2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是“，”．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．‎ ‎2．已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线l过点(0,3)，∴其斜率为，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．‎ ‎3．函数在区间的最小值是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用导数求得函数的极值点，求得在区间上的最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数在闭区间上的最小值，属于基础题.‎ ‎4．刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）‎ 正视图 侧视图 俯视图 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图，棱台体积为．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．‎ ‎5．抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 双曲线中，，∴双曲线的左焦点为，右焦点就是抛物线的焦点．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．‎ ‎6．若函数存在极值点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过研究的导函数零点，结合判别式，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意函数存在极值点，其导函数的，解得或.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数的判别式的运用，属于基础题.‎ ‎7．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．‎ ‎【详解】‎ 直线与直线平行，则，，‎ 时，两直线方程分别为，平行，‎ 时，两直线方程分别为，平行，‎ ‎∴直线与直线平行的充要条件是，‎ 则“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．‎ ‎8．设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．‎ ‎【详解】‎ 若，，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；‎ 若，，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可以平行，B错；‎ 若，， m与n可能异面，可能平行，C错；‎ 若，，，则，这是面面平行的性质定理，D正确．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．‎ ‎9．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，‎ 所求距离为．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．‎ ‎10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积．‎ ‎【详解】‎ 四棱锥的四个面都是直角三角形，‎ ‎∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心．‎ 由得，又，则，，‎ 所以球表面积为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．‎ ‎11．设函数是奇函数是导函数，，当时，，则使成立的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，根据题意求得 的符号，结合函数的奇偶性，求得使成立的的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，当时，，即在上递增.由于是奇函数，所以是偶函数，所以在上递减.而，所以当或时，；当或时，.所以当或时.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 如图，渐近线方程是，即，由于且，‎ 所以，所以，‎ ‎，，又，即，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 双曲线方程为：．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则在点处的切线方程为_.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，切点坐标为，由点斜式得，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求切线方程，属于基础题.‎ ‎14．以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．‎ ‎【详解】‎ 设所求圆半径为，则由题意，，‎ 所以所求圆方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．‎ ‎15．倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程__________，__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．‎ ‎【详解】‎ 由题意直线l的方程为：，即，‎ 圆标准方程为：，圆心为，半径为，‎ 圆心到直线l的距离为，‎ ‎∴．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎（1）若函数在上是减函数，则；‎ ‎（2）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是；‎ ‎（3）点关于直线的对称点为，则的坐标为；‎ ‎（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.‎ 其中正确的命题有__________.（把所有正确的命题的序号都填上）‎ ‎【答案】（3）（4）‎ ‎【解析】对四个命题逐一分析，由此确定命题正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于（1），依题意在区间上恒成立，所以，所以，故（1）错误.‎ 对于（2），直线过，而点在直线的两侧，所以的取值范围是，即，故（2）错误.‎ 对于（3）直线的斜率为，，；的中点为，点满足直线.所以（3）正确.‎ 对于（4），抛物线的焦点为，准线为，直线过焦点.直线与抛物线相交与两点，根据抛物线的定义可知，AB中点到抛物线准线距离等于AB一半，所以为直径的圆恰好与抛物线的准线相切，故（4）正确.‎ 故答案为：（3）（4）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查直线的斜率，考查点关于直线对称轴问题，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．命题：直线与圆相交，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得为真时m的范围．‎ ‎（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且为真得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为直线与圆相交，‎ 所以，‎ 解得，即的取值范围为.‎ ‎（2）椭圆焦点在轴上，所以 为真，真假.‎ 或.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．‎ p q 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎18．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据焦点到准线的距离求得，由此求得抛物线的方程.‎ ‎（2）求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得弦长，结合点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，求得的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）直线的方程为y=x-1.‎ 设直线与抛物线交于，.‎ 联立方程得.‎ ‎.‎ ‎.‎ 点到直线的距离，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，属于基础题.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由及得，，从而有平面，于是可得面面垂直．‎ ‎（2）取的中点，连接，证明平面，同时说明底面是正方形，即可求体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）四边形是平行四边形，‎ ‎.‎ 又，即，，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 从而平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）如图，取的中点，连接.‎ ‎，，，.‎ 又因为平面，平面，平面，‎ ‎，，‎ 四边形为正方形，‎ 又，‎ 平面，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．‎ ‎20．已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.‎ ‎（1）求直线的一般式方程；‎ ‎（2）求四边形的外接圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式知识可得定点坐标，‎ 过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，可知一切点为A(3,0)，由可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程．不需求另一切点坐标．‎ ‎（2）由切线性质知PC是四边形的外接圆的直径，外接圆方程易求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线，‎ 直线恒过定点.‎ 由题意可知直线是其中一条切线，且切点为.‎ ‎，，‎ 所以直线的方程为，即.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 所以四边形的外接圆时以为直径的圆，‎ 的中点坐标为，‎ 所以四边形的外接圆为 ‎【点睛】‎ 本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形的外接圆方程与已知圆方程相减可得．‎ ‎21．已知椭圆的短半轴长为，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点作直线交椭圆C于，两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）直线的方程为或 ‎【解析】（1）由短半长求得，结合离心率和求得，由此求得椭圆的方程.‎ ‎（2）当直线与轴垂直时，直接求得两点的坐标，得到，不符合题意.当当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，利用列方程，解方程求得的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得.‎ 又因为，，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线与轴垂直时，直线，得，.‎ ‎，不符合题意.‎ 当直线与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为，，，把直线的方程代入，‎ 得，‎ 则，，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）‎ ‎【解析】（1）当时，利用导数求得的单调区间.‎ ‎（2）求得的定义域为导函数，对分成三种情况，结合的单调性、零点存在性定理，分类讨论求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为.‎ 当时，，‎ 所以，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）的定义域为.‎ ‎.‎ ‎（i）若时，.‎ ‎，，‎ 在有零点.‎ ‎（ii）若时，则当时，，‎ 故在上单调递增，.‎ 取，‎ ‎，‎ 所以在有零点.‎ ‎（iii）若时，当时，.‎ 当时，，‎ 故在上单调递增，在上单调递减.‎ 此时.‎ 取，则，‎ 只需满足即可，‎ ‎.‎ 令，‎ ‎，即在单调递增，且.‎ 所以要保证，只需满足.‎ 故只需满足，即.‎ 综上所述的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎