专题59 求知路上能走多远----探索性问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

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文档介绍

专题59 求知路上能走多远----探索性问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.圆锥曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(5)理解数形结合的思想.‎ ‎2.曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ 基础知识回顾:‎ 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的题型.探索性问题一般有三种类型:(1)条件探索性问题;(2)结论探索性问题;(3)探索存在性问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确,需要完备条件的题目;结论探索型问题是指题目中结论不确定,不唯一,或题目结论需要类比,引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论;探索存在型问题是指在一定的前提下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.‎ 从近几年高考命题看,考查频率较高的是探索存在型问题.‎ 应用举例:‎ 类型一 结论探索性问题 ‎【例1】【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】已知椭圆的左,右焦点分别为.点在椭圆上,直线过坐标原点,若, .‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2) 设椭圆在点处的切线记为直线,点在上的射影分别为,过作的垂线交轴于点,试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎(2)由(1)知,直线的方程为: ‎ 即: ,所以 ‎∴.‎ ‎∵,∴的方程为,令,可得,∴‎ ‎(几何法)‎ 当不在轴时,不妨令在第一象限,直线的方程为,令 ‎∴, , ‎ ‎∵与垂直,∴, ‎ 令,∴‎ ‎∴‎ 当在轴时, , ‎ ‎【例2】【2015高考新课标2,理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.‎ ‎ (Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;‎ ‎(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或.‎ ‎ 或时,四边形为平行四边形.‎ ‎【例3】【2015高考福建,理18】已知椭圆E:过点,且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程; ‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外.‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)设点,则 由所以 从而 ‎ ‎ 所以不共线,所以为锐角.‎ 故点G在以AB为直径的圆外.‎ 点评:这类试题给出命题的条件,要求考生探索命题的结论,并加以证明.其基本思路是,应用综合法从已知条件推出可知,再推出可知,逐步推出正确的结论或通过观察,想象、比较、归纳,作出猜想,然后证明猜想.这是一个不断地由未知转化为已知的探索性思维的过程.‎ 类型二 存在性问题 ‎【例4】【2017届广东深圳市4月模拟】已知圆,一动圆与直线相切且与圆外切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(2)若经过定点的直线与曲线交于两点, 是线段的中点,过作轴的平行线与曲线相交于点,试问是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程,若不存 在,说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 存在直线或,使得.‎ ‎(2)设,‎ 由题意可知,当直线与轴垂直时,显然不符合题意,‎ 故可设直线的方程为,‎ 联立和并消去,可得,‎ 显然,由韦达定理可知,①‎ ‎【例5】【2018届湖南省邵阳市洞口县第一中学高三上第一次月考】在 中,顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.‎ ‎(I )求顶点 的轨迹方程;‎ ‎(II) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ,如果存在过点的直线,使得点 关于对称,求实数 的取值范围 ‎【答案】(1) (2)当 时, 的取值范围为 ;当 时, 的取值范围为( ).‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(I ) 由 成等差数列,可得 ;结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为 ‎;(II)将 与椭圆方程联立,判别式大于得 . (II)由 ‎ 消去整理得,‎ ‎∴ ,整理得: …①.‎ 令 ,则 .‎ 设 的中点 ,则 .‎ i)当 时,由题知, .‎ ii)当 时,直线方程为 ,‎ 由 在直线l上,得,得…②‎ 把②式代入①中可得 ,解得 .‎ 又由②得 ,解得 ,∴.‎ 验证:当 在 上时,得 代入②得 , 无解.即 不会过椭圆左顶点. ‎ 同理可验证 不过右顶点.∴ 的取值范围为). ‎ 综上,当 时,m的取值范围为;当 时,m的取值范围为.‎ ‎【例6】【2015高考湖北,理21】一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆可绕转动,长杆通过处铰链与连接,上的栓子可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子在滑槽AB内作往复运动时,带动绕转动一周(不动时,也不动),处的笔尖画出的曲线记为.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与曲线有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎x D O M N y 第21题图2‎ 第21题图1‎ ‎ ‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在最小值8.‎ 由原点到直线的距离为和,可得 ‎. ②‎ 将①代入②得,. ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 因,则,,所以,‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时,的最小值为8. ‎ 综合(1)(2)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,的面积取得最小值8. ‎ 点评:此类试题是探求符合题设条件的数学对象是否存在.其解法是:先假设所需探求的对象存在或结论成立,以此假设为前提运用所学知识进行运算或推理,找出数学对象存在的条件,从而确定数学对象的存在,否则不存在..‎ 方法、规律归纳:‎ 探索型问题具有较强的综合性,因而解决此类问题往往综合运用所学数学知识.经常用到的知识是:二元二(一)次方程组、几何图形的某些特殊性质等.因此复习中既要重视基础知识的复习,又要加强变式训练和数学思想方法的研究,切实提高分析问题、解决问题的能力.‎ 实战演练:‎ ‎1.【2015高考四川,理10】设直线l与抛物线相交于A,B两点,与圆相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎ 2.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】 已知抛物线的方程为抛物线上一点,为抛物线的焦点.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)设直线与抛物线有唯一公共点,且与直线相交于点,试问,在坐标平面内是否存在点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(I);(II)存在,.‎ ‎ ,直线的方程为,‎ 令得,点坐标为,, ‎ 点在以为直径的圆上,‎ 要使方程恒成立,必须有,解得.‎ 在坐标平面内存在点,使得以为直径的圆恒过点,其坐标为... ‎ 法2:设点,由与曲线有唯一公共点知,直线与相切,‎ 由得.直线的方程为,‎ ‎ 3.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】椭圆()的上下左右四个顶点分别为,,,,轴正半轴上的某点满足,.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程以及点的坐标;‎ ‎(2)过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点,过点作直线交椭圆于点,,且,是否存在这样的直线,使得,,的面积相等?若存在,请求出直线的斜率;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)椭圆标准方程为,点坐标为;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用已知条件求出的值,得到椭圆方程;(2)假设存在,设直线,由、的面积相等,求出,再算出 的面积,‎ 得出相等,故存在。‎ ‎ 4.【2015高考北京,理19】已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);‎ ‎(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1),,(2)存在点 ‎【解析】(Ⅰ)由于椭圆:过点且离心率为,‎ ‎,,椭圆的方程为.‎ ‎,直线的方程为:,令,;‎ ‎ 5.【2017届贵州省遵义市第四中学高三下第一次月考】已知椭圆,过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求中点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)求的面积的最大值,并求此时直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 此时, .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)利用点差法,结合中点坐标公式,即可求中点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)令代入,利用韦达定理,表示出面积,利用函数的单调性,即可求面积的最大值,及此时直线的方程.‎ 试题解析:‎ 法二:‎ 设, , ‎ 则 ‎(1)-(2)得: ‎ ‎ ‎ ‎6.【2015高考四川,理20】如图,椭圆E:的离心率是,过点P(0,1)的动直线与椭圆相交于A,B两点,当直线平行与轴时,直线被椭圆E截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)存在,Q点的坐标为.‎ ‎(2)当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于C、D两点.‎ 如果存在定点Q满足条件,则,即.‎ 所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为.‎ 当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于M、N两点.‎ 则,‎ 由,有,解得或.‎ 所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点的坐标只可能为.‎ 下面证明:对任意的直线,均有.‎ 当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.‎ 当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,A、B的坐标分别为.‎ 联立得.‎ 其判别式,‎ ‎ ‎ ‎7.【2017届陕西省咸阳市二模】已知动点到定点和定直线的距离之比为,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点,试问在轴上是否存在一点(与点不重合),使得,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(I);(Ⅱ)存在点. ‎ ‎【解析】试题分析:(I)设点坐标为直接找出关于的方程,这就是曲线的轨迹方程. (Ⅱ) 可知直线与倾斜角互补,则,设带入式,得到的方程,求出的值.‎ ‎ 8.【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上期中】已知椭圆的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线相切(为常数).‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)如图,若椭圆的左、右焦点分别为,过作直线与椭圆分别交于两点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎(2)①若直线斜率不存在,则可得轴,方程为,‎ ‎,故.‎ ‎②若直线斜率存在,设直线的方程为,‎ 由消去得,‎ 设,则.‎ ‎,‎ 则 代入韦达定理可得 由可得,结合当不存在时的情况,得.‎ ‎9.【2015高考新课标1,理20】在直角坐标系中,曲线C:y=与直线(>0)交与M,N两点,‎ ‎(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)存在 ‎(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:‎ ‎ 设P(0,b)为复合题意得点,,,直线PM,PN的斜率分别为.‎ ‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴==.‎ ‎ 当时,有=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,‎ ‎ 故∠OPM=∠OPN,所以符合题意. ……12分 ‎ ‎10、【2016年高考四川理数】已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;‎ ‎(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得,并求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),点T坐标为(2,1);(Ⅱ).‎ ‎ ‎ 方程②的判别式为,由,解得.‎ 由②得.‎ 所以 ,‎ 同理,‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数,使得.‎ ‎ ‎
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