2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第2章 第9节 函数模型及其应用

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第2章 第9节 函数模型及其应用

‎2010~2014年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用 ‎1.（2014湖南，5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B. C. D.－1‎ 解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.‎ 答案：D ‎2.（2014山东，5分）已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：函数g(x)的定义域是[－2,2]，‎ 根据已知得＝f(x)，‎ 所以h(x)＝‎2f(x)－g(x)＝6x＋2b－.‎ 又h(x)>g(x)恒成立，‎ 即6x＋2b－> 恒成立，‎ 即3x＋b>恒成立．‎ 令y＝3x＋b，y＝，‎ 则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由>2，解得b>2(舍去负值)，‎ 故实数b的取值范围是(2，＋∞)．‎ 答案：(2，＋∞) ‎ ‎3．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________(m)．‎ 解析：‎ 本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20(m)．‎ 答案：20‎ ‎4．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．‎ ‎(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ 解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．‎ ‎(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．‎ 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，‎ 所以h＝(300－4r2)，‎ 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．‎ 由h>0，且r>0可得00，故V(r)在(0,5)上为增函数；‎ 当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．‎ 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ ‎5．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表(　　)‎ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)‎ A．50,0　　　　　　　　 B．30,20‎ C．20,30 D．0,50‎ 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.‎ 线性约束条件为即 画出可行域，如图所示．‎ 作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点B时，z取得最大值，由求得B(30,20)，故选B.‎ 答案：B ‎6．（2013湖南，5分）设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.‎ ‎(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；‎ ‎(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；‎ ‎②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.‎ 解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．‎ ‎(1)由题设f(x)＝0，a＝b⇒2ax＝cx⇒x＝，‎ 又a＋b≤c，a＝b⇒≤⇒x≤x，x>0，所以≤x⇒0c⇒＋>1，又0<<1,0<<1，∀x∈(－∞，1)⇒x>，x>⇒x＋x>1，即f(x)>0，所以①正确；由(1)可知②正确；‎ 由△ABC为钝角三角形，所以a2＋b2c，所以＋>1，所以f(1)>0，由零点存在性定理可知③正确．‎ 答案：{x|00，区间I＝{x|f(x)>0}．‎ ‎(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；‎ ‎(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．‎ 解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．‎ ‎(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，‎ 故f(x)>0的解集为{x|x10，d(a)单调递增；‎ 当1

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