重庆一中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含解析

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重庆一中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含解析

‎2019-2020学年重庆一中高二(上)第一次月考数学试卷(理科)(9月份)‎ 一、选择题(本大题共12小题)‎ 1. 两条直线和之间的距离为 A. B. C. D. ‎ 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. ‎ 3. 公比为的等比数列的各项都是正数,且,则 A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 4. 已知点在圆外,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 5. 直线与椭圆的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 随着m的取值变化而变化 6. 方程表示的曲线是 A. 一个点 B. 两个点 C. 两条直线 D. 两条射线 7. 若双曲线的渐近线与圆没有公共点,则C的离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 8. 直线与椭圆相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,则动点M的轨迹方程为 A. B. C. D. ‎ 9. 已知,,从点射出的光线经x轴反射到时直线AB上,又经过直线AB反射回到时P点,则光线所经过的路程为 A. B. ‎6 ‎C. D. ‎ 10. 设椭圆与双曲线有公共的焦点,,点P是与的一个公共点,则的值为 A. B. C. D. ‎ 11. 已知为奇函数,当时,为偶函数,当时,,若对任意实数a,不等式恒成立,则实数b的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知F为椭圆C:的左焦点,过F作两条互相垂直的直线,,直线与C交于A,B两点,直线与C交于D,E两点,则四边形ADBE的面积最小值为 A. 4 B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ 13. 经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为______.‎ 14. 已知点是抛物线C:上一点,F是C的焦点,则______.‎ 15. 设为锐角,若,则______.‎ 16. 在中,角A为钝角,,,AD为BC边上的高,已知,则y的取值范围为______.‎ 三、解答题(本大题共5小题)‎ 17. 设的三个内角分别为A,B,向量与共线. Ⅰ求角C的大小; Ⅱ设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,试判断的形状. ‎ 1. 已知圆和相交于A,B两点. 求直线AB的方程,并求出; 在直线AB上取点P,过P作圆的切线为切点,使得,求点P的坐标. ‎ 2. 已知双曲线的离心率为2,左右焦点分别为,,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,且的周长为. 求双曲线C的方程; 已知直线,点P是双曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值. ‎ 3. 设椭圆的左右焦点分别为,,在椭圆L上的点满足,且,,成等差数列. 求椭圆L的方程; 过点A作两条倾斜角互补的直线,,它们与椭圆L的另一个交点分别为B,C,试问直线BC的斜率是否是定值?若是,求出该斜率;若不是,请说明理由. ‎ 4. 已知直线l:与椭圆交于A,B两点,点P是椭圆C上异于A,B的一个动点,点Q在直线AB上,满足为坐标原点. 求点Q的轨迹方程; 求四边形OAPB的面积S的最大值. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解:直线方程转换为, 所以两平行线间的距离, 故选:A. 直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果. 本题考查的知识要点:平行线间的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解:抛物线的方程化为:,可得, 准线方程为. 故选:D. 抛物线的方程化为:,可得,即可得出. 本题考查了抛物线的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解:依题意,各项都是正数的数列是等比数列, 因为,所以, 所以, 所以, 故选:B. 各项都是正数的数列是等比数列,,所以,进而得到数列的通项公式,即可求出. 本题考查了等比数列的性质,等比数列的通项公式,对数运算等,比较基础. 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解:圆,配方为:. 解得. 可得圆心,半径. 点在圆外, . 解得. 故选:B. 圆,配方为:解得m范围.可得圆心,半径由于点在圆外,可得,即可得出. 本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、不等式的解法、配方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解:由线,得, 联立,解得. 直线过定点, 代入,有. 点在椭圆的内部, 则直线与椭圆的位置关系是相交. 故选:C ‎. 由直线系方程求出直线所过定点,判断定点在椭圆内部,可得直线与椭圆相交. 本题考查直线系方程的应用,考查直线与椭圆的位置关系的判定,是基础题. 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解:由题意方程可化为或, 即或. 方程表示的曲线是两条射线. 故选:D. 将方程等价变形,即可得出结论. 本题考查曲线与方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线,进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系,进而利用求得a和c的关系,则双曲线的离心率可求. 本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考查了学生数形结合的思想的运用. 【解答】 解:双曲线渐近线为与圆没有公共点, 圆心到渐近线的距离大于半径,即 ,, . 故选A. 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的简单性质的应用,轨迹方程的求法,考查计算能力,属于基础题. 直线与椭圆联立方程组,通过判别式大于0,求解m的范围;设出A,B坐标,利用韦达定理,转化求解M的轨迹方程即可. 【解答】 解:由,得:; 设,, 可得, 可得. 设弦AB的中点为, 可得, 可得, 故选:D. 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解:直线AB的方程为:. 点关于x轴的对称点, 设点关于直线AB的对称点,则,, 联立解得,. , 光线所经过的路程. 故选:D ‎. 直线AB的方程为:点关于x轴的对称点,设点关于直线AB的对称点,可得,, 联立解得a,可得光线所经过的路程 本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、光线反射的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解:由椭圆方程可知:,, 由双曲线性质可得:,故, 不妨设P在第一象限, 由椭圆定义可知:, 由双曲线的定义可知:, ,,又, . 故选:A. 根据焦点坐标得出双曲线方程,求出的边长,利用余弦定理计算的值. 本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质,余弦定理,属于中档题. 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解:当为奇函数,当时,, 当时,, 为偶函数,当时,, 当时,, 分别画出黑色所示,的图象红色所示 对任意实数a,不等式恒成立, 结合图象可得b的范围为 故选:B. 分别求函数,的解析式,并画出图象,结合图象可得b的范围. 本题考查了函数的奇偶性和函数图象的画法和函数图象的应用,属于中档题. 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查弦长公式,面积公式的应用,考查换元法与设而不求法的运用,属于中档题.  先计算斜率为0时对应的四边形的面积,再设斜率为k,利用弦长公式计算,,得出四边形的面积关于k的函数,利用换元法求出面积的最小值得出结论.【解答】 解:椭圆的左焦点为. 当直线斜率为0时,直线的方程为, 或当直线斜率为0时,直线的方程为, 把代入椭圆方程得, 四边形ADBE 的面积为. 当直线有斜率且斜率不为0时,设直线的方程为, 直线的方程为. 联立方程组,消元得:, 设,,则,, , 用替换k可得, 四边形ADBE的面积为, 令,则, 当即时,S取得最小值. 综上,四边形ABDE的面积的最小值为. 故选C. 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解:设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为, 把点P坐标代入可得:,解得. 要求的直线方程为:, 故答案为:, 设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,把点P坐标代入可得:,解得m. 本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 14.【答案】5 ‎ ‎【解析】解:点是抛物线C:上一点, 可得,解得, 由抛物线的定义可得:. 所以. 故答案为:5. 求出P的坐标,利用抛物线的定义,转化求解即可. 本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查. 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解:为锐角, . 又, , , 故答案为: 同角三角函数的基本关系取得,再利用二倍角公式求得的值. 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于中档题. 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解:设, 由题意可知,, 由,可得, ,,, , , , , 为钝角, , , 解可得, 故答案为: 设,结合向量加法的几何意义可表示,从而可得,然后结合,及向量数量积的运算及行政科求 ,由A为钝角,可知,解不等式可求 本题主要考查了平面向量加法,减法的几何意义,共线定理及向量数量积的运算性质,数量积的运算公式及分离常数求解变量范围,属于知识的综合应用. 17.【答案】本题满分为12分 解:Ⅰ与共线, 分 解得:, ,, 解得   分 Ⅱ由已知 根据余弦定理可得:,分 联立解得:,, 解得:,, 所以为等边三角形,分 ‎ ‎【解析】Ⅰ由向量与共线,可得,解得,结合范围,可求C的值. Ⅱ由已知 根据余弦定理可得,,解得:,,可得为等边三角形. 本题主要考查了平面向量数量积的运算,考查了正弦定理,余弦定理,三角形内角和定理在解三角形中的应用,熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键,属于基本知识的考查. 18.【答案】解:由两圆方程相减即得方程为,此为公共弦AB所在的直线方程; 圆心,半径; 到直线AB的距离为, 公共弦长; 在直线AB上取点P,过P作圆的切线为切点,使得, 则圆的标准方程为,则圆心,半径, ,, , 设, 则, 则,即, 得或, 此时点P的坐标为或. ‎ ‎【解析】利用两圆方程作差得到公共弦方程,结合弦长公式进行计算即可. 求出圆的标准方程,利用切线长公式建立方程进行求解即可. 本题主要考查圆与圆关系的应用,以及公共弦,切线长公式的应用,求出圆的标准方程,以及建立方程关系是解决本题的关键. 19.‎ ‎【答案】解:由题得,所以,,又,所以,,, 因为的周长为, 所以, 又因为, 得, 即,解得,, 所以曲线C的方程为:. 设与直线平行且与C相切的直线方程为, 由得,则,解得. 因为,所以当时d取最小值为 ‎ ‎【解析】根据题意可得,,根据周长可得,结合,求得解得,,所以曲线C的方程为:. 求出与l平行且与C相切的直线,利用平行直线间距离公式可得最小值. 本题考查双曲线标准表达式求法,点到直线距离求法等,属于中档题. 20.【答案】解:由,,成等差数列,得, 即, 又, ,即, 联立,解得,. . 椭圆L的方程为; 取,得,, 直线,的倾斜角互补,直线,的斜率互为相反数. 可设直线AB的方程为:,代入椭圆方程,得, 设,,点在椭圆上, ,, , 又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数,在上式中以代替k,可得, , 直线BC的斜率. 故直线BC的斜率为,是定值. ‎ ‎【解析】由已知,,成等差数列,,由结合焦半径公式可得,进一步求得,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求; 由求得A点坐标,设直线AB的方程为:,与椭圆方程联立求得B的坐标,同理求解C的坐标,再由斜率公式可得直线BC的斜率为,是定值. 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线经过定点问题、椭圆的标准方程及其性质、考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21.【答案】解:设,; 由有:; 又点P在椭圆C上,则,即; 所以点Q的轨迹方程:; 设,,由有; 有:; 则,; 又直线l与椭圆 有公共点; 所以  有: ,即; 设 ‎ ‎; 当时,即 时,有最大值4; 故S有最大值12. ‎ ‎【解析】由条件用Q点坐标表示出P点坐标,再代入椭圆方程得到Q点的轨迹方程; 由Q的轨迹与直线l有交点,求出k,m的不等关系,由有,求出的表达式,用k,m的不等关系来求其最大值. 本题考查轨迹方程的求法,多边形的面积,直线与椭圆的位置关系,考查了相关点法求轨迹,转化的思想,属于难题. ‎
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