数学文卷·2018届河北省邢台市育才中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

数学文卷·2018届河北省邢台市育才中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

邢台市2017-2018学年高三（上）第三次月考 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】所以 即，则 或 所以 故选C ‎2. 若复数的虚部为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】= ‎ 故选A ‎3. 已知，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量垂直的充要条件有：，‎ 则：，‎ 结合向量的夹角公式有：，‎ 据此可得：向量与的夹角为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为所以 化简得 ‎ 故选D ‎5. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依据程序框图运行程序如下：‎ 第一次，；‎ 第二次，；‎ 第三次，；‎ 第四次，‎ 此时程序结束运算，输出值为4.‎ 本题选择A选项.；‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎6. 设满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出可行域， ‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，0），B（1，2）， C（-1，0）设z=F（x，y）=x-3y，将直线l：z=x-3y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（3，0）=3． 故选D．‎ ‎7. 函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 故选B ‎8. 如图，正方体的棱长为分别是棱上的点，且，如果平面，则的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取的中点为G，连接BG，FG因为G，从而 为BC的中点，从而有 ‎ 故选C ‎ ‎9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体的直观图如图所示，据此可得该几何体的体积为：‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎10. 若函数的图象关于直线对称，且当 时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 又 且关于点对称，‎ 从而 本题选择A选项.‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义知 又直角的内切圆半径为，由 ‎ 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的内切圆半径得公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎12. 已知，函数，其中为自然对数的底数.若函数与有相同的值域，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以 （a>0）‎ 所以在R上单调递增，又 所以当时， 当 时， 即函数在 递减，在 递增，又时， 所以 的值域是 又与有相同的值域，所以 即 又所以的取值范围是 故选C 点睛：本题考查了函数的单调性、值域问题，考查导数的应用以及转化思想，考查集合的包含关系，是中档题．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设向量与向量的夹角为，‎ 利用向量垂直的充要条件有：,‎ 即：，‎ 据此可得：向量在方向上的投影为.‎ ‎14. 已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 又，故且，‎ 所以 ‎15. 设等差数列的公差为，且，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意得，‎ 则：，‎ ‎16. 已知是抛物线的焦点，过的直线与直线垂直，且直线与抛物线交于两点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是抛物线的焦点，∴，又过的直线与直线垂直 ‎∴直线的方程为：，带入抛物线，易得：‎ 设，，‎ ‎。‎ 故答案为：‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；‎ ‎(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，即，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列，即，‎ 又，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ 由①-②得，‎ 所以.‎ ‎18. 的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接利用正弦定理,得，所以，‎ 即，即，即得B ‎（2）根据（1）的结论，进一步三角形的面积，得，即，利用余弦定理建立方程组，解方程组求出结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知,‎ 结合正弦定理得，‎ 所以，‎ 即，即，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由，得，即，‎ 又，得，‎ 所以，又.‎ ‎19. 已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到的图象.若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合所给三角函数的图象可得三角函数的解析式为；‎ ‎(2)由题意可得三角方程，利用同角三角函数基本关系有.则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图可知，.‎ 将点代入得，‎ 又.‎ ‎（2）.，‎ 又.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面 在棱上运动.‎ ‎（1）当在何处时，平面；‎ ‎（2）已知为的中点，与交于点，当平面时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）当为中点时，平面（2）‎ ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，设AC与BD相交于点N ， 当M为PD的中点时，PB∥平面MAC， 证明：∵四边形ABCD是菱形， 可得：DN=NB， 又∵M为PD的中点，可得：DM=MP， ‎ ‎∴NM为△BDP的中位线，可得：NM∥PB， 又∵NM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC， ∴PB∥平面MAC．‎ ‎（2）为的中点，则 又 ‎，且 ，又.‎ ‎.‎ ‎.‎ 又，点为的中点，到平面的距离为.‎ ‎.‎ 点睛：本题考查了线面平行的判定定理，等积转化求三棱锥的体积问题，考查了学生空间想象能力及计算能力，属于中档题.‎ ‎21. 已知分别是焦距为的椭圆的左、右顶点，为椭圆上非顶点的点，直线的斜率分别为，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线（与轴不重合）过点且与椭圆交于两点，直线与交于点，试求点的轨迹是否是垂直轴的直线，若是，则求出点的轨迹方程，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可求得，则椭圆的方程为.‎ ‎(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点的轨迹方程为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设为椭圆上非顶点的点，，又 ‎ ，即，‎ ‎，故椭圆的方程为.‎ ‎（2）当过点直线斜率不存在时，不妨设，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，由对称性可知交点为.‎ 点在直线上，‎ 当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 由得，‎ 记，则.‎ 的方程是的方程是，‎ 由得，‎ 即 ‎.‎ 综上所述，点的轨迹方程为.‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，根据点斜式得直线方程（2）恒成立，等价于. 令，则，设，求导研究在上递减. 又，所以，存在，使得. 函数在上递增，在上递减. 因为对任意的恒成立，所以，则 ‎，解不等式组求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ ‎，‎ 所以所求切线方程为，即.‎ ‎（2），即，等价于.‎ 令，则，‎ 设，则，‎ 因为，所以，所以在上递减.‎ 又，所以，存在，使得.‎ 因此，当时，；当时，.‎ 即函数在上递增，在上递减.‎ 因为对任意的恒成立，‎ 所以，则，即.‎ 又，所以，即 点睛：本题考查了利用导数求在某点处切线方程，不等式恒成立问题采用了变量分离，利用导数研究函数的单调性、最值问题，注意当确定所研究的最值在端点处取到时,可以不用讨论谁是最值,列不等式组同时限制即可.‎ ‎ ‎ ‎ ‎