2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高一下学期开学考试数学（理）试题

2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高一下学期开学考试数学（理）试题

2018-2019 学年安徽省六安市舒城中学高一下学期开学考试 数学（理）试题 （总分:150 分，时间:120 分钟） 第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A. B. C． D． 3.若 对于任意非零实数 都有 成立，则 （ ） A． B． C. D． 4.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 等于 （ ） A． B． C. D． 5.对于向量 和实数 ，下列命题中正确的是 （ ） A.若 B.若 C.若 D.若 { | 3 4}M x x= − ≤ < 2{ | 2 8 0}N x x x= − − ≤ M N R= { | 3 4}M N x x= − ≤ < { | 2 4}M N x x= − ≤ ≤ { | 2 4}M N x x= − ≤ < 2 1 x xy x y x += + =与 lnln x xy e y e= =与 , 0| |( ) ( ) , 0 t txf x x g t t tx >= ⋅ = − < 与 ( 0)( ) | | ( ) ,(x 0) x xf x x g x x >= = − < 与 ( )f x x 12 ( ) ( ) 2 1f x f xx − = + (2)f = 0 1 8 3 4 θ x 3 0x y− = 3sin( ) 2cos( )2 sin( ) sin( )2 π θ π θ π θ π θ + + + − − − 3 2 − 3 2 0 2 3 , ,a b c   λ 0, 0 0a b a b⋅ = = =     则 或 0 0 0a aλ λ= = =   , 则 或 2 2 ,a b a b a b= = = −     则 或 0a b a c a b c⋅ = ⋅ ≠ =       且 , 则 6.函数 ) 的部分图象如图所示，为了得到函 数 的图象，只需将 的图象 （ ） A. 向右平移 个单位　 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位 7.已知 ，则 的大小关系是 （ ） A． B． C. D． 8.下列函数既是奇函数，又在 上单调递增的是 （ ） A． B． C. D． 9.函数 在区间 上为减函数，则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 10.如下图所示，在 中， ， 是 上一点，若 ，则 实数 的值为 （ ） A． B． C. D． 11.若向量 为互相垂直的单位向量， 且 的夹角为锐角，则实 数 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 12. 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 函 数 在 上 为 增 函 数 ， 则 不 等 式 的解集为 （ ） A. B. C. D. sin 2y x= ( )f x ( ) sin( )( 0, 0, 2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < 3 π 6 π 3 π 6 π 3.3 0.33 4 5ln , ,5 5 4a b c   = = =       , ,a b c a b c< < a c b< < b c a< < c b a< < [ 1,1]− ( ) | sin |f x x= ( ) ln e xf x e x −= + 1( ) ( )2 x xf x e e−= − 2( ) ln( 1 )f x x x= + − 2( ) 2( 1) 2f x ax a x= + − + ( ,4]−∞ a 1(0, ]2 1[0, ]5 1(0, )5 1( , )5 +∞ ABC∆ 2 3AN NC=  P BN 1 3AP t AB AC= +   t 2 3 2 5 1 6 3 4 ,i j  2 , ,a i j b i m j= − = +      a b 与 m 1( , )2 +∞ 1( , 2) ( 2, )2 −∞ − − 1( , )2 −∞ 2 2( 2, ) ( , )3 3 − +∞ ( )f x R ( )( ) x f xg x e= R 1 ( ) (2 1)xe f x f x- < - 1( , )4 +∞ 1( , )2 +∞ (1, )+∞ (2, )+∞ x y O 6 π− 7 12 π1 A B C N P 第Ⅱ卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请在答题卷的相应区域答题.） 13.已知 ，则实数 的值为________. 14.已知 ，则 _______. 15.已知 为坐标原点，点 在第二象限， ， 设 ，则 的值为 . 16.已知函数 在区间 内有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请 在答题卷的相应区域答题.） 17．（本小题满分 10 分）已知函数 ， 函数 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为 ，且在点 处取得最小值 . （1）求函数 的解析式； （2）求函数 的单调递增区间. 18．（本小题满分 12 分）已知函数 . （1）求证函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数； （2）已知函数 ，利用上述性质，求函数 的最大值. 19．（本小题满分 12 分）已知函数 满足 ，且对任意实数 ，都有 3 4 8 1log 4 log 8 log lnm e× × = m 2cos( )6 3 π α− = 2cos(2 )3 πα − = ( 3,0), (0,2),OA B− C | |=2 2, 4OC AOC 且 pÐ = ( )OC OA OB R  l l= + Î l ( ) 3cos2 4sin 2 1f x x x a= − − + + [ )0,π a ( ) sin( ), 0, 0,0f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < <其中 ( )f x 4 π 3x π= 2− ( )f x ( )f x ( ) ( 0)af x x ax = + >常数 ( )f x (0, a ),a +∞ [ ]2 2 4( ) , 1,12 x xg x xx − −= ∈ −+ ( )g x ( )f x (4) 5f = ,a b ( ) ( ) ( ) 1, 0 ( ) 1.f a b f a f b x f x+ = + − > >当 时, （1）判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义证明； （2）已知实数 满足 ，求实数 的取值范围. 20.（本题满分 12 分）已知 （1）若 ，求 ； （2）若函数 的最小值为 ，求函数 的值域. 21.（本题满分 12 分）为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要 寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形 的顶点 和 的中点 现要在该矩形 的区域内（含边界），且与 等距离的一点 处设一个宣讲站，记 到三个乡镇的距 离之和为 （1）设 试将 表示为 的函数，并写出其定义域； （2）利用（1）中的函数确定宣讲站 的位置，使宣讲站 到三个乡镇的距离之和最小. 22.（本题满分 12 分）已知定义域为 的偶函数 和奇函数 ，且 （1）求函数 ； （2）若函数 ( )f x R m 2(3 2) 3f m m− − < m (0,0), (0,1), ( cos ,sin ), 0, , .2 2O A B m x x m x π π ≠ ∈ −  其中 | | | |OB AB=  x的值 ( )f x OB AB= ⋅  g(m) ( )g m MNPQ ,M N PQ , 10 3 , 5 3 ,S MN km NP km= =已知 ,M N O O ( ).L km ( ),OMN x rad∠ = L x O O R ( )f x g( )x ( ) ( ) e .xf x g x+ = ( ), ( )f x g x 的解析式 1( )2( ) 1,1( )2 g x H x f x − = + − 1 2 3 1S(n) ( ) ( ) ( ) ( )nH H H Hn n n n −= + + +⋅⋅⋅+记 M P N Q S O . 探究是否存在正整数 ，使得对任意的实数 ，不等式 恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数 ；若不存在，请说 明理由. (n 2,n N )∗≥ ∈ n(n 2)≥ ( ]0,1x∈ (2 ) ( ) ( )g x S n g x> ⋅ n 舒城中学 2018-2019 学年第二学期第一次统考 高一理数参考答案 一、选择题 1-4：D C D B 5-8：B B A C 9-12：B C B C 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.【解析】（1） ； ------5 分 （2） . ------10 分 18.【解析】（1）证明略； -----6 分 （2）设 所以数 的最大值为 . -----12 分 19.【解析】（1）函数 在 上的单调递增，证明略；（2） . 20. 【解析】（1）由 得 ， ------4 分 （2） . 令 ， ，则 . . ------8 分 故函数 的值域为 . -----12 分 21.【解析】（1）过 O 作 OA⊥MN，垂足为 T，则 T 为 MN 的中点，∴MT MN＝5 ， 1 3 1 4 15 18 − ± 2 3 40 1 3a a< < =或 , ( )6 2 12 2 k k k Z π π π π − + + ∈   [ ] [ ] 42, 1,1 , 1,3 , 6,u x x u y u u = + ∈ − ∴ ∈ = + −则 [ ] [ ] 1 3 4 56 1,2 , 2,3 , | 1 | ,3u uy u y yu = == + − = − > = −在 上单调递减 在 上单调递增 又 ( )g x 1− ( )f x R 4( 1, )3 − | | | |OB AB=  ( )g m 1( ,0]4 − ∴OM＝ON ，OS＝5 OT＝5 5 tanx， ∴L 5 5 tanx（0≤x ） ------5 分 （2）　L（x）＝5 （ 1）， 令 ，则 ， 得： 或 （舍），当 时， ， 最小， 即宣讲站位置 O 满足： 时可使得三个乡镇到宣讲站的 距离之和最小． ------12 分 22.【详解】（1） ， 函数 为偶函数， 为奇函数， ， ， . -------4 分 （2）易知 为奇函数，其函数图象关于 中心对称， 的图象关于点 中心对称，即对任意的 ， 成立. ， . 两式相加，得 . 即 . . -----8 分 ，即 . . ， ， 恒成立. 令 ， .则 在 上单调递增. 在 上单调递增. .又已知 ， 3. ------12 分