2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题 ‎1．已知集合， ，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ，所以 ．‎ ‎【考点】集合的交集运算．‎ ‎2．下列说法中正确的是 A. “”是“函数是奇函数”的必要条件 B. 若，则 C. 若为假命题，则， 均为假命题 D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：对于A中，如函数是奇函数，但，所以不正确；B中，命题，则，所以不正确；C中，若为假命题，则， 应至少有一个假命题，所以不正确；D中，命题“若，则”的否命题是“若，则”是正确的，故选D．‎ ‎【考点】命题的真假判定．‎ ‎3．已知向量，若，则实数m的值为 （ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. 2或 ‎【答案】C ‎【解析】∵向量，且 ‎∴，‎ ‎∴。选C。‎ ‎4．为了得到函数的图像,可以将函数 的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴将函数的图像向右平移个单位，便可得到函数的图像。‎ 选D。‎ ‎5．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩 依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A. 6 B. 10 C. 91 D. 92‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分（包括90分）以上的人数。结合茎叶图可知，成绩在90以上的人数为10人，所以选项B正确。选B。‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2 的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆锥的高为．∴．故选A．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎7．已知 是等比数列， ，则公比=( )‎ A. B. -2 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，解得。选C。 ‎ ‎8．若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为 A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出直线， ，再作直线，而向下平移直线时， 增大，而直线的斜率为1，因此直线过直线与的交点时， 取得最大值，由得，所以，故选A．‎ ‎9．函数满足，那么函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为，可知选项为C.‎ ‎10．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件可得双曲线的渐近线方程为，不妨取，‎ ‎∵渐近线与直线垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的离心率为。‎ 选A。‎ ‎11．将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：001,002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，系统抽样的抽取间隔为，‎ 因为随机抽的的号码013为一个样本，故在第一组中被抽取的样本编号为3，‎ 所以被抽取的样本的标号成首项为3，公差为10的等差数列。‎ 可求得在在001到200之间抽取20人，在201到355之间抽取16人。‎ 选B。‎ 点睛：系统抽样又称等距抽样，若总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组个(有零头时要先去掉)．若在第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为。‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足 ，当时， ，则函数 在区间上所有零点之和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数在区间上的零点就是函数与函数的交点的横坐标。‎ ‎∵‎ ‎∴，即函数的周期为，且函数的图象关于直线对称。‎ 又可得，从而函数的图象关于点(π,0)对称。‎ 函数的图象关于点(π,0)对称。‎ 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），‎ 根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称。‎ 所以函数在区间上所有零点之和为2π+2π=4π。‎ 选D。‎ 点睛：解答本题的关键是将函数零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象。同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用。‎ 二、填空题 ‎13．=___________。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】。答案：1‎ ‎14．在区间上随机任取两个数，则满足的概率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，所有基本事件对应的点构成的平面区域为，设“区间上随机任取两个数，则满足”为事件A，则事件A对应的点构成的平面区域为，（即图中四分之一的圆面）。‎ 由几何概型概率公式可得。‎ 答案：。‎ 点睛：应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．‎ ‎（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；‎ ‎（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．‎ ‎15．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，MC为球O的直径，MC=2，∴球O的半径为，‎ ‎∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ， ‎ 得到 内切球的体积为 ，故结果为.‎ 点睛：这个题目考查了四面体的外接球和内切球的体积问题，外接球是放到长方体中计算，用的是补体法；内切球用的是体积分割，将四面体分割成了4个小的棱锥，高都是内切球的半径，从而计算出内切球的半径。‎ ‎16．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站______km.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】试题分析：由已知y1=；y2=0. 8x(x为仓库与车站距离)，‎ 费用之和y=y1+y2="0." 8x+≥2=8，当且仅当0. 8x=即x=5时“=”成立。‎ ‎【考点】本题主要考查函数模型及均值定理的应用。‎ 点评：对于实际问题，关键是审清题意，构建模型，确立恰当的解题途径。像这种最值问题有时利用单调性或导数解答效果更佳。‎ 三、解答题 ‎17．已知数列的前项 .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ，求证： .‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据求数列的通项公式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，用裂项相消法求数列的和。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） 当时， ‎ 当时，, 满足上式。‎ 所以。 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知. ‎ ‎∴‎ ‎.‎ 点睛：已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1；‎ ‎(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．‎ ‎18．已知.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数得，由解得x的范围，可得函数的单调增区间；（Ⅱ）由得，根据的范围可求得，利用正弦定理及条件可得,从而可得的值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得 ‎ 由（）, ‎ 得（）,‎ 所以函数的单调递增区间为（）。 ‎ ‎（Ⅱ）由得，‎ ‎ ∴，‎ 解得， ‎ 由及正弦定理得，‎ 所以.‎ 即的值为．‎ ‎19．某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求分数在内的频率；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段的学生中抽取一个容量为6的样本，再从该样本中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率。‎ ‎【答案】（1）0.3（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分别直方图的面积表示频率，并且所以小矩形的面积之和等于，来求的面积，就是频率；（Ⅱ）第一步，先跟两个分数段的频率，就是两个分数段的学生人数，第二步，计算分层比，计算两个分数段的各应抽取的人数，第三步，将这所抽取到的人分别编号，然后列举所有抽取到的组合情况，至多有1人在分数段[120,130）内组合数，按古典概型计算概率．‎ 试题解析：（Ⅰ）[120,130）内的频率为；…5分 ‎（Ⅱ）由题意，[110,120）分数段的人数为60×0．15＝9（人）．[120,130）分数段的人数为60×0．3＝18（人）．‎ ‎∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ ‎∴需在[110,120）分数段内抽取2人，并分别记为、；‎ 在[120,130）分数段内抽取4人，并分别记为、、、；‎ 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130）内”为事件A，则基本事件共有， 共15种．‎ 则事件A包含的基本事件有， 共9种．‎ ‎∴．‎ ‎【考点】1．频率分布直方图的应用；2．分层抽样；3．古典概型．‎ ‎20．如图为一简单组合体，其底面为正方形， 平面， ，且， 为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ） 要证线线垂直，一般先证线面垂直，注意到底面，考虑证明与平面平行（或其内一条直线平行），由于是中点，因此取中点（实质上是与的交点），可证是平行四边形，结论得证；（Ⅱ）求三棱锥的体积，采用换底，即，由已知可证就是三棱锥的高，从而易得体积．‎ 试题解析：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且 又且 ‎∴且 ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴, 即．‎ 又∵平面, 面,‎ ‎∴,‎ ‎∵, ∴,‎ ‎（Ⅱ）∵平面， 平面,‎ ‎∴平面 平面 ‎∵，平面平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ 三棱锥的体积 ‎【考点】线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积．‎ ‎21．已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，圆 的圆心 在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）试问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆焦点在轴上， ，离心率，则，即可求得椭圆的标准方程；（2）设，圆的方程为，由直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得为方程，的两个根，由韦达定理可知： ，由在椭圆上即可求得.‎ 试题解析：（1）由得： ，∵，∴，‎ ‎∵，∴，解得： ，‎ ‎∴椭圆的标准方程为： ‎ ‎（2）因为直线与圆相切，∴‎ 整理得： ，‎ 同理可得： ，‎ 所以， 为方程的两个根 ‎∴，又∵在椭圆上，∴‎ ‎∴，故是定值为 ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22．已知二次函数 ‎ ‎ （Ⅰ）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）问：是否存在常数，当时， 的值域为区间，且的长度为．（说明：对于区间，称为区间长度）‎ ‎【答案】（1）（2）存在常数， ， 满足题意.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 先由函数对称轴为得函数在上单调减，要使函数在存在零点，则需满足，解得； (2)当时， 的值域为，由，得合题意；当时， 的值域为，由，得不合题意；当时， 的值域为，用上面的方法得或合题意.‎ 试题解析：⑴ ∵二次函数的对称轴是 ‎∴函数在区间上单调递减 ‎∴要函数在区间上存在零点须满足 即 解得，所以.‎ ‎⑵ 当时，即时， 的值域为： ，即 ‎∴‎ ‎∴∴‎ 经检验不合题意，舍去。‎ 当时，即时， 的值域为： ，即 ‎∴, ∴‎ 经检验不合题意，舍去。‎ 当 时， 的值域为： ，即 ‎∴‎ ‎∴∴或 经检验或或满足题意。‎ 所以存在常数，当时， 的值域为区间，且的长度为.‎ ‎【考点】零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想.‎