江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

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文档介绍

江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

连云港市2018~2019学年第二学期期末考试 高二数学(选修物理)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上.‎ ‎1.已知复数(i为虚数单位),则的实部为____.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 对复数进行四运算,化简成,求得的实部.‎ ‎【详解】因为,所以的实部为.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及实部概念.‎ ‎2.已知一组数据1,3,2,5,4,那么这组数据的方差为____.‎ ‎【答案】2;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求这组数据的平均数,再代入方差公式,求方差.‎ ‎【详解】因为,‎ 方差.‎ ‎【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用,考查基本的数据处理能力.‎ ‎3.某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车,产量分别为120台,600台和200台,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46台进行检验,则抽到乙种型号的吊车应是____台.‎ ‎【答案】30;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的特点,抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例,与总体中乙种型号的吊车的比例相等.‎ ‎【详解】抽到乙种型号的吊车台,则,解得:.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果为____.‎ ‎【答案】16;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 程序语言表示“当型循环结构”,由值控制循环是否终止,当时,输出的值.‎ ‎【详解】‎ 输出.‎ ‎【点睛】阅读程序语言时,要注意循环体执行的次数,何时终止循环是解题的难点.‎ ‎5.在的展开式中常数项为30,则实数的值是____.‎ ‎【答案】2;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项,当的次幂为时,求得,再由展开式中常数项为30,得到关于的方程.‎ ‎【详解】因为,‎ 当时,,解得:.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中的展开式,考查基本运算求解能力,运算过程中要特别注意符号的正负问题.‎ ‎6.10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件,则恰有1件次品的概率是____.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用超几何分布概率公式,直接求出恰有1件次品的概率.‎ ‎【详解】设事件为“从中随机抽取3件,则恰有1件次品”,则.‎ ‎【点睛】求解概率问题的第一步是识别概率模型,再运用公式计算概率值,本题属于超几分布概率模型.‎ ‎7.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取,则选出来的第5个个体的编号为____.‎ 第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98‎ 第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81‎ ‎【答案】02;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第1行第4列数是6,由左到右进行读取10,06,01,09,02.‎ ‎【详解】第1行第4列数是6,由左到右进行读取10,06,01,09,02,‎ 所以第5个个体的编号为02.‎ ‎【点睛】随机数表中如果个体编号是2‎ 位数,则从规定的地方数起,是每次数两位数,如果碰到超出编号范围,则不选;如果碰到选过的,也不选.‎ ‎8.连续抛掷同一颗骰子3次,则3次掷得的点数之和为9的概率是____.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分步计数原理,连续拋掷同一颗骰子3次,则总共有:6×6×6=216种情况,再列出满足条件的所有基本事件,利用古典概型的计算公式计算可得概率.‎ ‎【详解】每一次拋掷骰子都有1,2,3,4,5,6,六种情况,‎ 由分步计数原理:连续抛掷同一颗骰子3次,则总共有:6×6×6=216种情况,‎ 则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即:‎ ‎(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),‎ ‎(2,1,6),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2,6,1),‎ ‎(3,1,5),(3,2,4),(3,3,3),(3,4,2),(3,5,1),‎ ‎(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),‎ ‎(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1),‎ ‎(6,1,2),(6,2,1),共25个基本事件,所以.‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型概率计算,计数过程中如果前两个数固定,则第三个数也相应固定.‎ ‎9.曲线绕坐标原点顺时针旋转后得到的曲线的方程为____.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线绕坐标原点顺时针旋转,这个变换可分成两个步骤:先是关于直线对称,再关于轴对称得到.‎ ‎【详解】绕坐标原点顺时针旋转90°等同于先关于直线翻折,再关于轴翻折,‎ 关于直线翻折得到,再关于轴翻折得到.‎ ‎【点睛】本题表面考查旋转变换,而实质考查的是两次的轴对称变换,要注意指数函数与同底数的对数函数关于直线对称.‎ ‎10.计算____.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据阶乘定义:,计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查阶乘的计算,考查基本的运算求解能力,要求计算过程耐心、细心,才不会出错.‎ ‎11.甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛,已知每一局甲胜的概率为.比赛采用“五局三胜(即有一方先胜3局即获胜,比赛结束)制”,则甲获胜的概率是____.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件同时发生的概率计算求解,甲获胜,则比赛打了5局,且最后一局甲胜利.‎ ‎【详解】由题意知,前四局甲、乙每人分别胜2局,则甲获胜的概率是:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率,属于基础题.‎ ‎12.已知,N*,满足,则所有数对的个数是____.‎ ‎【答案】4;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,即,所以 ‎,因为已知,N*,所以,,继而讨论可得结果。‎ ‎【详解】因为,即,‎ 所以,因为已知,N*,所以,,又,‎ 故有以下情况:‎ 若,得:,‎ 若得:,‎ 若得:,‎ 若得:,‎ 即的值共4个。‎ ‎【点睛】本题考查数论中的计数问题,是创新型问题,对综合能力的考查要求较高。‎ ‎13.观察下列算式:‎ ‎,,,,…,,‎ 则____.‎ ‎【答案】142;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察已知等式的规律,可猜想第行左边第一个奇数为 后续奇数依次为:由第行第一个数为,即:,解得:,可得:,即可得解.‎ ‎【详解】第行等号左边第一个加数为第个奇数,即,于是第一个加数为,所以第个等式为,,‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳与推理,猜想第行左边第一个奇数为进而后续奇数依次为:是解题的关键.‎ ‎14.集合,满足,,若,中的元素个数分别不是,中的元素,则满足条件的集合的个数为____.(用数字作答)‎ ‎【答案】44.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别就集合中含有共8个元素逐一分析,求和后得答案.‎ ‎【详解】含1元,含7元,则,,于是,,共;同理:含2元,含6元,共6个;含3元,含5元,共15个;含5元,含3元,共15个;含6元,含2元,共6个;含7元,含1元,共1个.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用,根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.‎ ‎15.已知直线:(为参数)和圆的极坐标方程:.‎ ‎(1)分别求直线和圆的普通方程并判断直线与圆的位置关系;‎ ‎(2)已知点,若直线与圆相交于,两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)直线,圆,直线和圆相交(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)消去直线参数方程中参数,可得直线的普通方程,把两边同时乘以,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程,再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断直线和圆的位置关系;‎ ‎(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,化为关于的一元二次方程,利用参数的几何意义及根与系数的关系,求的值.‎ ‎【详解】解:(1)由:(为参数),消去参数得.‎ 由得,因,,‎ 则圆的普通方程为. ‎ 则圆心到直线的距离,故直线和圆相交. ‎ ‎(2)设,,‎ 将直线的参数方程代入得, ‎ 因直线过点,且点在圆内,‎ 则由的几何意义知.‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程和普通方程的互化,关键是直线参数方程中参数的几何意义的应用,属于中档题.‎ ‎16.已知,R,矩阵的两个特征向量,.‎ ‎(1)求矩阵的逆矩阵;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由矩阵的特征向量求法,解方程可得,再由矩阵的逆矩阵可得所求;‎ ‎(2)求得,再由矩阵的多次变换,可得所求.‎ ‎【详解】解:(1)设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,‎ 则 ‎ ‎,则. ‎ ‎(2)因, ‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查矩阵的特征值和特征向量,考查矩阵的逆矩阵,以及矩阵的变换,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎17.羽毛球比赛中采用每球得分制,即每回合中胜方得1分,负方得0分,每回合由上回合的胜方发球.设在甲、乙的比赛中,每回合发球,发球方得1分的概率为0.6,各回合发球的胜负结果相互独立.若在一局比赛中,甲先发球.‎ ‎(1)求比赛进行3个回合后,甲与乙的比分为的概率;‎ ‎(2)表示3个回合后乙的得分,求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】(1)0.336(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)记“第回合发球,甲胜”为事件,=1,2,3,且事件相互独立,设“3个回合后,甲与乙比分为2比1”为事件,由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求出比赛进行3个回合后,甲与乙比分为2比1的概率;‎ ‎(2)的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此求出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解:记“第回合发球,甲胜”为事件,=1,2,3,且事件相互独立.‎ ‎(1)记“3个回合后,甲与乙比分为2比1”为事件,‎ 则事件发生表示事件或或发生,‎ 且,,互斥. ‎ 又,‎ ‎,‎ ‎. ‎ 由互斥事件概率加法公式可得 ‎.‎ 答:3个回合后,甲与乙比分为2比1的概率为0.336. ‎ ‎(2)因表示3个回合后乙的得分,则0,1,2,3.‎ ‎,, ‎ ‎.‎ ‎. ‎ 所以,随机变量的概率分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.216‎ ‎0.336‎ ‎0.304‎ ‎0.144‎ 故随机变量的数学期望为 ‎=.‎ 答:的数学期望为1.376.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎18.已知数列满足:,(R,N*).‎ ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)若,求证:.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用数学归纳法证明结论即可;‎ ‎(2)因为(N*),‎ 则,然后用反证法证明当时有矛盾,所以原不等式成立即可.‎ ‎【详解】(1)当时,.下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,,结论成立; ‎ ‎②假设当时,有成立,则当时,‎ 因,‎ 所以时结论也成立.‎ 综合①②可知(N*)成立. ‎ ‎(2)因(N*),‎ 则, ‎ 若,则当时,,与矛盾.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式、数学归纳法证明、反证法等知识,属于中档题.‎ ‎19.如图,已知点是椭圆上的任意一点,直线与椭圆交于,两点,直线,的斜率都存在.‎ ‎(1)若直线过原点,求证:为定值;‎ ‎(2)若直线不过原点,且,试探究是否为定值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2),详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,由椭圆对称性得,把点,的坐标都代入椭圆得到两个方程,再相减,得到两直线斜率乘积的表达式;‎ ‎(2)设,,,则,由得:,进而得到直线的方程,再与椭圆方程联立,利用韦达定理得到坐标之间的关系,最后整体代入消元,得到为定值.‎ ‎【详解】(1)当过原点时,设,,由椭圆对称性得,‎ 则. ‎ ‎∵,都在椭圆上,∴,,‎ 两式相减得:,即.‎ 故. ‎ ‎(2)设,,,则,∵,‎ ‎∴,设直线的方程为(), ‎ 联立方程组消去,‎ 整理得.‎ ‎∵在椭圆上,∴,‎ 上式可化为.‎ ‎∴,, ‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎∴(定值).‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,对综合运算能力要求较高,对坐标法进行深入的考查,要求在运算过程中要大胆、耐心、细心地进行运算.‎ ‎20.对任意正整数,,定义函数满足如下三个条件:‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)求的解析式.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知关系式直接推得即可;(2)由依次推出,再由,,依次推出即可.‎ ‎【详解】解:(1)因,令代入得:‎ ‎,令,代入得:‎ ‎,‎ 又,令代入得:‎ ‎.‎ 令,代入得:. ‎ ‎(2)由条件②可得 ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎.‎ 将上述个等式相加得:. ‎ 由条件③可得:,‎ ‎,‎ ‎… …‎ ‎.‎ 将上述个等式相加得:‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式,注意观察规律,细心完成即可.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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