2018届二轮复习（理） 解析几何学案（全国通用）
回扣8 解析几何
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准
方程
＋＝1
(a＞b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
y2＝2px
(p＞0)
图形
几
何
性
质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
轴
长轴长2a，
短轴长2b
实轴长2a，
虚轴长2b
离心率
e＝＝
(0
0)相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A．3 B．2 C. D.
答案 A
解析 依题意知，抛物线的准线为x＝－2，代入双曲线方程得
y＝±·，
不妨设A.
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴＝p＝4，求得a＝，
∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，
故选A.
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
答案 C
解析 由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)．
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3
＝(x0＋2)2＋2.
又因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为6，故选C.
9．已知函数y＝f(x)＝ax＋1－2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，设抛物线E：y2＝4x上任意一点M到准线l的距离为d，则d＋的最小值为( )
A．5 B.
C. D.
答案 C
解析 当x＋1＝0时，y＝－1，故A(－1，－1)，设抛物线焦点为F(1,0)，根据抛物线的定义可知，d＋的最小值为＝.
10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )
A．7－4 B．2－
C.－1 D．4－2
答案 B
解析 由题意设椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1，且c＝c1.
由题意·＝1，(*)
由∠F1PF2＝30°及余弦定理，得
椭圆中：4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|，
双曲线中：4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|，
可得b＝(7－4)b2，代入(*)式，
c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4，
即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0，
得e2＝7－4，即e＝2－，故选B.
11．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________.
答案 0或2 2
解析 由两直线垂直的充要条件得m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，∴m＝0或m＝2；圆的半径为3，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即d＝＝时，弦长最短，此时弦长为2＝2.
12．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，
由解得A(－3，)，B(0,2)，
则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
13．已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦， 且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
答案 16
解析 由双曲线方程－＝1知，2a＝8，
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8， ①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8， ②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－(|QF1|＋|PF1|)＝16.
∴|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
14．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点________．
答案 (0,2)
解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过定点(0,2)．
15．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设可知，直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与圆C交于两点，所以＜1.
解得＜k＜.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
16．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝r2与圆F2：(x－1)2＋y2＝(4－r)2 (0＜r＜4)的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异的两点A，B满足直线MA，MB的斜率之积为.
(1)求曲线E的方程；
(2)证明：直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
(3)求△ABM的面积的最大值．
(1)解 设圆F1，圆F2的公共点为Q，
由已知得|F1F2|＝2，|QF1|＝r，|QF2|＝4－r，
故|QF1|＋|QF2|＝4＞|F1F2|，
因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆，且b2＝a2－c2＝3，
所以曲线E的方程为＋＝1.
(2)证明 由曲线E的方程，得上顶点M(0，)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，x1≠0，x2≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1，故y1＝－y2，且y＝y＝3，因此kMA·kMB＝·＝－＝，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m，代入椭圆E的方程＋＝1，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.①
因为直线AB与曲线E有公共点A，B，
所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
又kAM＝＝，
kMB＝＝，
由kAM·kBM＝，
得4(kx1＋m－)(kx2＋m－)＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－)(x1＋x2)＋4(m－)2＝0，
所以4(m2－3)(4k2－1)＋4k(m－)(－8km)＋4(m－)2(3＋4k2)＝0，
化简得m2－3m＋6＝0，故m＝或m＝2，
结合x1x2≠0知，m＝2，即直线AB恒过定点N(0,2)．
(3)解 由Δ＞0且m＝2得k＜－或k＞，
又S△ABM＝|S△ANM－S△BNM|＝|MN|·|x2－x1|
＝
＝
＝＝≤，
当且仅当4k2－9＝12，即k＝±时，△ABM的面积最大，最大值为.
