数学卷·2018届北京市海淀区清华附永丰学校高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

数学卷·2018届北京市海淀区清华附永丰学校高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

高二第一学期期中练习 数学 一、选择题：（每小题4分，共32分）‎ ‎1. 直线的倾斜角为（ ）．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线，‎ 倾斜角满足，‎ ‎∴．故选．‎ ‎2. 若直线与直线垂直，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线与直线垂直，‎ ‎∴，‎ 解得．故选A．‎ ‎3. 下列结论中正确的是（ ）．‎ A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 与某一平面成等角的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一直线的两条直线平行 ‎【答案】C ‎【解析】项，平行于同一平面的两条直线可能相交、平行、异面，错误；‎ 项，与某一平面成等角的两条直线可能平行、相交，错误；‎ 项，垂直于同一平面的两条直线平行，正确；‎ 项，垂直于同一直线的两条直线平行也可能，错误；‎ 故选．‎ ‎4. 若，是异面直线，直线，则与的位置关系是（ ）．‎ A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】，是异面直线，直线，‎ 则可能与直线平行，也可能相异面，故选．‎ ‎5. 若、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论中正确的是（ ）．‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】项，直线与可能平行，也可能异面， 错误；‎ 项，直线可能在平面内，错误；‎ 项，正确．故选．‎ ‎6. 正方体的内切球与外接球的球面面积的比是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正方体棱长为，‎ 其内切球半径其内切球半径，外切球半径，‎ ‎∴内切球与外切球表面积之比为．‎ 故选．‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎ ‎ ‎7. 棱长为正四面体的体积是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】棱长为正四面体的体积，‎ 高，‎ ‎∴体积．故选．‎ ‎8. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①与平行；②与是异面直线；‎ ‎③与成角；④与是异面直线．‎ 以上四个结论中，正确的序号是（ ）．‎ A. ③④ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，画出题目中的正方体，‎ 由图可知①与是异面直线，错误；‎ ‎②，错误；‎ ‎③与成角，正确；‎ ‎④与是异面直线，正确；‎ 正确的选项为③④．故选．‎ 点睛：‎ 先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系 二、填空题（每小题4分，共24分）‎ ‎9. 坐标原点到直线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线可化成，‎ 坐标原点到直线的距离．‎ ‎10. 若直线与直线平行，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两条直线平行，则有，∴，‎ 当时，两直线分别为和，符合题意，‎ 当时，两直线分别为和，两直线重合，舍去，‎ 综上，．‎ ‎11. 如图三角形为某平面图形用斜二测画法画出直观图，则其原来平面图形的面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原来平面图形是直角边分别为、的直角三角形，‎ ‎∴．‎ ‎12. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等边三角形边长为，则，‎ ‎∴，即圆锥底面的圆半径为，‎ 圆锥的高，母线长为，‎ 侧面积．‎ ‎13. 已知一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由侧视图知，正三棱柱表面的正三角形长为，‎ 设三棱柱高为，‎ ‎，解得，‎ ‎∴左视图面积．‎ 点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎14. 如图，在透明材料制成的长方体容器内灌注一些水，固定容器底面一边于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列结论：‎ ‎（）水的部分始终呈棱柱形；‎ ‎（）水面四边形的面积不会改变；‎ ‎（）棱始终与水面平行；‎ ‎（）当容器倾斜如图所示时，是定值．‎ 其中所有正确结论的序号是__________．‎ ‎【答案】（）（）（）‎ ‎【解析】（）正确．‎ ‎（）错误，随着水量的不同的面积会随之改变．‎ ‎（）正确，平面，‎ 在棱柱中，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）正确，水量不变时，即棱柱体积是定值，‎ 该棱柱的高不变，‎ ‎，‎ ‎∴是定值．‎ 点睛:运用等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法不仅可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，而且通过建立等量关系研究函数变化规律 三、解答题（共4个小题，共44分）‎ ‎15. 在平面直角系中，已知两点，，直线关于直线对称．‎ ‎（）求直线的方程．‎ ‎（）圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线为线段AB中垂线，根据AB斜率的负倒数得直线，直线过AB中点，所以根据点斜式可得直线方程（2）由题意可得圆心坐标为，即得半径为1，因此可写成圆的标准方程 ‎（），，‎ 中点即，‎ ‎∵的斜率，‎ ‎∴直线的斜率，‎ ‎∴的方程，‎ 整理得．‎ ‎（）圆心，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的方程为．‎ ‎16. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点．‎ 求证：（）．‎ ‎（）平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由直棱柱性质得，再由已知条件根据线面垂直判定定理得（2）设与相交于点，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论 ‎（）证明：在直三棱柱中，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴．‎ ‎（）设与相交于点，‎ 连接，‎ ‎∵、分别是、中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎17. 如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．‎ ‎（）证明：平面．‎ ‎（）求三棱锥的体积．‎ ‎（）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由主视图可知D为PC中点，‎ ‎（2）‎ ‎（3）设的角平分线交AB于M，连DM，CM并延长CM至，使得,连接 分别是的中点，‎ 又为AB、CQ中点 ‎∴四边形ACBQ为正方形 考点：空间中的点线面位置关系以及体积 点评：解决的关键是对于线面垂直的判定定理和性质定理的运用，属于基础题。‎ ‎18. 圆与轴交于、两点（点在点的左侧），、是分别过、点的圆的切线，过此圆上的另一个点（点是圆上任一不与、重合的动点）作此圆的切线，分别交、于、两点，且、两直线交于点．‎ ‎（）设切点坐标为，求证：切线的方程为．‎ ‎（）设点坐标为，试写出与的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据点斜式写出切线的方程,再利用,化简可得．（2）先求出C,D坐标,再根据两点式写出AD,BC方程,联立方程组解得点M坐标,最后根据,得与的关系表达式 ‎（）∵圆心切点，‎ 圆心与切点所成直线斜率，‎ ‎∴切线斜率，‎ 又∵切线过，‎ ‎∴切线方程为，‎ 整理得，‎ 即切线方程为．‎ ‎（）∵过点的切线为，‎ 当时，，当时，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 联立与，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 所以，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎ ‎ ‎ ‎