2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题

崇仁二中 2017-2018 学年高二上学期期中考试 文科数学试卷 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的)． 1.命题“ 20, 0x x x    ”的否定是 ( ) A ． 20, 0x x x    B. 20, 0x x x    C. 20, 0x x x    D. 20, 0x x x    2．某人在打靶时，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的互斥事件是 ( ) A．2 次都不中靶 B．2 次都中靶 C．至多有 1 次中靶 D．只有 1 次 中靶 3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A． 1 6 B． 25 24 C． 3 4 D． 11 12 4. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下：72，74，74，76，76，76，77，77，77，77.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同 的是( ) A．众数 B．标准差 C．中位数 D．平均数 5．从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于 40 的概率 是( ) A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 6．抛物线 2 4x y  的焦点坐标为 ( ) A． (0, 1) B． (0,1) C． (0, 2) D．(0,2) 7.在区间 4,4 上随机的取一个数 x ，则 x 满足 2 6 0x x   的概率为（ ） A． 1 2 B． 3 8 C． 4 9 D． 5 8 8．下列命题中的假命题是( ) A． 0x R  ， 0lg 0x  B． 0x R  ， 0tan 3x  C． 3, 0x R x   D． ( , ),tan sin2x x x    9．设 ,Rx  则  xxx 222 1”是““ ”01 的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也 不必要条件 10．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上一点 ( ,1)P m 到焦点的距离为 5，则抛物线方程 为( ) A． yx 82  B． yx 82  C． yx 162  D． yx 162  11．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，以线段 1 2F F 为一边作正 三角形， 若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 2 3 D． 3 1 12．若椭圆  012 2 2 2  bab y a x 的离心率 2 1e ，右焦点为  0,cF ，方程 022  cbxax 的两个实数根分别是 21, xx ，则点  21, xxP 到原点的距离为（ ） A．2 B． 2 C． 2 7 D． 4 7 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 13．某校有学生 2000 人，其中高二学生 630 人，高三学生 720 人．为了了解学生的身体素质 情况，采用 按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个 200 人的样本．则样本中高一学生的人数为 14.在 ABC 中， 060A  ， 2AB  ，且 ABC 的面积 3 2ABCS  ，则边 BC 的长为 ____________ 15.若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 16 2 x y  的右焦点重合，则 p 的值为___________ 16.下列四个命题: ①命题“若 0a  ，则 0ab  ”的否命题是“若 0a  ，则 0ab  ”； ②抛物线 2 ( 0)x ay a  的准线方程是 4 ay   ； ③若命题“ p”与命题“p 或 q”都是真命题，则命题 q 一定是真命题； ④若命题“ x R  , 2 ( 2) 1 0x m x    ”是假命题，则实数 m 的取值范围是 0 4m  ． 其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题的序号都填上)． 三.解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分 10 分）根据统计某种改良土豆亩产增加量 y （百斤）与每亩使用农夫 1 号 肥料 x （千克）之间有如下的对应数据： x （千克） 2 4 5 6 8 y （百斤） 3 4 4 4 5 （1）依据表中数据，请用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 axby ˆˆˆ  ； （2）根据所求线性回归方程，估计如果每亩使用农夫 1 号肥料 10 千克，则这种改良土豆亩 产增加量 y 是多少斤？ 回归方程系数参考公式： 18. （本小题满分 12 分）某中学为了解某次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分 取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分 布表和频率分布直方图解决下列问题： （1）求出 , , ,a b x y 的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学参加 座谈， 求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率． 19．（本小题满分 12 分）给出命题 p：方程 2 2 12 x y a a   表示焦点在 y 轴上的椭圆； 命题 q：曲线 2 (2 3) 1y x a x    与 x 轴交于不同的两点． （1）若命题 p 是真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果命题“ p q ”为真，“ p q ”为假，求实数 a 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分）等差数列{ }na 的各项均为正数， 1 1a = ，前 n 项和为 nS ；数列{ }nb 为等比数列， 1 1b = ，且 2 2 6b S = ， 2 3 8b S  ． （1）求数列{ }na 与{ }nb 的通项公式； （2）求数列{ }n na b 的前 n 项和 nT ． 21．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为菱 形， 60 2 6BAD AB PD   ， ， ，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点. （1）证明：平面 EAC⊥平面 PBD； （2）若 PD//平面 EAC,求三棱锥 P EAD 的体积. 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴，焦距为 2 ，且长轴长是 短轴长的 2 倍. (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 设 (2,0)P ,过椭圆C 左焦点 F 的直线l 交C 于 A 、 B 两点,若对满足条件的任意直线 l ,不等式 PA PB   uur uur ( R )恒成立,求  的最小值. 崇仁二中 2017-2018 学年高二上学期期中考试 文科数学试卷答案 一．选择题：BADBCA DCACDB 二．填空题： 13. 65 14． 3 15． 4 16． ②③ 三．解答题： 17．解：（1） 55 86542 x ----------------1 分 45 54443 y --------------- 2 分 10658464544325 1   ii i yx ----------------------3 分 14586542 222225 1 2  i ix ----------------------------------------4 分 3.055145 455106ˆ 2  b ----------------------------------------5 分 5.253.04ˆˆ  xbya -------------------------------------------6 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程： 5.23.0ˆ  xy ------------------------------------7 分 (2)当 x=10 时, 5.55.2103.0ˆ y --------------------------------------------------------9 分 答:估计如果每亩使用农夫 1 号肥料 10 千克,则这种改良土豆亩产增加量 y 是 550 斤 --10 分 18. 19. 解：（1）若命题 p 为真，则有 ．．．．．．．．． 3 分 解之得 0＜a＜1，即实数 a 的取值范围为（0，1）；．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 （2）若命题 q 为真，则有 2(2 3) 4 0a     ，．．．．．．．．．．．．．．．5 分 解之得 1 2a  或 5 2a  ．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分 ∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假 ∴p、q 中一个为真命题，另一个为假命题，．．．．．．．．．． 7 分 ①当 p 真 q 假时， 0 1 1 5 2 2 a a     ，得 1 12 a  ； ．．．．．．．．． 9 分 ②当 p 假 q 真时， 1 0 5 1 2 2 a a a a     或 或 ，得 5 02a a 或 ．．．．．．．．． 11 分 所以 a 的取值范围是 1 5( ,0] [ ,1) ( , )2 2     ．．．．．．．．．． 12 分 20. 解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，d＞0，{bn}的公比为 q， 则 an=1+（n-1）d，bn=qn-1． 由 b2S2=6，b2+S3=8， 有 q（2+d）=6，q+3+3d=8， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 解得 d=1，q=2，或 q=9，d=- （舍去）， ．．．．．．．．．．．．．． 4 分 故 an=n，bn=2n-1． ．．．．．．．．．．．．．． 6 分 （2）an•bn=n•2n-1． ．．．．．．．．．．．．．． 7 分 前 n 项和为 Tn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1， ．．．．．．．．．．．．．． 8 分 2Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n． ．．．．．．．．．．．．9 分 两式相减可得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n = -n•2n．．．．．．．．．．．．．．． 11 分 化简可得 Tn=1+（n-1）•2n． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分 21. （Ⅰ）证明：因为 PD  平面 ABCD ， AC  平面 ABCD ， 所以 AC PD ． 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AC BD …………………………3 分 又因为 PD BD D ， AC  面 PBD 而 AC  平面 EAC ， 所以平面 EAC  平面 PBD …………………………5 分 （Ⅱ）因为 / /PD 平面 EAC ，平面 EAC  平面 PBD OE ， 所以 / /PD OE …………………………7 分 因为 O 是 BD中点， 所以 E 是 PB 中点． 取 AD 中点 H ，连结 BH ， 因为四边形 ABCD 是菱形， 60BAD   ， 所以 BH AD ，又 BH PD ， AD PD D ， 所以 BD  平面 PAD ， 3 32BH AB  ．…………………………10 分 所以 1 1 1 2 2 3P EAD E PAD B PAD PADV E V S BH         1 1 22 6 36 2 2       …………………………12 分 22. 解(Ⅰ)依题意, 2a b , 1c  , ………………………………1 分 解得 2 2a  , 2 1b  ,所以椭圆  的标准方程为 2 2 12 x y  .…………………3 分 (Ⅱ)设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 所以    1 1 2 22, 2,PA PB x y x y     uur uur =   1 2 1 22 2x x y y   , 当直线l 垂直于 x 轴时, 1 2 1x x   , 1 2y y 且 2 1 1 2y  , 此时  13,PA y  uur ,    2 13, 3,PB y y     uur , 所以  2 2 1 173 2PA PB y     uur uur .………………………………6 分 当直线l 不垂直于 x 轴时,设直线l :  1y k x  , 由   2 2 1 2 2 y k x x y      ,消去 y 整理得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     , 所以 2 1 2 2 4 1 2 kx x k     , 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k   ,………………………………8 分 所以     2 1 2 1 2 1 22 4 1 1PA PB x x x x k x x        uur uur     2 2 2 1 2 1 21 2 4k x x k x x k          2 2 2 2 2 2 2 2 2 41 2 41 2 1 2 k kk k kk k          2 2 17 2 2 1 k k    2 17 13 17 2 22 2 1k    .…………………………11 分 要使不等式 PA PB   uur uur (  R )恒成立,只需  max 17 2PA PB    uur uur , 即  的最小值为17 2 .………………………………12 分