江西省南昌市安义中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江西省南昌市安义中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

安义中学2019-2020学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 ‎ 分值：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则=（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2．在映射中，，且，则元素在作用下的原像是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知方程的两个根为，则（）‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎6．设，，下列从到的对应法则不是映射的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列函数中在定义域上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．函数在的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10．已知，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11．若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题 ‎13．函数图象一定过点______。‎ ‎14．已知函数,若f(-2)=2，求f(2)=________。‎ ‎15．甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，，，，，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，，，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________．‎ ‎16．对于实数和，定义运算“”：，设函数，若方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（10分）计算:‎ ‎(1) ‎ ‎ (2) ‎ ‎18．（12分）已知全集为，函数的定义域为集合，集合.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎19．（12分）已知幂函数为偶函数.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎20．（12分）若二次函数满足,且 ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)设,求在的最小值的表达式．‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．（12分）设函数，，，.‎ ‎（1）用函数单调性的定义在在证明：函数在区间上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）若对任意满足的实数，都有成立，求证：.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎，‎ ‎∴，∴．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。‎ ‎2．A ‎【解析】‎ 由，解得 在作用下的原像是 故答案选 ‎3．B ‎【解析】‎ 对于，函数与的定义域不同，不是相同函数；‎ 对于, ，函数的定义域为，的定义域均为，所以，函数与是同一函数；‎ 对于，函数与的定义域不同，不是相同函数；‎ 对于，由得，，‎ ‎，，故函数与的定义域不同，不是相同函数；‎ 故答案选 ‎4．D ‎【解析】‎ 对于分段函数：‎ 一次函数单调递增，则 ‎ 指数函数单调递增，则 ‎ 且当时，应满足 ‎ ‎ 结合可得实数的取值范围是 故答案选 ‎5．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根与系数的关系可得，再结合对数的运算，‎ 再代入运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为方程的两个根为，‎ 由韦达定理可得，‎ 又，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了韦达定理及对数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.‎ ‎6．B ‎【解析】‎ 对于B:,,时，没有y与之对应；所以B不是映射。故选B ‎7．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中函数的解析式，讨论对称轴与区间的位置关系求出结果 ‎【详解】‎ 函数的图象是开口方向朝上，以直线为对称轴的抛物线 又函数在区间上是减函数，‎ 故 解得 则实数的取值范围是 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的性质，由单调性来判断对称轴的位置，数形结合有助于解题 ‎8．A ‎【解析】‎ ‎，故为增函数；‎ ‎，当时，为减函数；‎ 为减函数；‎ 为减函数 故答案选 ‎9．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题采用排除法进行解题，可以先用特殊函数值排除A、B，然后再比较C和D不同点，可以发现两个图像在区间上的单调性不一样，故可利用函数的单调性进行判断，从而解决问题。‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 又∵，‎ ‎，排除A；‎ ‎，排除B；‎ 当时，‎ ‎，当时，‎ ‎，‎ 因此在上单调递减，排除C，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的辨认，解决问题常见的方法有利用特殊值进行排除，也可根据函数的单调性、奇偶性进行排除等等。‎ ‎10．C ‎【解析】‎ ‎，‎ 故答案选 ‎11．A ‎【解析】‎ 是奇函数，且在上为减函数 在内是减函数 又，‎ 当时，‎ 当时，‎ 的解集是 故答案选 点睛：本题综合性较强，涉及抽象函数的单调性、奇偶性、零点问题，最后解决不等式，各知识点联系密切，由奇偶性结合已知条件能判定本题的单调区间和零点，在解不等式时进行分类讨论 ‎12．D ‎【解析】‎ ‎，为奇函数，函数化简得出：，，‎ ‎，当时，，当时，，当时，，函数的值域为，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a0=1求解函数过定点．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数y=ax﹣3+1（a＞0且a≠1），a0=1‎ ‎∴a3﹣3+1=2，‎ ‎∴f（3）=2‎ ‎∴函数y=ax﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（3，2）‎ 故答案为：（3，2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的性质，属于容易题．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的解析式，结合已知条件直接求解函数值即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=ax5﹣bx+|x|﹣1，若f（﹣2）=2，‎ 可得：﹣‎32a+2b+1=2，即‎32a﹣2b=﹣1‎ f（2）=‎32a﹣2b+1=﹣1+1=0‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 甲可以选择的手工纪念品的集合为：，乙可以选择的手工纪念品的集合为，丙可以选择的手工纪念品的集合为 丁可以选择的手工纪念品的集合为，这四个集合的交集中只有元素F 故答案为F ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 令，求得，则，画出函数的图象，如图，方程恰有两个不同的解，即是函数的图象与直线有个交点，数形结合可得，，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题.已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ ‎17．（1）99（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由指数幂的运算性质运算可得解；‎ ‎（2）由指数的运算当时，，再运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=99，‎ ‎（2）=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂的运算及对数的运算，重点考查了指数幂、对数的运算性质，属基础题.‎ ‎18．（1） ；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过解不等式求得集合再求交集；（2）根据集合的子集关系求参数的范围.注意讨论空集的情况.‎ 试题解析：（1）由 得， 函数 的定义域,又， 得，.‎ ‎（2）,①当 时，满足要求， 此时， 得;②当 时，要，则，解得，由①② 得，，实数 的取值范围.‎ 点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.‎ ‎(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.‎ ‎19．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义求出的解析式；‎ 若函数在上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数的取值范围。‎ 解析：（1）由 或 又为偶函数，则：此时：.‎ ‎（2）在上不是单调函数，则的对称轴满足 即：.‎ ‎20．(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 本题主要考查二次函数的图象与性质以及求二次函数在闭区间上的最值。(1)设，利用待定系数法求解即可；(2)的图象是开口朝上、对称轴为的抛物线，通过讨论对称轴的位置求出函数的最值。‎ 试题解析：‎ ‎(1)设,‎ 由得,‎ 故．‎ 因为,‎ 所以,‎ 整理得,‎ 所以,‎ 解得。‎ 所以。‎ ‎(2)由（1）得，‎ 故函数的图象是开口朝上、以为对称轴的抛物线,‎ ‎①当,即时,则当时,取最小值3；‎ ‎②当,即时,则当时,取最小值；‎ ‎③当,即时,则当时,取最小值。‎ 综上．‎ 点睛：求二次函数最值的方法 ‎(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；‎ ‎(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．‎ ‎21．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：用换元法令来求函数的解析式（2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围 解析：（1）令 ‎∴ ‎ 即：∴.‎ ‎（2）由 ‎ 即：‎ 又因为：，∴‎ 令，则：‎ 又在为减函数，在为增函数.‎ ‎∴‎ ‎∴，即：.‎ 点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果。‎ ‎22．详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用单调性的定义，在区间（0,1上任取，且，判断和0的大小即可,同理可证在1，+∞）上单调递增;‎ ‎（2）由结合条件可得，令，可得在上恒成立，令，，利用一次函数单调性求解即可.‎ ‎【详解】‎ 证明： (1)在区间（0,1上任取，且，则有 ‎ ‎ ‎∵，且，∴‎ 所以 ‎ 即在区间（0,1上是减函数． ‎ 同理可证在1，+∞）上单调递增 ‎(2)∵ ，即，又因为，‎ ‎∴ ，即. ‎ 令，由（1）可得，即，‎ 即在上恒成立 法1：令，‎ 因为，所以h(t)是关于t的一次函数 所以，要想恒成立 必须，又 所以 法2：‎ 又，所以 所以 ‎ 又，所以 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定义法证明函数的单调性，函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归的能力，属于中档题.‎ ‎ ‎