‎ ‎【分析】(1)由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b,又c=1,集合a2=b2+c2可求a2,b2,则椭圆C的方程可求;‎ ‎(2)由给出的椭圆C的短轴长为2,结合c=1求出椭圆方程,分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,把直线方程和椭圆方程联立,由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和,把转化为数量积等于0,代入坐标后可求直线的斜率,则直线l的方程可求.‎ ‎【解答】解:(1)设椭圆C的方程为.‎ 根据题意知,解得,‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为.‎ 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意;‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1).‎ 由,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 ‎,‎ 因为,所以,即 ‎=‎ ‎=‎ ‎=,解得,即k=.‎ 故直线l的方程为或.‎ ‎ ‎ ‎29.(12分)(2013•上海)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F.‎ ‎(1)点A,P满足.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)设出动点P和A的坐标,求出抛物线焦点F的坐标,由得出P点和A点的关系,由代入法求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设出点Q的坐标,在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标,由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系,再由点Q′在抛物线上,把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),则 ‎,‎ 因为F的坐标为(1,0),所以,‎ 由,得(x﹣xA,y﹣yA)=﹣2(xA﹣1,yA).‎ 即,解得 代入y2=4x,得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x.‎ ‎(2)设点Q的坐标为(t,0).点Q关于直线y=2x的对称点为Q′(x,y),‎ 则,解得.‎ 若Q′在C上,将Q′的坐标代入y2=4x,得4t2+15t=0,即t=0或.‎ 所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0,0)和().‎ ‎ ‎ ‎30.(13分)(2013•上海)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点Pn在x轴上,其横坐标为xn,且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列,记∠PnAPn+1=θn,n∈N*.‎ ‎(1)若,求点A的坐标;‎ ‎(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.‎ ‎【分析】(1)利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列,确定通项,利用差角的正切公式,建立方程,即可求得A的坐标;‎ ‎(2)表示出tanθn=tan(∠OAPn+1﹣∠OAPn),利用基本不等式,结合正切函数的单调性,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:(1)设A(0,t)(t>0),根据题意,xn=2n﹣1.‎ 由,知,‎ 而tanθ3=tan(∠OAP4﹣∠OAP3)==,‎ 所以,解得t=4或t=8.‎ 故点A的坐标为(0,4)或(0,8).‎ ‎(2)由题意,点Pn的坐标为(2n﹣1,0),tan∠OAPn=.‎ ‎∴tanθn=tan(∠OAPn+1﹣∠OAPn)==.‎ 因为≥,所以tanθn≤=,‎ 当且仅当,即n=4时等号成立.‎ ‎∵0<θn<,y=tanx在(0,)上为增函数,‎ ‎∴当n=4时,θn最大,其最大值为.‎ ‎ ‎ ‎31.(18分)(2013•上海)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.‎ ‎(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;‎ ‎(2)求函数h(x)= 图象对称中心的坐标;‎ ‎(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b ‎ 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).‎ ‎【分析】(1)先写出平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函数y=x3﹣3x是奇函数,利用题设真命题知,函数g(x)图象对称中心.‎ ‎(2)设h(x)= 的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数,从而求出a,b的值,即可得出图象对称中心的坐标.‎ ‎(3)此命题是假命题.举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.‎ ‎【解答】解:(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,‎ 由于函数y=x3﹣3x是奇函数,由题设真命题知,函数g(x)图象对称中心的坐标是(1,﹣2).‎ ‎(2)设h(x)= 的对称中心为P(a,b),‎ 由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数.‎ 设f(x)=h(x+a)﹣b,则f(x)=﹣b,‎ 即f(x)=.‎ 由不等式的解集关于原点对称,则﹣a+(4﹣a)=0,得a=2.‎ 此时f(x)=﹣b,x∈(﹣2,2).‎ 任取x∈(﹣2,2),由f(﹣x)+f(x)=0,得b=1,‎ 所以函数h(x)= 图象对称中心的坐标是(2,1).‎ ‎(3)此命题是假命题.‎ 举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,‎ 但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.‎ 修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:wyz123;caoqz;ywg2058;minqi5;刘长柏;qiss;sxs123(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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