2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中考试数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2．已知平面内动点满足，其中，则点轨迹是（ ）‎ A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 ‎3．数列满足，，，则等于（ ）‎ A．5 B．9 C．10 D．15‎ ‎4．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列说法正确的是（ ）‎ A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 ‎6．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数（且）的图象恒过定点，若点A在直线 上，其中，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．7 D．11‎ ‎8．设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．3 C．5 D．6‎ ‎9．命题，命题，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限内的点，直线交椭圆于点，为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 ．‎ ‎14．已知项数为奇数的等差数列共有 项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数的值是 ．‎ ‎15．如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点与公共左焦点，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长轴长的(，且为常数)倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是 ．‎ ‎16．下列命题中 为真命题（把所有真命题的序号都填上）．‎ ‎①“”成立的必要条件是“”；‎ ‎②“若成等差数列，则”的否命题；‎ ‎③“已知数列的前项和为，若数列是等比数列，则成等比数列.”的逆否命题；‎ ‎④“已知是上的单调函数，若，则”的逆命题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知函数，.‎ ‎（1）若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎18．已知数列为等差数列，其中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.‎ ‎19．已知经过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆上不同于的一点，直线的斜率均存在，且直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点，若点在以为直径的圆内部，求的取值范围.‎ ‎20．设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎21．已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为，点，为线段的中点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.‎ ‎22．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线通过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程.‎ ‎2017—2018学年度上学期高二期中考试数试卷 参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:DBDDB 6-10:CACDA 11、12：AC 二、填空题 ‎13． 14．7 15． 16．②④‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题设知：，‎ ‎∵在上递增，∴‎ 又∵在上递减，∴‎ ‎∴有，的范围为 ‎（2）由题设知，‎ ‎∴有，即，∴的范围为.‎ ‎18．解：（1）设等差数列的公差为，‎ 依题意有，解得，，‎ 从而的通项公式为；‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 令，解得，故取.‎ ‎19．解：（1）设则，，∵点三点均在椭圆上，‎ ‎∴，，‎ ‎∴作差得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，∴，，‎ 设，，直线的方程为，记，，‎ 联立得，，‎ ‎∴，，‎ 当点在以为直径的圆内部时，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 得，‎ 解得.‎ ‎20．解：（1）因为，所以当时，得 当时，因为，代入得 所以，又，即为以为首项，为公比的等比数列 所以，所以 ‎（2）因为，所以，‎ 因为数列为等差数列，且 所以，，∴，即公差为1‎ 所以，所以数列的前项和 ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎∴‎ ‎21．解：（1）设点，，‎ 由题意可知：，即①‎ 又因为椭圆的离心率，即②‎ 联立方程①②可得：，，则 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上.‎ 假设当点为椭圆的上顶点时，‎ 直线的方程为，此时点，‎ 则联立直线和直线 可得点 据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明：‎ 设，，联立方程可得，‎ ‎，‎ 由韦达定理可得，（）‎ 因为直线，，‎ 联立两直线方程得（其中为点的横坐标）‎ 即证：，‎ 即，即证 将（）代入上式可得 此式明显成立，原命题得证，所以点在定直线上.‎ ‎22．解：（1）由已知可得解得，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，联立方程 消去得.‎ 当，‎ 即时，，.‎ 所以，.‎ 当时，线段的垂直平分线显然过点 因为，所以 ‎，‎ 当时，取到等号，则 当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，‎ 化简整理得，由得，‎ 又原点到直线的距离为.‎ 所以 而且，则，.‎ 所以当，即时，取得最大值.综上的最大值为，‎ 此时直线或或