2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

第 2 课时　指数函数的图象和性质的应用 关键能力 · 合作学习 类型一　定区间上的值域问题 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 函数 f(x)= 在区间 [-2 ， 2] 上的最小值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.-4 D.4 2. 若 ，则函数 y=2 x 的值域是 ( 　　 ) D.[2 ， +∞) 3. 已知函数 f(x)=a x (a>0 ， a≠1) 在区间 [-1 ， 1] 上的最大值与最小值的差是 ，则实数 a 的值为 _______.  【 解析 】 1. 选 B. 函数 f(x)= 在定义域 R 上单调递减，所以 f(x) 在区间 [-2 ， 2] 上的最小值为 f(2)= 2. 选 B. 因为 ，所以 ≤ 2 -2x+4 ， 所以 x 2 +1≤-2x+4 ，解得 -3≤x≤1 ， 所以函数 y=2 x 的值域为 [2 -3 ， 2] ，即 . 3. 当 a>1 时， a- 得 a=3. 当 01 ， 00 ， a≠1) 在 x∈[1 ， 2] 上的最大值和最小 值的和是 3a ，则实数 a 的值是 _______.  【 解析 】 函数 f(x)=a x (a>0 ， a≠1) 在 x∈[1 ， 2] 上的最大值和最小值的和是 3a ，则和为 f(1)+f(2)=a+a 2 =3a ，解得 a=2 或 0( 舍去 ). 答案： 2 类型二　指数函数图象和性质的综合应用 ( 数学运算、逻辑推理 ) 【 典例 】 已知定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数， (1) 判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性 . (2) 若对任意的 t∈R ，不等式 f(t 2 -2t)+f(2t 2 -k)<0 恒成立，求实数 k 的取值范围 . 四步 内容 理解 题意 条件：函数 f(x)= 是奇函数 结论： (1) 判断并证明单调性； (2) 不等式 f(t 2 -2t)+f(2t 2 -k)<0 恒成立，求 k 的取值范围 . 思路 探求 (1) 单调性的定义⇒函数的单调性； (2) 函数是奇函数、单调性⇒转化不等式⇒求 k 的范围 . 四步 内容 题后 反思 函数性质的应用是解题的核心 , 不能盲目代入关于 t 的式子去解不等式 . 【 解题策略 】 函数性质的综合应用 (1) 解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解 . 如本题中奇偶性，单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题 . (2) 一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解 . 恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解 . 【 跟踪训练 】 设 a>0 ，函数 f(x)= 是定义域为 R 的偶函数 . (1) 求实数 a 的值 . (2) 求 f(x) 在 [1 ， 3] 上的值域 . 【 解析 】 (1) 由 f(x)=f(-x) ，得 ， 即 4 x =0 ， 所以 =0 ，根据题意，可得 -a=0 ， 又 a>0 ，所以 a=1. (2) 由 (1) 可知 f(x)=4 x + ， 设任意的 x 1 ， x 2 ∈(0 ， + ∞ ) ，且 x 1 0 ，所以 >1 ， 所以 >0 ， 所以 f(x 1 )-f(x 2 )<0 ，即 f(x 1 )0 ， a≠1) ，满足 f(1)= ， 则 f(x) 的单调递减区间是 ( 　　 ) A.(-∞ ， 2] B.[2 ， +∞) C.[-2 ， +∞) D.(-∞ ， -2] 【 解析 】 选 B. 由 f(1)= ，得 a 2 = ，于是 a= ， 因此 f(x)= . 因为 g(x)=|2x-4| 在 [2 ， + ∞ ) 上单调递增， 所以 f(x) 的单调递减区间是 [2 ， + ∞ ). 课堂检测 · 素养达标 1. 函数 f(x)=( ) x 在区间 [1 ， 2] 上的最大值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.3 D.2 【 解析 】 选 C. 由题意可知函数 f(x) 是递增函数，所以当 x=2 时， 函数 f(x) 取得最大值为 3. 2. 指数函数 f(x)=a x (a>0 ， a≠1) ，在 R 上是减函数，则函数 g(x)=(a-2)x 3 在 R 上 的单调性为 ( 　　 ) A. 单调递增 B. 在 (0 ， +∞) 上递减，在 (-∞ ， 0) 上递增 C. 单调递减 D. 在 (0 ， +∞) 上递增，在 (-∞ ， 0) 上递减 【 解析 】 选 C. 因为指数函数 f(x)=a x 在 R 上是减函数，所以 00 且 a≠1) 在 (0 ， 2) 内的值域是 (1 ， a 2 ) ，则函数 y=f(x) 的图象大致是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 函数在 (0 ， 2) 内的值域是 (1 ， a 2 ) ， 则由于指数函数是单调函数，则有 a>1 ， 由底数大于 1 指数函数的图象上升，且在 x 轴上面，可知 B 正确 . 4.( 教材二次开发：习题改编 ) 函数 f(x)= 的单调减区间是 _______.  【 解析 】 因为 f(x)= = 所以函数的单调减区间为 (- ∞ ， -1). 答案： (- ∞ ， -1) 5. 若函数 f(x)=2 x 的值域是 [4 ， +∞) ，则实数 x 的取值范围为 _______.  【 解析 】 函数 f(x)=2 x 在定义域内为增函数， 所以 2 x ≥4 ，所以 x≥2. 所以实数 x 的取值范围为 [2 ， + ∞ ). 答案： [2 ， + ∞ )