高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第6讲 抛物线

高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第6讲 抛物线

第6讲 抛物线 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (　　)．‎ A. B．1 C. D. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3，∵p＝，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点的横坐标为＝.‎ 答案　C ‎2．(2013·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 (　　)．‎ A．2 B．18 C．2或18 D．4或16‎ 解析　设P(x0，y0)，则 ‎∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.‎ 答案　C ‎3．(2011·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ (　　)．‎ A. B. C．－ D．－ 解析　由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则| ‎|＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.‎ 答案　D ‎4．(2012·山东)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ‎(　　)．‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．‎ 解析　依题意，有F，直线l为y＝x－，所以A，△OAF的面积为××＝8.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16.‎ 答案　16‎ ‎6．(2012·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．‎ 解析　如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．‎ 答案　2 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，‎ 所以p＝2.‎ 故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，‎ 由得y2＋2y－2t＝0.‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，‎ 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.‎ 另一方面，由直线OA与l的距离d＝，‎ 可得＝，解得t＝±1.‎ 因为－1∉，1∈，‎ 所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.‎ ‎8．(13分)(2012·温州十校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．‎ ‎(1)求a与b；‎ ‎(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．‎ 解　(1)由e＝＝ ＝，得＝.‎ 又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝，则a＝.‎ ‎(2)法一　由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ 设M(x，y)，则P(1，y)．‎ 由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．‎ 法二　因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝ (　　)．‎ A．9 B．6 C．4 D．3‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，由＋＋＝0，可得x1＋x2＋x3＝3，又由抛物线的定义可得||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6.‎ 答案　B ‎2．(2013·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y ‎＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 (　　)．‎ A. B. C．2 D.－1‎ 解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．(2012·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．‎ 解析　直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.‎ 答案　 ‎4．(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.‎ 解析　设过抛物线焦点的直线为y＝k，联立得，整理得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.‎ ‎(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；‎ ‎(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．‎ 思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．‎ ‎(1)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．‎ ‎∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，‎ ‎∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，‎ ‎∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，‎ ‎∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，‎ ‎∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)‎ ‎＝λ＝λ，‎ ‎∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.‎ ‎(2)由(1)知x2＝，x1＝λ，‎ 得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，‎ ‎∵y1y2>0，∴y1y2＝4，‎ 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2‎ ‎＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)‎ ‎＝2＋4－12‎ ‎＝2－16，‎ λ∈，λ＋∈，‎ 当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.‎ 探究提高　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．‎ ‎6．(13分)(2012·新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ 解　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.‎ 因为△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，‎ 即·2p· p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.‎ 所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.‎ ‎(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.‎ 由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.‎ 所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.‎ 当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.‎ 由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，‎ 解得b＝－.‎ 因为m的纵截距b1＝，＝3，‎ 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎