数学北师大版（2019）必修第二册：单元素养评价 第二章 平面向量及其应用 学案与作业
单元素养评价(二)(第二章)
(120 分钟 150 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 40 分)
1.下列说法错误的是 ( )
A.向量 的长度与向量 的长度相等
B.零向量与任意非零向量平行
C.长度相等方向相反的向量共线
D.方向相反的向量可能相等
【解析】选 D.A 中向量 与向量 的方向相反,长度相等,故正确;B 中
规定零向量与任意非零向量平行,故正确;C 中能平移到同一条直线的
向量是共线向量,所以长度相等,方向相反的向量是共线向量,故正
确;D 中长度相等,方向相同的向量才是相等向量,所以方向相反的向量
不可能相等,故错误.
2.已知向量 m=(a,-1),n=(2a-5,3),若 m∥n,则实数 a 的值为 ( )
A.3 B.1 C.- D.-5
【解析】选 B.根据题意,向量 m=(a,-1),n=(2a-5,3),若 m∥n,则有
3a=-(2a-5),解得 a=1.
3.(2020· 全 国Ⅲ 卷) 已 知向 量 a,b 满 足 =5, =6,a·b=-6,则
cos
= ( )
A.- B.- C. D.
【 解 析 】 选 D. 由 a · (a+b)= +a · b=25-6=19, 又
= =7,
所以 cos= = = .
【补偿训练】
已知 a=(1,1),b=(m,1),且 a⊥(a+b),则实数 m= ( )
A.1 B.-3 C.-2 D.-1
【解析】选 B.a+b=(m+1,2),由 a·(a+b)=0,得 m=-3.
4.在△ABC 中,A=60°,B=75°,BC=10,则 AB= ( )
A.5 B.10 C.5 D.
【解析】选 D.由内角和定理知 C=180°-(60°+75°)=45°,所以
= 即 AB= = = .
5. 已 知 a,b,c 分 别 为 △ABC 内 角 A,B,C 的 对
边, + =1, · =4,则△ABC 的面积为 ( )
A. B.2 C.2 D.4
【解析】选 C.由已知及正弦定理得 + =1,化简得 b2+c2-a2=bc,所
以 cos A= = ,因为 A∈ ,所以 A=60°,所以 · =bccos
60°=4,所以 bc=8,
所以 S△ABC= bcsin A= ×8× =2 .
6.在正方形 ABCD 中,设 =a, =b,已知 E,F,G 分别是 AB,DE,CF 的中点,
则 =( )
A. a+ b B. a- b
C. a+ b D. a+ b
【解析】选 D.由几何图形可知: = +
= + = +
=
+ + = + = a+ b.
7.已知 O 是平面内一定点,A,B,C 是平面内不共线的三个动点,若动点 P
满足 = +λ( + ),λ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )
A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心
【解析】选 B.由原等式得 =λ( + ),根据平行四边形法则知 +
是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量的 2 倍,所以点 P 的轨迹
必过△ABC 的重心.
8.在给出的下列命题中,错误的是 ( )
A.设 O,A,B,C 是同一平面上的四个点,若 =m· +(1-m)· (m∈R),
则点 A,B,C 必共线
B.若向量 a,b 是平面α上的两个向量,则平面α上的任一向量 c 都可以
表示为 c=λa+μb(μ,λ∈R),且表示方法是唯一的
C.已知平面向量 , , 满足 · = · , =λ ,则
△ABC 为等腰三角形
D. 已 知 平 面 向 量 , , 满 足 | |=| |=| |=r(r>0), 且
+ + =0,则△ABC 是等边三角形
【 解 析 】 选 B. 对 于 A, =m · + · (m ∈ R), 所 以
- =m ,所以 =m ,且有公共点 C,所以点 A,B,C 共线,命题
A 正确;
对于 B,根据平面向量的基本定理缺少条件 a,b 不共线,故 B 错误;
对于 C,由于 · = · ,即 · =0, · =0,
得 ⊥ ,即 OA 为 BC 的垂线,
又由于 =λ ,可得 OA 在∠BAC 的平分线上,综合得△ABC
为等腰三角形,故 C 正确;
对 于 D, 平 面 向 量 , , 满 足 = = =r , 且
+ + =0, 所 以 + =- , 所 以 +2 · + = , 即
r2+2r2·cos< , >+r2=r2,所以 cos< , >=- ,
所以 , 的夹角为 120°,同理 , 的夹角也为 120°,所以△ABC 是
等边三角形,故 D 正确.
二、多选题(每小题 5 分,共 20 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3
分,有选错的得 0 分)
9.有下列说法,其中错误的说法为 ( )
A.若 a∥b,b∥c,则 a∥c
B.若 · = · = · ,则 P 是三角形 ABC 的垂心
C.两个非零向量 a,b,若 = + ,则 a 与 b 共线且反向
D.若 a∥b,则存在唯一实数λ使得 a=λb
【解析】选 AD.对于选项 A,当 b=0 时,a 与 c 不一定共线,故 A 错误;对
于选项 B,由 · = · ,得 · =0,所以 ⊥ ,PB⊥CA,同理 PA
⊥CB,PC⊥BA,故 P 是三角形 ABC 的垂心,所以 B 正确;对于选项 C,两个
非零向量 a,b,若 = + ,则 a 与 b 共线且反向,故 C 正确;
对于选项 D,当 b=0,a≠0 时,显然有 a∥b,但此时λ不存在,故 D 错误.
10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b=2 ,B= ,若添
加下列条件来解三角形,则其中三角形只有一个解的是 ( )
A.c=3 B.c= C.c=4 D.c=
【解析】选 AC.对于 A,由 cb,由正弦定理 = ,
可得 sin C= > ,
满足条件的 C 是锐角或钝角,故 B 不正确;
对于 C,由正弦定理 = ,可得 sin C=1 即 C= ,满足题意,故 C 正确;
对于 D,由正弦定理 = ,可得 sin C= ,即 C 无解,故 D 不正确.
11.设向量 a= ,b= ,则下列叙述错误的是 ( )
A.若 k<-2 时,则 a 与 b 的夹角为钝角
B. 的最小值为 2
C.与 b 共线的单位向量只有一个为
D.若 =2 ,则 k=2 或-2
【解析】选 CD.对于 A 选项,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 a·b<0 且 a 与
b 不共线,则 解得 k<2 且 k≠-2,A 选项正确;对于 B
选项, = ≥ =2,当且仅当 k=0 时,等号成立,B 选项正确;
对于 C 选项, = ,与 b 共线的单位向量为± 即与 b 共线的单位向
量为( ,- )或(- , ),C 选项错误;
对于 D 选项,因为 =2 =2 ,即 =2 ,解得 k=±2,D 选项
错误.
12. 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 且
(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 ( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC 是钝角三角形
C.△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍
D.若 c=6,则△ABC 外接圆半径为
【解析】选 ACD.因为 ∶ ∶ =9∶10∶11,
所以可设 (其中 x>0),解得 a=4x,b=5x,c=6x,
所以 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,A 正确;由上可知:c 最大,
所以三角形中 C 最大,又 cos C= = = >0,所以 C
为锐角,B 错误;
由上可知 a 最小,所以三角形中 A 最小,
又 cos A= = = ,
所以 cos 2A=2cos2A-1= ,所以 cos 2A=cos C,
由三角形中 C 最大且 C 为锐角可得:2A∈ ,C∈ ,所以 2A=C,
所以 C 正确;由正弦定理得 2R= ,又 sin C= = ,所以
2R= ,解得 R= ,所以 D 正确.
三、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 在 △ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知
A= ,b= ,△ABC 的面积为 ,则 c= ,B= .
【解析】由三角形的面积公式可得 S△ABC= bcsin A= c= ,所以 c=2 ,
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=14-2× ×2 × =2,
所以 a2+b2=c2,所以 C= ,B= .
答案:2
14.如图,在△ABC 中, = ,P 是 BN 上一点,若 =t + ,则实数 t
的值为 .
【 解 析 】 由 题 意 及 图 得 , 设
=m , = + = +m = +m( - )=m +(1-m) ,
又 = ,所以 = ,所以 = m +(1-m) ,又 =t + ,所以
解得 m= ,t= .
答案:
15.已知 M 是△ABC 内一点, = + ,设△ABM 的面积为 S1,△ABC 的
面积为 S2,则 = .
【解析】设 = , = ,以 AD,AE 为邻边作平行四边形 ADME,延长
EM 交 BC 于 F,则 EF∥AB,所以 = = .
答案:
16.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山
竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边
一树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与底面成 75°角,折断部分
与地面成 45°角,树干底部与树尖着地处相距 10 米,则大树原来的高
度是 米(结果保留根号).
【解析】如图所示,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠
AOB=75 ° , ∠ ABO=45 ° , 所 以 ∠ OAB=60 ° . 由 正 弦 定 理 知
= = ,
所以 OA= (米),AB= (米),
所以 OA+AB=5 +5 (米).
答案:
四、解答题(共 70 分)
17.(10 分)已知向量 a,b 满足 b=(1, ),a·b=4,(a-2b)⊥a.
(1)求向量 a 与 b 的夹角;
(2)求|2a-b|的值;
(3)若向量 c=3a-4b,d=ma+b,c∥d,求 m 的值.
【解析】(1)因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,|a|2=8,即|a|=2 .
设向量 a 与 b 的夹角为θ,则 cos θ= = ,又θ∈ ,所以θ
= .
(2)由向量模的计算公式|a|= ,得
|2a-b|= = = =2 .
(3)因为 c∥d,所以c=λd,设3a-4b=λ(ma+b),则 解得 m=- .
18.(12 分)已知 a,b 是两个单位向量.
(1)若|3a-2b|=3,求|3a+b|的值;
(2)若 a 与 b 的夹角为 60°,试求向量 m=2a+b 与 n=2b-a 的夹角的余弦
值.
【解析】(1)因为 a,b 为单位向量,所以|a|=1,|b|=1,又|3a-2b|=3,所
以 9|a|2-12a · b+4|b|2=9, 即 a · b= , 所 以
|3a+b|= = =2 .
(2)|m|= = =
= ,
|n|= = = =
,
m·n=(2a+b)·(2b-a)=2|b|2+3a·b-2|a|2= .
设 m,n 夹角为θ,则 cosθ= = = .即 m,n 夹角的余弦值为
.
19.(12 分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC 中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求 A;
(2)若 BC=3,求△ABC 周长的最大值.
【解析】(1)因为 sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,
所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,
所以 cos A= =- ,
因为 A∈(0,π),所以 A= .
(2)由(1)知 A= ,又 BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos
A=AC2+AB2+AC·AB=9,
即(AC+AB)2-AC·AB=9.
因为 AC·AB≤ (当且仅当 AC=AB 时取等号),
所以 9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2- = (AC+AB)2,
解得:AC+AB≤2 (当且仅当 AC=AB 时取等号),
所以△ABC 的周长=AC+AB+BC≤3+2 ,
所以△ABC 周长的最大值为 3+2 .
20.(12 分)△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2bcos C-c=2a.
(1)求 B 的大小;
(2)若 a=3 且 AC 边上的中线长为 ,求 c 的值.
【 解 析 】 (1) 因 为 2bcos C-c=2a, 所 以 由 余 弦 定 理 可
得,2b· -c=2a,
化简得 a2+c2-b2=-ac,
所以 cos B= =- ,
因为 B∈ ,所以 B= .
(2)由(1)及题意得,b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,①
又因为在△ABC 中,cos C= ,
取 AC 中点 D,连结 BD.因为 a=3,BD= ,
在△CBD 中,cos C= = ,
所以 9+b2-c2=2 ,②
把①代入②,化简得 c2-3c-10=0,
解得 c=5,或 c=-2(舍去),所以 c=5.
21.(12 分)如图,在△ABC 中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°, =2 , =2 .
(1)求 CD 的长;(2)求 · 的值.
【解析】(1)因为 =2 ,所以 = ,
所以 = - = - ,
所以| |=| - |
=
= = ,
即 CD= .
(2) = - =- + =- ( - )+ = + ,
所以 · = · = + · = + ×2×3× = .
22.(12 分)如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O
的北偏东 60°的方向,且在港口 A 北偏西 30°的方向上,一艘科学考察
船从港口 O 出发,沿北偏东 30°的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离
港口 O.一艘快艇从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 B,在 B 岛转
运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船
时间为 1 小时.
(1)求快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间;
(2)快艇驶离港口 A 后,最少经过多少小时能和科考船相遇?
【解析】(1)由题意知,在△AOB 中,OA=120,∠AOB=30°,∠OAB=60°,
所以∠ABO=90°,
于是 AB=OAsin∠AOB=120sin 30°=60(海里),
而快艇的速度为 v=60 海里/小时,所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时
间为 =1 小时.
(2)由(1)知,快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合.
为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行,
设快艇驶离港口 B t 小时后恰与科考船在 C 处相遇.
在△AOB 中,OB=OAcos ∠AOB=120cos 30°=60 ,
而 在 △ COB 中 ,BC=60t,OC=20 , ∠ BOC=30° ; 由 余 弦 定 理得
BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC,
即(60t)2= +(20(t+2))2-2×60 ×20(t+2)× ,化 简得
8t2+5t-13=0,
解得 t=1 或 t=- (舍去).故 t+2=3.
即快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇.
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