2017-2018学年湖北省湖北大学附属中学高二年级上学期期中考试数学试题 含部分解析

2017-2018学年湖北省湖北大学附属中学高二年级上学期期中考试数学试题 含部分解析

2017-2018 学年湖北省湖北大学附属中学高二年级上学期期中考试数 学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. (直线 3 x－y＋a＝0 的倾斜角为( )A．30° B．60° C．150° D．120° 2. (直线 kx－y＋2＝4k，当 k 变化时，所有直线都通过定点 ( ) A．(0，0) B．(2，1) C．(4，2) D．(2，4) 3. (点 M（3，4）到圆 x2+y2=1 上的点距离的最小值是（ ） A．1 B．4 C．5 D．6 4. (某厂生产 A、B、C 三种型号的产品，产品的数量之比依次为 3∶4∶7，现用 分层抽样抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 15 件，那么 n 为 ( ) A．50 B．60 C．70 D．80 5. (若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中 位数和平均数分别是( ) A．91.5 和 91.5 B．91.5 和 92 C．91 和 91.5 D．92 和 92 6. (某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 第 6 题图 第 7 题图 7. (执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 16，则图中判断框内①处应填 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8. (两圆（x﹣2）2+（y+3）2=13 和（x﹣3）2+y2=9 交于 A，B 两点，则 AB 的垂 直平分线的方程是（ ） A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0 9. (某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要 利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和 系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三 年级依次统一编号为 1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编 号为 1，2，…，270，并将整个编号依次分为 10 段，如果抽得号码有下列四 种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 关于上述样本的下列结论中，不正确的是（ ） A．①可能是分层抽样，也可能是系统抽样 B．②可能是分层抽样，不可能是系统 抽样 C．③可能是分层抽样，也可能是系统抽样 D．④可能是分层抽样，也可能是系统 抽样 10. (已知 x、y 的取值如表所示： 若从散点图分析，y 与 x 线性相关，且 =0.95x+ ，则 的值等于（ ） A．2.6 B．6.3 C．2 D．4.5 11. (已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线 l：x﹣y+3=0，当直线 l 被 C 截得弦长为 2 时，则 a 等于（ ）A． B．2﹣ C． ﹣1 D． +1 12. (将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（9，5） 与点（m，n）重合，则 m+n 的值是（ ）A 10 B 11 C 12 D 13． 二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. (圆 x2+y2﹣2x﹣8=0 和圆 x2+y2+2x﹣4y﹣4=0 的公共弦所在的直线方程是 14. (已知点 A（1，﹣2），B（5，6）到直线 l：ax+y+1=0 的距离相等，则实数 a 的值等于 15. (2010 年上海世博会园区每天 9∶00 开园，20∶00 停止入园．在如图所示 的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示 整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填__ _____． 16. (为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长 (单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示， 则在抽测的 60 株树木中，有________株树木的底部周长小于 100 cm. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 17. (某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位：千元)的数据如下 表： (1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯 收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线方程为 ,ˆˆ^ axby  ， 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx                      ，    n i ixnx 1 1 ,    n i iyny 1 1 18. (从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的 数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的 a，b 的值； (2)试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数和中位数． 19. (已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列 条件的 a，b 的值． (1)直线 l1 过点(－3，－1)，并且直线 l1 与 l2 垂直； (2)直线 l1 与直线 l2 平行，并且坐标原点到 l1，l2 的距离相等． 20. (已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(－1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平 分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD|＝4 10 . (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程． 21. (已知△ABC 的顶点 A（５，１），AB 边上的中线 CM 所在直线方程 为２x－y－５＝０，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x－２y－５＝０， 求：（１）顶点 C 的坐标； （２）直线 BC 的方程 22. (在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2－6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上． (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 与直线 x－y＋a＝0 交于 A，B 两点，且 OA⊥OB，求 a 的值． 数学试题 1. 解析：选 B k＝tan α＝，且 0°≤α＜180°，∴α＝60°. 2. 解析：选 C 直线方程可化为 k(x－4)－(y－2)＝0，所以直线恒过定点(4，2)． 3. 解：圆 x2+y2=1 上的点到点 M（3，4）的距离的最小值=|OM|﹣R= ﹣1=4． 故选：B． 4. C 5. 解析：选 A 将这组数据从小到大排列，得 87，89，90，91，92，93，94，96. 故中位数为91＋92 2 ＝91.5.平均数为 x＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96 8 ＝91.5. 6. A 7. B 8. 解：由题意两圆（x﹣2）2+（y+3）2=13 和（x﹣3）2+y2=9 交于 A、B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程， 圆：（x﹣2）2+（y+3）2=13 的圆心（2，﹣3）和圆：（x﹣3）2+y2=9 的圆心（3，0）， 所以所求直线方程为： = ，即 3x﹣y﹣9=0． 故选：C． 9. 解：观察所给的四组数据， ①，③可能是系统抽样或分层抽样， ②是简单随机抽样， ④一定不是系统抽样和分层抽样， 故选 D． 10. 解：∵ =4.5， ∴这组数据的样本中心点是（2，4.5） ∵y 与 x 线性相关，且 =0.95x+ ，∴4.5=0.95×2+a，∴a=2.6， 故选 A． 11. 解：圆心为（a，2），半径等于 2， 由弦长公式求得圆心（a，2）到直线 l：x﹣y+3=0 的距离为 = =1， 再由点到直线的距离公式得圆心到直线 l：x﹣y+3=0 的距离 1= ，∴a= ﹣1． 故选 C． 12. A 13. 解：由于两圆的公共弦的端点是两圆的公共交点，既满足一个圆的方程，又满足 另一个圆的方程， 把圆 x2+y2﹣2x﹣8=0 和圆 x2+y2+2x﹣4y﹣4=0 的方程相减即得公共弦所在的 直线方程为 x﹣y+1=0， 14. 解：∵点 A（1，﹣2），B（5，6）到直线 l：ax+y+1=0 的距离相等， ∴ ， 整理，得|a﹣1|=|5a+7|， ∴a2﹣2a+1=25a2+70a+49， 解得 a=﹣2，或 a=﹣1． 15. _ S＝S＋a 16. 解析：由频率分布直方图可得树木底部周长小于 100 cm 的频率是(0.025＋ 0.015)×10＝0.4，又样本容量是 60，所以频数是 0.4×60＝24. 答案：24 17. (1)由所给数据计算得 t＝1 7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y＝1 7(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， (ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0 ×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14， a ^＝y－b ^t＝4.3－0.5×4＝2.3， 所以回归方程为y ^＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收 入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元． 将 2015 年的年份代号 t＝9 代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元． 18. 19. 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即 a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在 l1 上， ∴－3a＋b＋4＝0② 由①②得 a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2，∴a b＝1－a，b＝ a 1－a， 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为： (a－1)x＋y＋4（a－1） a ＝0， (a－1)x＋y＋ a 1－a＝0， 又原点到 l1 与 l2 的距离相等． ∴4a－1 a ＝ a 1－a，∴a＝2 或 a＝2 3， ∴a＝2，b＝－2 或 a＝2 3，b＝2. 20. 解：(1)∵直线 AB 的斜率 k＝1，AB 的中点坐标为(1，2)， ∴直线 CD 的方程为 y－2＝－(x－1)， 即 x＋y－3＝0. (2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 a＋b－3＝0.① 又∵直径|CD|＝4 10 ， ∴|PA|＝2 10 . ∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得a＝－3， b＝6 或 a＝5， b＝－2. ∴圆心 P(－3，6)或 P(5，－2)． ∴圆 P 的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 21. AC:y=-2x+11 C(4,3) B(-1,-3) BC:6x-5y-9=0 22. 解：(1)曲线 y＝x2－6x＋1 与 y 轴的交点为(0，1)，与 x 轴的交点为(3＋2， 0)， (3－2，0)． 故可设圆 C 的圆心为(3，t)，则有 32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得 t＝1. 则圆 C 的半径为＝3. 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，其坐标满足 方程组： x－y＋a＝0， （x－3）2＋（y－1）2＝9. 消去 y，得到方程 2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0. 从而 x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋1 2 .① 由于 OA⊥OB，所以 即 x1x2＋y1y2＝0，又 y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以 2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①②得 a＝－1，满足Δ>0，故 a＝－1.