【数学】2020届一轮复习人教B版11-3　算法案例学案

【数学】2020届一轮复习人教B版11-3　算法案例学案

‎11.3　算法案例 典例精析 题型一　求最大公约数 ‎【例1】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；‎ ‎(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.‎ ‎【解析】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数：‎ ‎1 764＝840×2＋84，‎ ‎840＝84×10＋0.‎ 所以840与1 764的最大公约数是84.‎ ‎(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：‎ ‎556－440＝116，‎ ‎440－116＝324，‎ ‎324－116＝208，‎ ‎208－116＝92，‎ ‎ 116－92＝24，‎ ‎　92－24＝68，‎ ‎　68－24＝44，‎ ‎　44－24＝20，‎ ‎　24－20＝4，‎ ‎　20－4＝16，‎ ‎　16－4＝12，‎ ‎　12－4＝8，‎ ‎　　8－4＝4.‎ 所以440与556的最大公约数是4.‎ ‎【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.‎ ‎(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.‎ ‎【变式训练1】求147,343,133的最大公约数.‎ ‎【解析】先求147与343的最大公约数.‎ ‎343－147＝196，‎ ‎196－147＝49，‎ ‎ 147－49＝98，‎ ‎　98－49＝49，‎ 所以147与343的最大公约数为49.‎ 再求49与133的最大公约数.‎ ‎133－49＝84，‎ ‎ 84－49＝35，‎ ‎ 49－35＝14，‎ ‎ 35－14＝21，‎ ‎ 21－14＝7，‎ ‎　14－7＝7.‎ 所以147,343,133的最大公约数为7.‎ 题型二　秦九韶算法的应用 ‎【例2】用秦九韶算法写出求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.016 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值的过程.‎ ‎【解析】先把函数整理成f(x)＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1，‎ 按照从内向外的顺序依次进行.‎ x＝－0.2，‎ a5＝0.008 33， v0＝a5＝0.008 33；‎ a4＝0.041 67， v1＝v0x＋a4＝0.04；‎ a3＝0.016 67， v2＝v1x＋a3＝0.008 67；‎ a2＝0.5， v3＝v2x＋a2＝0.498 27；‎ a1＝1， v4＝v3x＋a1＝0.900 35；‎ a0＝1， v5＝v4x＋a0＝0.819 93；‎ 所以f(－0.2)＝0.819 93.‎ ‎【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：‎ ‎(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值；‎ ‎(2)减少运算次数，提高效率；‎ ‎(3)步骤重复实施，能用计算机操作.‎ ‎【变式训练2】用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值为　　　　.‎ ‎【解析】1 397.‎ 题型三　进位制之间的转换 ‎【例3】(1)将101 111 011(2)转化为十进制的数；‎ ‎(2)将53(8)转化为二进制的数.‎ ‎【解析】(1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1＝379.‎ ‎(2)53(8)＝5×81＋3＝43.‎ ‎ ‎ 所以53(8)＝101 011(2).‎ ‎【点拨】将k进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k进制数，用“除k取余法”，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒， k进制化为m进制(k，m≠10)，可以用十进制过渡.‎ ‎【变式训练3】把十进制数89化为三进制数.‎ ‎【解析】具体的计算方法如下：‎ ‎89＝3×29＋2，‎ ‎29＝3×9＋2，‎ ‎9＝3×3＋0，‎ ‎3＝3×1＋0，‎ ‎1＝3×0＋1，‎ 所以89(10)＝10 022(3).‎ 总结提高 ‎1.辗转相除法和更相减损术都是用来求两个数的最大公约数的方法.其算法不同，但二者的原理却是相似的，主要区别是一个是除法运算，一个是减法运算，实质都是一个递推的过程.用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确的将多项式改写，然后由内向外，依次计算求解.‎ ‎2.将k进制数转化为十进制数的算法和将十进制数转化为k进制数的算法操作性很强，要掌握算法步骤，并熟练转化；要熟练应用“除基数，倒取余，一直除到商为‎0”‎. ‎