河北省邢台市2020届高三上学期月考数学（理）试题

河北省邢台市2020届高三上学期月考数学（理）试题

‎2019-2020学年河北省邢台市高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（9月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 2. A. B. C. D. ‎ 3. 设，则 A. B. C. D. ‎ 4. 在中，D为边BC上的一点，且，则 A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数，则是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 6. 设，则 A. B. C. D. ‎ 7. 在公差d不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 8. 若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. 或 D. 或 9. 已知在上单调递减，且，则 A. B. C. 1 D. ‎ 10. 在以C为钝角的中，是单位向量，，的最小值为，则 A. B. C. D. ‎ 11. 定义在R上的函数满足，且对任意的都有其中为的导数，则下列一定判断正确的是 A. B. C. D. ‎ 12. 在数列中，且，则 A. 3750 B. ‎3700 ‎C. 3650 D. 3600‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 若x，y满足约束条件则的最小值为______‎ 14. 已知数列满足，则的前10项和为______．‎ 15. 已知向量，，且，则______．‎ 16. 函数图象的对称中心是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． 求C； 若，求，的面积 ‎ 1. 设等比数列的前n项和为，且． 求的通项公式； 若，求的前n项和． ‎ 2. 某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为‎300米，A为直径延长线上的点，米，E为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边． 若；，求四边形OACB的面积； 现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？‎ ‎ ‎ 3. 已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足， 证明：数列为等比数列． 记，求数列的前n项和． ‎ 4. 已知函数． 求的单调区间与最值； 证明：函数在上是增函数． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为． 求直线l和曲线C的普通方程； 已和点，且直线l和曲线C交于A，B两点，求的值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：集合， ， ． 故选：A． 求出集合M，N，由此能求出． 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：． 故选：C． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，，， ． 故选：A． 可以得出，从而得出a，b，c的大小关系． 考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的定义． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：， 故选：B． D为边BC上的一点，且，D是四等分点，，最后得到答案． 在中，D为边BC上的一点，且，则 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数， 所以， 所以， 因为当时，曲线在点处的切线为，此时切线与坐标轴围成的面积是， 当时，曲线在点处的切线为，此时切线与坐标轴围成的面积是， 则“”是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为“的充分不必要条件， 故选：D． 由导数的几何意义有：曲线在点处的切线的斜率为，再由充要性即可得解． 本题考查了充分必要条件及导数的几何意义，属基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：，设，则． 则，， 则， 故选：D ‎． 设，则则，则，再利用诱导公式、二倍角公式求得要求式子的值． 本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，关键是进行角的变换，属于中档题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：在公差d不为零的等差数列中，，且，，成等比数列， 可得，且，即， 解得，， 故选：C． 运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，可得首项和公差的方程，解方程可得所求公差． 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：不等式， 当，即时，不等式化为恒成立； 当时，应满足， 即， 解得； 综上知，实数a的取值范围是． 故选：B． 讨论和时，分别求出不等式恒成立对应a的取值范围． 本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由于函数在上单调递减，故， 所以， 由于，所以，解得或． 由于， 所以，解得． 同理解得， 所以． 当时 故选：C． 首先利用函数的性质求出函数的关系式．进一步利用函数的关系式求出函数的值． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：， 即函数的最小值为0， 由，得到． 因为C为钝角，所以， 故选：B． 由条件可知，因此，由此可得的最小值为0， 再根据，得到可求得C． 本题考查两向量的差的模的最值，结合二次函数，属于中档题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设，则， 对任意的都有； 则 0'/>，则在上单调递增； ；   ； 因为， ； ，所以关于对称，则， 在上单调递增； 即，； 即成立．故D不正确； ，故A，C均错误； B正确． 故选：B． 根据条件对任意的都有，，构造函数，则，可得在时单调递增．由，注意到；   ；代入已知表达式可得：，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果． 本题考查了构造法，通过构造函数的单调性，得出结论，构造适当的函数是解题的关键．属于中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：数列中， 当时，， 得， 所以， 从而， 解得， 由于数列中，符合上式， 则， 所以． 故选：A． 首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域阴影部分 由，得， 平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最小． 由， 解得， 此时z的最小值为， 故答案为：． 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：数列满足， ，，， 数列是周期为3的周期数列， 则的前10项和为：． 故答案为：． 利用递推思想依次求出数列的前5项，得到数列是周期为4的周期数列，由此能求出数列的前63项和． 本题考查数列的前63项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：向量，， 则，，； 由，得， ， 解得． 故答案为：． 根据平面向量的数量积列方程求出m的值． 本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解： 当时，， 函数图象的对称中心是：． 故答案为：． 利用倍角公式及辅助角公式对函数解析式进行化简，根据正弦函数图象的性质即可确定函数图象的对称中心． 本题主要考查了三角函数图象与性质，倍角公式及辅助角公式的运用．考查了学生对基础知识的灵活运用． 17.【答案】解：由已知可得， 又由正弦定理，可得，即， ， ， ，即， 又， ，或舍去，可得， ． ，，， 由正弦定理，可得， ， ． ‎ ‎【解析】由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值． 由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18.【答案】解：等比数列的前n项和为，且 当时，解得． 当时 得， 所以常数， 故． 由于，所以， 所以． ‎ ‎【解析】利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． 利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 19.【答案】解：当时， 平方米； 在中，由余弦定理得， ； 平方米， 四边形OABC的面积为 平方米； 设，则， 所以， 在中，由余弦定理得， ； ， 不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元， 则有； 化简得； 因为， 所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大． ‎ ‎【解析】计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积； 设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值． 本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了转化思想以及计算能力．是中档题． 20.【答案】证明：数列的前n项和为，， 当时，解得． 当时， 得， 整理得常数， 所以数列是以1为首项2为公比的等比数列． 解：由得，解得． 公差d不为0‎ 的等差数列满足，， 解得， 解得或舍去， 所以， 则， 所以 ， 得， 所以， 整理得， 故． ‎ ‎【解析】直接利用已知条件和等比数列的定义的应用求出结果． 利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 21.【答案】解：因为，所以， 所以当时，；当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 故，无最小值． 证明：因为，所以， 由知，即， 因为，所以，即， 设，则， 因为，所以，即在上单调递增， 所以，即， 所以，即， 故在上是增函数． ‎ ‎【解析】，根据的符号，进而判断的单调区间，最值； 因为，所以，进而判断即可求解． 考查函数的求导，利用导函数判断函数的单调区间、最值，转化思想，属于中档题． 22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数， 消去参数k，得曲线C的普通方程为； 直线l的极坐标方程为，即， 直线l的直角坐标方程为； 直线l经过点，可得直线l的参数方程为为参数， 设，， 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得． 则，． 故． ‎ ‎【解析】把曲线参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程；展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程； 写出直线参数方程的标准形式，与曲线C的普通方程联立，利用参数t的几何意义及根与系数的关系求解． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题． ‎