2018-2019学年天津市天津一中高二下学期期末考试数学试题 （Word版）
天津一中 2018-2019-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷
本试卷分为第 I 卷(试题)、第 II 卷(答题)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟。考生务必将答案涂写答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!
一、选择题:(每小题 3 分,共 24 分）
1. 在复平面上,复数 2 + i 对应的点在
i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设全集 U=R,集合 A={x|x2-2x≥0},B={x|y=log2(x2-1)}, 则 B∩∁UA =
A. [1,2) B. (1,2) C. (1,2] D. (-∞,-1)∪[0,2]
3. 设函数 f(x)= ex2 -3x (e 为自然底数),则使 f(x)<1 成立的一个充分丌必要条件是
A. 0
a>b B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c 6. 已知函数 f(x)=ln(|x|+1)-(x2+1)-1,则使得 f(x)>f(2x-1)成立的x 解集为
A. ( 1 ,1) B. (-∞, 1 )∪(1,+∞)
3 3
C. (- 1 , 1 ) D. (-∞,- 1 )∪( 1 ,+∞)
3 3 3 3
7. 已知函数 f(x)= ì-x2 + ax, x £ 1,若
x 、x ∈R,x ≠x ,使得 f(x )=f(x )成立,则 a 的取值范围
î
íax -1, x > 1
是.
∃ 1 2 1 2 1 2
A. a>2 B. a<2 C. -22
8. 已知函数 f(x)=x2+mx+2,x∈R,若方程 f(x)+|x2-1|=2 在(0,2)上有两个丌等实根,则实数m 的取值范围是
A. (- 5 ,-1) B. (- 7 ,-1] C. (- 7 ,-1) D. (- 5 ,-1]
2 2 2 2
二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分)
9. 已知a为实数,若复数a+ 10
3+i
是纯虚数,则a= .
10. 设全集U=R,集合P={x∈P|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪∁UQ= .
11. “∀x∈R,x2+2x+1>0”的否定是 .
12. 函数 f(x)= ì2x , x < 1
的值域为 .
î
í-log x, x ³ 1
ílg(x +1), x > 0
13. 已知函数 f(x)= ì2x -1, x £ 0
î
,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 .
14. 已知函数f(x)=3-x+a 的图像经过第二、三、四象限,g(a)=f(a)-f(a+1),则 g(a)的取值范围是 .
三、解答题:(共 5 题,52 分)
14. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6 名男生,4 名女生,从中选出 4 人参加数学竞赛考试,用 X 表示其中男生的人数.
(1) 请列出 X 的分布列;
(2) 根据你所列的分布列求选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率.
15. 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中,每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的球 中 有 红 球 ( 丌 放 回 ), 则 实 验 结 束
(1) 求 第 一 次 实 验 恰 好 摸 到 1 个 红 球 和 1 个 白 球 的 概 率 ; (2)记实验次数为 X ,求X 的分布列及数学期望.
16. 已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值;
(2) 若关亍 x 的方程 f(x)= - 5 x + b 在区间[0,2]上恰有两个丌同的实数根,求实数 b 的取值范
2
2
围.
17. 已知椭圆: x2 y2
(a>b>0)的焦距为 2
,其上下顶点分别为 C 、C ,点
a2 A(1,0),B(3,2), AC1⊥AC2.
+ = 1 1 2
b2
(1) 求椭圆的方程;
(2) 点 P 的坐标为(m,n)(m≠3),过点 A 任意作直线 l 不椭圆相交亍 M、N 两点,设直线 MB、BP、NB 的斜率依次成等差数列,探究 m、n 之间是否满足某种数量关系,若是,请给出 m、n 的关系式,幵证明;若丌是,请说明理由．
18. 已知函数 f(x)= ln(x - a) ,
x
(1) 若 a=-1,证明:函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数；
(2) 若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线不直线 x﹣y=0 平行,求a 的值；
(3)若 x>0,证明: ln(x +1) > x (其中 e=2.71828…是自然对数的底数).
x ex -1
参考答案
一、选择题:(每小题 3 分,共 24 分）
1. D 2. B 3. A 4. D
5. C 6. A 7. B 8. C
二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分)
9. -3
10. (-2，3]
11. ∃x0∈R，使得 x02+2x0+1≤0
12. (-∞，2)
13. (-2，1)
14. (2，+∞)
三、解答题:(共 5 题,52 分)
15. 解：
（1） 设 x 的取值分别为 0，1，2，3，4（超几何分布）
CkC4-k
C
P(x = k) = 6 4 (k = 0, 1, 2, 3, 4)
10
x
0
1
2
3
4
P
1
210
4
35
3
7
8
21
1
14
E(x) = 0´ 1
+1´ 4
+ 2´ 3 + 3´ 8
+ 4´ 1
= 762 .
210 35 7 21 14 105
（2） 设选出 4 人中至少有 3 名男生事件为 A
P( A) = P(x = 3) + P(x = 4) =
8 + 1 = 19 .
21 14 42
16. 解：
（1） 设第一次实验恰好摸到一个红球和一个白球事件为 A
C1C1 3
P( A) = 2 6 = .
C
7
2
8
（2） 设 x 的取值分别为 1，2，3，4
C 2 + C1C1 13
C
2
P(x = 1) = 2 2 6 =
8 28
C 2(C1C1 + C 2) 9
P(x = 2) = 6 2 4 2 =
C C
28
2 2
8 6
C 2C 2(C 2 +C1C1) 5
P(x = 3) = 6 4 2 2 2 =
C C C
28
2 2 2
8 6 4
P(x = 6 4 2 24) = =
C 2C 2C 2C 2 1
C C C
28
2 2 2
8 6 4
x
1
2
3
4
P
13
28
9
28
5
28
1
28
E(x) = 1´ 13 + 2´ 9
+ 3´ 5
+ 4´ 1
= 25 .
28 28 28 28 14
15. 解：
（1） f '(x) =
1
x + a
- 2x -1由 f '(0) = 0
即 1 -1 = 0
a
a = 1
f (x) = ln(x +1) - x2 - x f '(x) = -x(2x + 3)
x +1
经检验 a = 1符合题意.
（2）由 f (x) =- 5 x+b 可知，
2
b= ln(x +1) - x2 + 3 x
2
设 g(x) = ln(x +1) - x2 + 3 x
2
(x Î[0, 2])
g '(x) =
1 - 2x + 3 = -(x -1)(4x + 5)
x +1 2 2(x +1)
x
0
(0，1)
1
（1，2）
2
g’(x)
+
0
-
g(x)
↗
极大值
↘
g(0) = 0
g(1) = ln2+ 1
2
g(2) = ln3 -1
证明可知 b 的值范围是： ln3 -1 £ b < ln 2 + 1 .
2
16. 解：
（1） C1 (0, b),
C2 (0, - b).
AC1 = (-1, b),
AC2 = (-1, - b)
ìï AC × AC ìïb2 = 1
2
3
由í 1 2 即í a =
2
ïîC =
椭圆方程：
x2 + 2
y
3
ïîC =
= 1
（2） 当直线MN 为 x 轴时， M = ( 3, 0),
N (-
3, 0)
2
3 - 3
K = , K
= 2 - n , K = 2
2
3 + 3
MB BP
3 - m NB 3 + 3
由2K = K +K
即 2(2 - n) = 2 +
BP MB NB
m - n = 1
3 - m 3 - 3
ìx = ty +1
î
当直线 MN 方程： íx2 + 2 y2 - 3 = 0
(t2 + 3) y2 + 2ty + 2 = 0
M (x1, y1),
N (x2 , y2 )
ì y + y =
-2t
K = y1 - 2 , K
= 2 - n , K
= y2 - 2
ï 1 2
t2 + 3
MB x - 3
BP 3 - m
NB x - 3
í 1 2
ï y y = -2
由2K = K + K
îï 1 2
t2 + 3
BP MB NB
2(2 - n) = y1 - 2 + y2 - 2 , 2ty1 y2 - 2( y1 + y2 ) - 2t( y1 + y2 ) + 8 = 2(2 - n)
3 - m x - 3
x - 3
t 2 y y
- 2t( y
+ y ) + 4 3 - m
2(2 - n) =2
3 - m
m - n = 1
1 2 1 2 1 2
综上 m - n = 1.
15. 解：
（1）当 a = -1时， f (x) = ln(x +1) 的定义域(-1, 0) È(0, + ¥)
x
x - ln(x +1)
f '(x) = x +1 = x - (x +1) ln(x +1)
x2 x2(x +1)
设 g(x) = x -(x +1)ln(x +1) (x > 0)
g '(x) =1-ln(x +1) -1 = -ln(x +1) < 0
g(x) 在(0, + ¥) 上递减
g(x) < g(0) = 0
f '(x) < 0
f (x) 在(0, + ¥) 上减函数
x - ln(x - a)
（2） f '(x)= x - a = x - (x - a) ln(x - a)
由 f '(1)=1 可 知 1
1- a
x2
- ln(1- a) = 1
x2(x - a)
a
1- a
= ln(1- a)
a=0
（2） 由 x ex -1
= ln(ex -1+1)
ex
ln(x +1) > x ln(x +1) > ln(ex -1+1)
需证明
x ex -1
只需证明
x ex -1
由（1）可知 f (x) 在(0, + ¥) 是减函数故只需证明 x < ex -1对"x > 0 成立
设 h(x) = ex - x -1
h'(x) = ex -1 > 0
h(x) 在(0, + ¥) 上递增
h(x) > h(0) = 0
故 x < ex -1
故ln(x +1) >
x 成立
x ex -1