2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：3-1　导数的概念及运算（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：3-1　导数的概念及运算（讲解部分）

考点    导数的概念及运算 考点清单 考向基础 1.导数的概念及几何意义 (1)导数的概念 一般地,函数 y = f ( x )在 x = x 0 处的瞬时变化率是     =     ,称 为函数 y = f ( x )在 x = x 0 处的导数.记作 f '( x 0 )或 y '   ,即 f '( x 0 )=     =     . 注意      f '( x )与 f '( x 0 )的区别与联系: f '( x )是一个函数, f '( x 0 )是函数 f '( x )在 x 0 处 的函数值(常数),所以[ f '( x 0 )]'=0. (2)导数的几何意义 函数 y = f ( x )在 x = x 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f ( x )在点 P ( x 0 , y 0 )处的切 线的 斜率 ,过点 P 的切线方程为 y - y 0 = f '( x 0 )( x - x 0 ). (3)导数的物理意义:函数 s = s ( t )在点 t 0 处的导数 s '( t 0 )是物体的运动方程 s = s ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度 v ,即 v = s '( t 0 ); v = v ( t )在点 t 0 处的导数 v '( t 0 )是物体的运动方 程 v = v ( t )在 t 0 时刻的瞬时加速度 a ,即 a = v '( t 0 ). 原函数 导函数 f ( x )= C ( C 为常数) f '( x )=0 f ( x )= x n ( n ∈Q * ) f '( x )= nx n -1 f ( x )=sin x f '( x )=cos x f ( x )=cos x f '( x )= -sin x f ( x )= a x ( a >0,且 a ≠ 1) f '( x )= a x ln a f ( x )=e x f '( x )= e x f ( x )=log a x ( a >0,且 a ≠ 1) f '( x )=   2.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 f ( x )=ln x f '( x )=   　　(2)导数的运算法则 　　(3)复合函数的导数 复合函数 y = f [ g ( x )]的导数和函数 y = f ( u ), u = g ( x )的导数间的关系为 y ' x = y ' u · u ' x , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 运算 法则 加减 [ f ( x ) ± g ( x )]'= f '( x ) ± g '( x ) 积 [ f ( x )· g ( x )]'= f '( x ) g ( x )+ f ( x ) g '( x ) 商   '=   ( g ( x ) ≠ 0) 【知识拓展】 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周 期函数. 2. y = f ( x )的导数 f '( x )反映了函数 f ( x )的瞬时变化率,其正负号反映了变化的 方向,其大小| f '( x )|反映了变化的快慢,| f '( x )|越大,曲线在这点处的切线越 “陡”. 考向突破 考向一    导数的运算 例1 　求下列各函数的导数. (1) y =ln(3 x -2); (2) y =sin     ; (3) y =   +   . 解析 　(1)设 y =ln u , u =3 x -2. 则 y ' x = y ' u · u ' x =   (3 x -2)'=   . (2) y =sin     =-sin   ·cos   =-   sin x . ∴ y '=   '=-   (sin x )'=-   cos x . (3) y =   +   =   . ∴ y '=   '=   =   . 考向二    导数几何意义的应用 例2     (2019湖南郴州第三次质量检测,8)已知函数 f ( x )的导函数为 f '( x ),且满 足 f ( x )=cos x - xf '   ,若曲线 y = f ( x )在 x =0处的切线为 l ,则下列直线中与直线 l 垂直的是   (　　) A.2 x - y -1=0　　　　    B.2 x + y +1=0 C. x -2 y -2=0　　　　    D. x +2 y +1=0 解析      f '( x )=-sin x - f '   ,令 x =   ,则 f '   =-   ,即 f ( x )=cos x +   x , f (0)=1, f '(0)=   ,所以 l 的方程为 y =   x +1,所以直线2 x + y +1=0与直线 l 垂直.选B. 答案     B   解后反思 　求解析式类似 f ( x )= f '( x 0 ) g ( x )+ h ( x )( x 0 为常数)的导函数的关键 是明确 f '( x 0 )是常数,其导数值为0. 方法      利用导数求曲线的切线方程 若已知曲线 y = f ( x )过点 P ( x 0 , y 0 ),求曲线过点 P 的切线方程,则需分点 P ( x 0 , y 0 )是 切点和不是切点两种情况求解. (1)当点 P ( x 0 , y 0 )是切点时,切线方程为 y - y 0 = f '( x 0 )( x - x 0 ). (2)当点 P ( x 0 , y 0 )不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标 P '( x 1 , f ( x 1 )); 第二步:写出曲线在点 P '( x 1 , f ( x 1 ))处的切线方程 y - f ( x 1 )= f '( x 1 )( x - x 1 ); 第三步:将点 P 的坐标( x 0 , y 0 )代入切线方程求出 x 1 ; 第四步:将 x 1 的值代入方程 y - f ( x 1 )= f '( x 1 )( x - x 1 ),可得过点 P ( x 0 , y 0 )的切线方程. 注意　切点( x 0 , y 0 )的三重身份的灵活应用,即①切点在切线上;②切点在曲 线上;③切线斜率 k = f '( x 0 ). 方法技巧 例     (2019江西吉安一模,7)过点 P (1,1)且与曲线 y = x 3 相切的直线的条数为   (　　) A.0　　　　    B.1　　　　    C.2　　　　    D.3 解析 　当点 P 为切点时,∵ y '=3 x 2 ,∴ y '| x =1 =3,则曲线 y = x 3 在点 P 处的切线方程 为 y -1=3( x -1),即3 x - y -2=0.当点 P 不是切点时,设直线与曲线切于点( x 0 , y 0 )( x 0 ≠ 1),则 k =   =   =   + x 0 +1.∵ y '=3 x 2 ,∴ y '   =3   ,∴2   - x 0 -1=0,∴ x 0 =1(舍) 或 x 0 =-   ,∴过点 P (1,1)(不是切点)且与曲线 y = x 3 相切的直线方程为3 x -4 y +1= 0.综上,过点 P 的切线有2条,故选C. 答案     C