2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十七圆锥曲线中的探究性问题苏教版

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核心素养测评五十七 圆锥曲线中的探究性问题 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知椭圆E:+=1,设直线l:y=kx+1交椭圆E所得的弦长为L.则下列直线中,交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是 (　　)‎ A.mx+y+m=0 B.mx+y-m=0‎ C.mx-y-1=0 D.mx-y-2=0‎ ‎【解析】选D.当直线l过点,取m=-1,直线l和选项A中的直线重合,故排除A;‎ 当直线l过点,取m=-1,直线l和选项B中的直线关于y轴对称,被椭圆E截得的弦长相同,故排除B;‎ 当k=0时,取m=0,直线l和选项C中的直线关于x轴对称,被椭圆E截得的弦长相同,故排除C;‎ 直线l的斜率为k,且过点,选项D中的直线的斜率为m,且过点,这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称,故被椭圆E所截得的弦长不可能相等.‎ ‎2.(2020·盐城模拟)已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P, M位于第一象限,则+的值不可能为 (　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【解析】选A.可以作出如图所示的图形,‎ 由图可得,设=m,=n,‎ 则=m-1,=n-1,‎ - 8 -‎ 因为y2=4x,所以p=2,根据抛物线的常用结论,有+==1,所以=1,则m+n=mn,‎ 所以+=+‎ ‎==‎4m+n-5,‎ 又因为(‎4m+n)·1=(‎4m+n)·‎ ‎=4+++1≥5+2,‎ 当且仅当n=‎2m=3时取等号,‎ 得‎4m+n≥9,所以‎4m+n-5≥4,‎ 则+的值不可能为3.‎ ‎3.(2019·株洲模拟)点F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点A使△AOF(O为坐标原点)为正三角形,则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B.-1‎ C. D.-1‎ ‎【解析】选B.由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为△AOF为正三角形,则点在椭圆上,代入得+=1,即e2+=4,‎ 得e2=4-2,解得e=-1.‎ - 8 -‎ ‎4.(多选)我们把离心率为e=的双曲线-=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线,如图.给出以下几个说法,其中正确的是 (　　)‎ A.双曲线x2-=1是黄金双曲线 B.若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线 C.若∠F1B‎1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线 D.若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线 ‎【解析】选ABCD.双曲线x2-=1中,‎ 因为e==,‎ 所以双曲线x2-=1是黄金双曲线,故A正确;‎ b2=ac,则e===,‎ 所以e2-e-1=0,解得e=,或e=(舍),‎ 所以该双曲线是黄金双曲线,故B正确;‎ F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,‎ - 8 -‎ B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B‎1A2=90°,‎ 所以B1+B1=A2,即b2+‎2c2=(a+c)2,整理,得b2=ac,由B知该双曲线是黄金双曲线,故C正确;‎ MN经过右焦点F2且MN⊥F‎1F2,∠MON=90°,‎ 所以NF2=OF2,所以=c,所以b2=ac,由B知该双曲线是黄金双曲线,故D正确.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2020·沈阳模拟)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M,设M的坐标为,若l1⊥l2,则下列结论序号正确的有________. ‎ ‎①+<1, ②+>1, ③+<1,‎ ‎④4+3>1.‎ ‎【解析】F1,F2,因为l1⊥l2,·=0,所以×+×=0,即+=1,‎ M在圆x2+y2=1上,它在椭圆的内部,故+<1,故①正确,②错误;‎ O到直线+=1的距离为=>1,O在直线+=1的下方,故圆x2+y2=1在其下方,即+<1,故③正确;‎ ‎4+3≥+=1,但4=,3=不同时成立,‎ 故4+3>+=1,故④成立.‎ 答案:①③④‎ - 8 -‎ ‎6.(2020·北京模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点O(0,0),M(-4,0),N(4,0),P(0,-2),Q(0,2),H(4,2).线段OM上的动点A满足=λ;线段HN上的动点B满足=λ.直线PA与直线QB交于点L,设直线PA的斜率记为k,直线QB的斜率记为k′,则k·k′的值为________;当λ变化时,动点L一定在________(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.  ‎ ‎【解析】因为=λ;‎ 所以A(-4λ,0),‎ 又P(0,-2),所以k=-=-;‎ 因为=λ.所以B(4,2-2λ),‎ 所以k′==-,所以kk′=,‎ 设L(x,y),则k=,k′=,‎ 所以kk′=·=,所以=,‎ 即-=1,即动点L一定在双曲线上.‎ 答案:　双曲线 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ - 8 -‎ ‎7.(2019·德州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且△PF‎1F2面积的最大值为. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)设直线PF2斜率为k(k≠0),且PF2与椭圆C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)当P为C的短轴顶点时,△PF‎1F2的面积有最大值,‎ 所以 ,解得 ,‎ 故椭圆C的方程为:+=1.‎ ‎(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1),‎ 将y=k(x-1)代入+=1,‎ 得x2-8k2x+4k2-12=0;‎ 设P,Q,线段PQ的中点为N,‎ x0==,y0=‎ ‎=k=,即N,‎ 因为|TPTQ|,所以直线TN为线段PQ的垂直平分线,所以TN⊥PQ,则kTN·kPQ=-1,‎ - 8 -‎ 即·k=-1,所以t==,‎ 当k>0时,因为4k+≥4(当且仅当k=时取等号),所以t∈,当k<0时,因为4k+≤-4(当且仅当k=-时取等号),所以t∈.‎ 综上,存在点T,使得|TPTQ|,且t的取值范围为∪.‎ ‎8.已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点与抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F 重合,且点F到E的准线的距离为2. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)若直线l与C交于M,N两点,与E交于A,B两点,且·=-4(O为坐标原点),求△MNF面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)因为点F到E的准线的距离为2,‎ 所以p=2,F(1,0),‎ 由 解得 ‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=4x. ‎ - 8 -‎ 要使直线l与抛物线E交于两点,则直线l的斜率不为0,可设l的方程为x=my+n,‎ 由 得y2-4my-4n=0 ‎ 所以Δ=(-‎4m)2+16n>0,得m2+n>0.‎ 设A,B 则 ‎ 所以x1x2=·===n2,‎ 因为·=-4,‎ 所以x1x2+y1y2=-4,‎ 所以n2-4n=-4,所以n=2, ‎ 所以直线l的方程为x=my+2,‎ 所以直线l过椭圆C的右顶点(2,0),‎ 不妨设M(2,0),N(x3,y3),-≤y3≤,且y3≠0, 所以S△MNF=|MF||y3|≤,‎ 当且仅当y3=±时,(S△MNF)max=.‎ - 8 -‎