2018届二轮复习直线与圆锥曲线的位置关系(理)课件
第九节
直线与圆锥曲线的位置关系
【
知识梳理
】
1.
直线与圆锥曲线的位置关系的判定
代数法
:
把圆锥曲线方程
C
与直线方程
l
联立消去
y,
整理得到关于
x
的方程
ax
2
+bx+c=0.
方程
ax
2
+bx+c=0
的解
l
与
C
的交点
a=0
b=0
无解
(
含
l
是双曲线的渐近线
)
_________
b≠0
有一解
(
含
l
与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行
)
_________
无公共点
一个交点
方程
ax
2
+bx+c=0
的解
l
与
C
的交点
a≠0
Δ>0
两个
_____
的解
_________
Δ=0
两个相等的解
_________
Δ<0
无实数解
_______
不等
两个交点
一个交点
无交点
2.
弦长公式
设斜率为
k(k≠0)
的直线
l
与圆锥曲线
C
相交于
A,B
两点
,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
|AB|=_____________=_____________________
或
|AB|= =_______________________.
【
特别提醒
】
1.
直线与椭圆位置关系的有关结论
(1)
过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切
.
(2)
过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切
.
(3)
过椭圆内一点的直线均与椭圆相交
.
2.
直线与抛物线位置关系的有关结论
(1)
过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一
个公共点
,
两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线
.
(2)
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一
个公共点
,
一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线
.
(3)
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点
,
一条与对称轴平行或重合的直线
.
3.
直线与双曲线位置关系的有关结论
(1)
过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点
,
两条切线和两条与渐近线平行的直线
.
(2)
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点
,
一条切线和两条与渐近线平行的直线
.
(3)
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点
,
两条与渐近线平行的直线
.
【
小题快练
】
链接教材 练一练
1.(
选修
2-1P69
例
4
改编
)
直线
l
经过抛物线
y
2
=4x
的焦点
F,
与抛物线相交于
A,B
两点
,
若
|AB|=8,
则直线
l
的方程为
.
【
解析
】
当直线
l
的斜率不存在时
,
显然不成立
.
设直线
l
的斜率为
k,A,B
的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
因为直线
l
过焦点
F(1,0),
故直线
l
的方程为
y=k(x-1).
由 得
k
2
(x-1)
2
=4x,
即
k
2
x
2
-(2k
2
+4)x+k
2
=0,
则
所以
|AB|=
所以
k
2
=1,
故
k=±1.
所以直线
l
的方程为
y=±(x-1),
即
x-y-1=0
或
x+y-1=0.
答案
:
x-y-1=0
或
x+y-1=0
2.(
选修
2-1P81B
组
T1
改编
)
已知
F
1
,F
2
是椭圆
16x
2
+25y
2
=1600
的两个焦点
,P
是椭圆上一点
,
且
PF
1
⊥PF
2
,
则
△
F
1
PF
2
的面积为
.
【
解析
】
由题意可得
|PF
1
|+|PF
2
|=2a=20,
|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=|F
1
F
2
|
2
=4c
2
=144=(|PF
1
|+|PF
2
|)
2
-
2|PF
1
|
·
|PF
2
|=20
2
-2|PF
1
|
·
|PF
2
|,
解得
|PF
1
|
·
|PF
2
|=128,
所以△
F
1
PF
2
的面积为
|PF
1
|
·
|PF
2
|= ×128=64.
答案
:
64
感悟考题 试一试
3.(2015·
四川高考
)
设直线
l
与抛物线
y
2
=4x
相交于
A,B
两点
,
与圆
(x-5)
2
+y
2
=r
2
(r>0)
相切于点
M,
且
M
为线段
AB
的中点
.
若这样的直线
l
恰有
4
条
,
则
r
的取值范围是
(
)
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4)
【
解析
】
选
D.
当直线与
x
轴垂直的时候
,
满足条件的直线有且只有
2
条
.
当直线与
x
轴不垂直的时候
,
由对称性不妨设切点
M(5+rcosθ,rsinθ)(0<θ<π),
则切线的斜率
:
k
AB
= ,
又
M
为
AB
中点
,
由点差法可求得
,
k
AB
= ,
所以
r= ,r>2.
由于点
M
在抛物线内
,
所以
y
2
<4x,
将坐标代入可求得
r<4,
综上
,2
b>0)
的一个焦点
,A,B
是椭圆的两个顶点
,
椭圆的离心率为
.
点
C
在
x
轴上
,BC⊥BF,B,C,F
三点确定的圆
M
恰好与直线
l
1
:x+ y+3=0
相切
.
则椭圆的方程为
.
【
解析
】
由已知设
F(-c,0),B(0, c),
因为
k
BF
= ,
k
BC
=- ,C(3c,0),
且圆
M
的方程为
(x-
c)
2
+y
2
=4c
2
,
圆
M
与直线
l
1
:x+ y+3=0
相切
,
所以
=2c,
解得
c=1,
所以所求的椭圆方程为
=1.
答案
:
=1
考向一
直线与圆锥曲线位置关系的确定及应用
【
典例
1】
(1)
过抛物线
y
2
=2x
的焦点作一条直线与抛物线交于
A,B
两点
,
它们的横坐标之和等于
2,
则这样的直线
(
)
A.
有且只有一条
B.
有且只有两条
C.
有且只有三条
D.
有且只有四条
(2)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
点
M
到点
F(1,0)
的距离比它到
y
轴的距离多
1.
记点
M
的轨迹为
C.
①
求轨迹
C
的方程
;
②
设斜率为
k
的直线
l
过定点
P(-2,1).
求直线
l
与轨迹
C
恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时
k
的相应取值范围
.
【
解题导引
】
(1)
由于过焦点垂直于轴的弦只有一条
,
且此时弦长最小
,
因此只需看该弦与弦
AB
的关系即可
.
(2)①
可依据题设条件直接写出轨迹
C
的方程
;②
直线方程与轨迹
C
的方程联立
,
利用方程的解与直线与轨迹
C
交点间的关系即可求解
.
【
规范解答
】
(1)
选
B.
设该抛物线焦点为
F,A(x
A
,y
A
),
B(x
B
,y
B
),
则
|AB|=|AF|+|FB|=
x
A
+ +
x
B
+ =x
A
+x
B
+1=3
>2p=2.
所以符合条件的直线有且只有两条
.
(2)①
设点
M(x,y
),
依题意得
|MF|=|x|+1,
即
=|x|+1,
化简整理得
y
2
=2(|x|+x).
故点
M
的轨迹
C
的方程为
②在点
M
的轨迹
C
中
,
记
C
1
:y
2
=4x(x≥0),C
2
:y=0(x<0).
依题意
,
可设直线
l
的方程为
y-1=k(x+2).
由方程组
可得
ky
2
-4y+4(2k+1)=0.
①
当
k=0
时
,
此时
y=1.
把
y=1
代入轨迹
C
的方程
,
得
x= .
故此时直线
l
:y
=1
与轨迹
C
恰好有一个公共点
当
k≠0
时
,
方程①的判别式为
Δ=-16(2k
2
+k-1).
②
设直线
l
与
x
轴的交点为
(x
0
,0),
则由
y-1=k(x+2),
令
y=0,
得
x
0
=
③
(ⅰ)
若 由②③解得
k<-1,
或
k> .
即当
k∈(-∞,-1)∪
时
,
直线
l
与
C
1
没有公共点
,
与
C
2
有一个公共点
,
故此时直线
l
与轨迹
C
恰好有一个公
共点
.
(ⅱ)
若 或
由②③解得
k∈
或
- ≤k<0.
即当
k∈
时
,
直线
l
与
C
1
只有一个公共点
,
与
C
2
有一
个公共点
.
当
k∈
时
,
直线
l
与
C
1
有两个公共点
,
与
C
2
没有公共
点
.
故当
k∈
时
,
直线
l
与轨迹
C
恰好有两个公
共点
.
(ⅲ)
若 由②③解得
-1b>0)
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,
离心率为
e.
直线
l
:
y=ex+a
与
x
轴
,y
轴分别交于点
A,B,
点
M
是直线
l
与椭圆
C
的一个公共点
,
设 则该椭圆的离心率
e=
.
【
解析
】
因为点
A,B
分别是直线
l
:y=ex+a
与
x
轴
,y
轴的交点
,
所以点
A,B
的坐标分别是
(0,a).
设点
M
的坐标是
(x
0
,y
0
),
由 得
因为点
M
在椭圆上
,
所以
=1,
将
(*)
式代入
,
得
=1,
整理得
,e
2
+e-1=0,
解得
e= .
答案
:
【
加固训练
】
1.
直线
y=kx+2
与抛物线
y
2
=8x
有且只有一个公共点
,
则
k
的值为
(
)
A.1 B.1
或
3
C.0
D.1
或
0
【
解析
】
选
D.
由
得
k
2
x
2
+(4k-8)x+4=0,
若
k=0,
则
y=2,
若
k≠0,
则
Δ=0,
即
64-64k=0,
解得
k=1,
所以直线
y=kx+2
与抛物线
y
2
=8x
有且只有一个公共点时
,k=0
或
1.
2.
已知双曲线
=1
与直线
y=2x
有交点
,
则双曲线
离心率的取值范围为
(
)
A.(1, ) B.(1, ]
C.( ,+∞) D.[ ,+∞)
【
解析
】
选
C.
因为双曲线的一条渐近线方程为
y= x,
则由题意得
>2,
所以
e=
3.
过抛物线
y
2
=2px(p>0)
的焦点
F,
斜率为 的直线交抛
物线于
A,B
两点
,
若
(λ>1),
则
λ
的值为
(
)
A.5 B.4
C.
D.
【
解析
】
选
B.
根据题意设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由 得
故
-y
1
=λy
2
,
即
λ=
设直线
AB
的方程为
y=
联立直线与抛物线方程
,
消元得
y
2
- py-p
2
=0.
故
y
1
+y
2
= p,y
1
·
y
2
=-p
2
,
即
又
λ>1,
故
λ=4.
考向二
与弦有关的问题
【
典例
2】
(1)(2016·
莆田模拟
)
若直线
y=kx-k
交抛物线
y
2
=4x
于
A,B
两点
,
且线段
AB
中点到
y
轴的距离为
3,
则
|AB|=
(
)
A.12
B.10
C.8
D.6
(2)
已知椭圆
=1(a>b>0)
的一个顶点为
B(0,4),
离心率
e= ,
直线
l
交椭圆于
M,N
两点
.
①
若直线
l
的方程为
y=x-4,
求弦
MN
的长
.
②
如果△
BMN
的重心恰好为椭圆的右焦点
F,
求直线
l
方
程的一般式
.
【
解题导引
】
(1)
根据抛物线的方程求出准线方程
,
利用抛物线的定义
,
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离
,
列出方程求出
A,B
的中点横坐标
,
求出线段
AB
的中点到
y
轴的距离
.
(2)①
可以直接联立方程
,
把方程组转化成关于
x
或
y
的一元二次方程
,
利用根与系数的关系及弦长公式求解
;②
可利用椭圆的右焦点是△
BMN
的重心这一条件
,
利用
“
点差法
”
可求直线
l
的斜率
,
再由点斜式
,
即可求出直线
l
的方程
.
【
规范解答
】
(1)
选
C.
直线
y=kx-k
恒过
(1,0),
恰好是抛物线
y
2
=4x
的焦点坐标
,
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
抛物线
y
2
=4x
的准线
x=-1,
线段
AB
中点到
y
轴的距离为
3,x
1
+x
2
=6,
所以
|AB|=|AF|+|BF|=x
1
+x
2
+2=8.
(2)①
由已知得
b=4,
且 即
所以 解得
a
2
=20,
所以椭圆方程为
=1.
则
4x
2
+5y
2
=80
与
y=x-4
联立
,
消去
y
得
9x
2
-40x=0,
所以
x
1
=0,x
2
=
所以所求弦长
|MN|=
②椭圆右焦点
F
的坐标为
(2,0),
设线段
MN
的中点为
Q(x
0
,y
0
),
由三角形重心的性质知 又
B(0,4),
所以
(2,-4)=2(x
0
-2,y
0
),
故得
x
0
=3,y
0
=-2,
即得点
Q
的坐标为
(3,-2).
设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
则
x
1
+x
2
=6,y
1
+y
2
=-4,
且
以上两式相减得
=0,
所以
k
MN
故直线
l
的方程为
y+2= (x-3),
即
6x-5y-28=0.
【
规律方法
】
1.
弦长的计算方法与技巧
求弦长时可利用弦长公式
,
根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程
,
利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式
,
然后进行整体代入弦长公式求解
.
提醒
:
注意两种特殊情况
:(1)
直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直
.(2)
直线过圆锥曲线的焦点
.
2.
弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算
,
但要注意直线斜率是否存在
.
3.
与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法
,
就是将其转化为端点的坐标关系
,
再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系
,
构建方程
(
组
)
求解
,
或用向量法求解
.
【
变式训练
】
(2016·
珠海模拟
)
已知抛物线
C:y
2
=2px
(p>0)
的焦点为
F,
过点
F
且倾斜角为
60°
的直线
l
与抛物
线
C
在第一、四象限分别交于
A,B
两点
,
则 的值等于
.
【
解析
】
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由直线
l
的倾斜角为
60°,
则直线
l
的方程为
:y-0=
即
y=
联立抛物线方程
,
消去
y
并整理
,
得
12x
2
-20px+3p
2
=0,
则
x
1
= p,x
2
= p,
则
=3.
答案
:
3
【
加固训练
】
1.
在椭圆
=1
内
,
通过点
M(1,1),
且被这点平分的
弦所在的直线方程为
(
)
A.x+4y-5=0 B.x-4y-5=0
C.4x+y-5=0
D.4x-y-5=0
【
解析
】
选
A.
设直线与椭圆交点为
A(x
1
,y
1
),
B(x
2
,y
2
),
则
由①
-②,
得
=0,
因为
所以
所以所求直线方程为
y-1=- (x-1),
即
x+4y-5=0.
2.
若椭圆的中心在原点
,
一个焦点为
(0,2),
直线
y=3x+7
与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为
1,
则这个椭圆的方程为
(
)
【
解析
】
选
D.
因为椭圆的中心在原点
,
一个焦点为
(0,
2),
则
a
2
-b
2
=4,
所以可设椭圆方程为 联立
得
(10b
2
+4)y
2
-14(b
2
+4)y-9b
4
+13b
2
+196=0,
设直线
y=3x+7
与椭圆相交所得弦的端点为
(x
1
,y
1
),
(x
2
,y
2
),
由一元二次方程根与系数的关系得
:y
1
+y
2
=
=2.
解得
:b
2
=8.
所以
a
2
=12.
则椭圆方程为
=1.
3.(2016·
大连模拟
)
已知椭圆
C: =1(a>b>0),
F( ,0)
为其右焦点
,
过点
F
且垂直于
x
轴的直线与椭圆
相交所得的弦长为
2.
则椭圆
C
的方程为
.
【
解析
】
由题意得 解得
所以椭圆
C
的方程为
=1.
答案
:
=1
考向三
探究性、存在性问题
【
考情快递
】
命题方向
命题视角
探究是否存在常数问题
以椭圆、直线为载体
,
利用直线方程与椭圆方程联立
,
计算或推导某代数式或面积为常数
,
属中、高档题
探究是否存在定直线问题
主要考查根据椭圆方程以及题设条件
,
直接得出定直线
,
验证某定点在曲线上
,
属中、高档题
【
考题例析
】
命题方向
1:
探究是否存在常数问题
【
典例
3】
(2016·
兰州模拟
)
如图
,
椭圆
C:
=1(a>b>0)
经过点 离心率
e= ,
直线
l
的方程为
x=4.
(1)
求椭圆
C
的方程
.
(2)AB
是经过右焦点
F
的任一弦
(
不经过点
P),
设直线
AB
与直线
l
相交于点
M,
记
PA,PB,PM
的斜率分别为
k
1
,k
2
,k
3
.
问
:
是否存在常数
λ,
使得
k
1
+k
2
=λk
3
?
若存在
,
求
λ
的值
;
若不存在
,
说明理由
.
【
解题导引
】
(1)
由点在椭圆上和离心率建立方程求出椭圆方程
.(2)
设出直线的方程
,
将其与椭圆的方程结合得到一个一元二次方程
,
根据根与系数的关系得出
A,B
两点的坐标之间的关系和
M
的坐标
,
由此得出相应的直线的斜率
,
根据
A,F,B
三点共线得出相应的坐标之间的关系从而求出常数的值
.
【
规范解答
】
(1)
由 在椭圆上得
, =1,①
依题设知
a=2c,
则
a
2
=4c
2
,b
2
=3c
2
,②
将②代入①得
c
2
=1,a
2
=4,b
2
=3.
故椭圆
C
的方程为
=1.
(2)
存在
.
由题意可设
AB
的斜率为
k,
则直线
AB
的方程为
y=k(x-1),③
代入椭圆方程并整理得
(4k
2
+3)x
2
-8k
2
x+4(k
2
-3)=0.
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则有
x
1
+x
2
= x
1
x
2
=
④
在方程③中令
x=4,
得
M(4,3k).
从而
注意到
A,F,B
三点共线
,
则有
k=k
AF
=k
BF
,
即
=k.
所以
k
1
+k
2
=
= ⑤
将④代入⑤得
k
1
+k
2
=
=2k-1.
又
k
3
=k- ,
所以
k
1
+k
2
=2k
3
.
故存在常数
λ=2
符合题意
.
【
一题多解
】
解答本题第
(2)
问还有以下解法
:
设
B(x
0
,y
0
)(x
0
≠1),
则直线
FB
的方程为
:
y= (x-1),
令
x=4,
求得
从而直线
PM
的斜率为
k
3
=
联立 解得
则直线
PA
的斜率为
k
1
=
直线
PB
的斜率为
k
2
=
所以
k
1
+k
2
= =2k
3
,
故存在常数
λ=2
符合题意
.
命题方向
2:
探究是否存在定直线问题
【
典例
4】
(2014·
湖南高考
)
如图
,O
为坐标原点
,
双曲
线
C
1
: =1(a
1
>0,b
1
>0)
和椭圆
C
2
: =1(a
2
>
b
2
>0)
均过点 且以
C
1
的两个顶点和
C
2
的两个焦
点为顶点的四边形是面积为
2
的正方形
.
(1)
求
C
1
,C
2
的方程
.
(2)
是否存在直线
l
,
使得
l
与
C
1
交于
A,B
两点
,
与
C
2
只有一
个公共点
,
且 证明你的结论
.
【
解题导引
】
(1)
由于双曲线的顶点间距离与椭圆焦点间距离都等于
2,
再结合
C
1
,C
2
均过定点即可求得方程
.
(2)
在斜率存在与不存在两种情况下
,
先假设存在
,
若能求出则确定存在直线
l
,
否则
,
则不存在
.
【
规范解答
】
(1)
设
C
2
的焦距为
2c
2
,
由题意知
,2c
2
=2,
2a
1
=2,
从而
a
1
=1,c
2
=1.
因为点 在双曲线
x
2
-
=1
上
,
所以
=1,
故
b
1
2
=3,
由椭圆的定义知
2a
2
=
于是
a
2
= , b
2
2
=a
2
2
-c
2
2
=2,
故
C
1
,C
2
的方程分别为
(2)
不存在符合题设条件的直线
.
(i)
若直线
l
垂直于
x
轴
,
因为
l
与
C
2
只有一个公共点
,
所以直线
l
的方程为
x=
或
x=- ,
当
x=
时
,
易知
A( , ),B( ,- ),
所以
此时
,
当
x=-
时
,
同理可知
(ii)
若直线
l
不垂直于
x
轴
,
设
l
的方程为
y=kx+m
,
由 得
(3-k
2
)x
2
-2kmx-m
2
-3=0.
当
l
与
C
1
相交于
A,B
两点时
,
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
,
x
2
是上述方程的两个实根
,
从而
x
1
+x
2
= ,x
1
x
2
=
于是
y
1
y
2
=k
2
x
1
x
2
+km(x
1
+x
2
)+m
2
=
由 得
(2k
2
+3)x
2
+4kmx+2m
2
-6=0.
因为直线
l
与
C
2
只有一个公共点
,
所以上述方程的判别
式
Δ=16k
2
m
2
-8(2k
2
+3)(m
2
-3)=0,
化简
,
得
2k
2
=m
2
-3.
因此
于是
即
故
综合
(i)(ii
)
可知
,
不存在符合题设条件的直线
.
【
技法感悟
】
1.
解决常数存在性问题的常用方法
解决是否存在常数的问题时
,
应首先假设存在
,
看是否能求出符合条件的参数值
,
如果推出矛盾就不存在
,
否则就存在
.
2.
解决定直线问题的思路
解决是否存在直线的问题时
,
可依据条件寻找适合条件的直线方程
,
联立方程消元得出一元二次方程
,
利用判别式得出是否有解
.
【
题组通关
】
1.(2016·
石家庄模拟
)
已知椭圆
C: =1(a>b>0)
的离心率为
,
椭圆
C
的短轴的一个端点
P
到焦点的距
离为
2.
(1)
求椭圆
C
的方程
.
(2)
已知直线
l
:y=kx
+
与椭圆
C
交于
A,B
两点
,
是否存
在
k
使得以线段
AB
为直径的圆恰好经过坐标原点
O?
若存
在
,
求出
k
的值
;
若不存在
,
请说明理由
.
【
解析
】
(1)
设椭圆的焦半距为
c,
则由题设得 解得
故所求椭圆
C
的方程为
+x
2
=1.
(2)
存在
k
使得以线段
AB
为直径的圆恰好经过坐标原点
O.
理由如下
:
设点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
将直线
l
的方程
y=kx
+
代入
+x
2
=1
并整理得
(k
2
+4)x
2
+2 kx-1=0.(*)
则
x
1
+x
2
= ,x
1
x
2
=
因为以线段
AB
为直径的圆恰好经过坐标原点
O,
所以
=0,
即
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
又
y
1
y
2
=k
2
x
1
x
2
+ k(x
1
+x
2
)+3,
即
y
1
y
2
=
于是有
=0,
解得
k=
经检验知
:
此时
(*)
的判别式
Δ>0,
适合题意
.
所以当
k=
时
,
以线段
AB
为直径的圆恰好经过坐标
原点
O.
2.(2016·
鹰潭模拟
)
已知椭圆
C
的中心在原点
O
处
,
焦点
在
x
轴上
,
离心率为
,
右焦点到右顶点的距离为
1.
(1)
求椭圆
C
的标准方程
.
(2)
是否存在与椭圆
C
交于
A,B
两点的直线
l
:y=kx+m(k
∈
R),
使得 成立
?
若存在
,
求出实数
m
的取值范围
;
若不存在
,
请说明理由
.
【
解析
】
(1)
设椭圆
C
的方程为
=1(a>b>0),
半焦
距为
c,
依题意
e=
由右焦点到右顶点的距离为
1,
得
a-c=1.
解得
c=1,a=2,
所以
b
2
=4-1=3,
所以椭圆
C
的标准方程是
=1.
(2)
存在直线
l
,
使得 成立
.
理由如下
:
因为直线
l
的方程为
y=kx+m
,
由 得
(3+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-12=0.
Δ=(8km)
2
-4(3+4k
2
)(4m
2
-12)>0,
化简得
3+4k
2
>m
2
.
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
若 成立
,
即
,
等价于
=0.
所以
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,x
1
x
2
+(kx
1
+m)(kx
2
+m)=0,
(1+k
2
)x
1
x
2
+km(x
1
+x
2
)+m
2
=0,
=0,
化简得
7m
2
=12+12k
2
.
将
k
2
= m
2
-1
代入
3+4k
2
>m
2
中
,
得
解得
m
2
> .
又由
7m
2
=12+12k
2
≥12,
得
m
2
≥ ,
从而
m
2
≥ ,
解得
m≥
或
m≤- .
所以实数
m
的取值范围是
