2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编八大提分笔记-6解析几何
六、解析几何
1直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的范围为[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.
特别提醒：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法不正确.
2求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
3直线的方程
(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．
(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．
(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．
4两直线的平行与垂直
(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
特别提醒：(1)＝≠、≠、＝＝仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．
5点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
6圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为，半径为的圆．
7直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d
r⇔相离；d＝r⇔相切．
(2)圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|>r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|<|O1O2|b>0)；焦点在y轴上，＋＝1(a>b>0)．
(2)双曲线的标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a>0，b>0)；焦点在y轴上，
－＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0)．
(4)抛物线的标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)；
焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．
10(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝或|P1P2|＝.
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋；②弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2.
11注意求轨迹方程与求轨迹的区别：轨迹是图形要有定型、定位、定量条件，轨迹方程是方程，注意其约束条件．
直线的倾斜角与斜率关系不清致误
已知直线xsinα＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________．
[错解] 由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，
∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是.
[错因分析] 直线斜率k＝tanβ(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．
[正解] 由题意得，直线xsinα＋y＝0直线的斜率k＝－sinα，
∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k<0时，倾斜角的变化范围是；当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪.
[答案] ∪
[防范措施] 由直线的斜率求倾斜角的范围问题，一般是：先求出直线的斜率，再利用三角函数的单调性，借助正切函数在[0，π)上的图象，数形结合确定倾斜角的范围．在这里要特别注意，正切函数在[0，π)上的图象并不是单调函数，这一点是最容易被忽略而致错的．反过来，已知直线的倾斜角的范围求其斜率范围的问题，也同样要注意这一点，即当α∈时，k∈[0，＋∞)，斜率随着倾斜角的增大而在正数集内增大；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，k∈(－∞，0)，斜率随着倾斜角的增大而在负数集内增大．
补救训练1 已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
答案
解析 设曲线在点P处的切线斜率为k，
则k＝y′＝＝
因为ex>0，所以由基本不等式，
得k≥(当且仅当x＝0时，等号成立)
又k<0，所以－1≤k<0，
即－1≤tanα<0.所以≤α<π.
对直线的方程讨论不全致误
a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？
[错解] (1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－x＋与y＝x－，
∴当－＝且≠－时，即a＝时，两直线平行．
(2)当－＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a为何值时，两直线都不垂直．
[错因分析] (1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4斜率为0也符合要求这种情况．
[正解] (1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2.
②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，
直线l1的斜率为k1＝－，
直线l2的斜率为k2＝，
要使两直线平行，必须解得a＝.
综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．
(2)解法一：①当a＝0时，直线l3的斜率不存在，直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时l3⊥l4.
②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，
即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立．
综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．
解法二：要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直．
[防范措施] (1)将直线变为斜截式时，未考虑分母等于零的情况；(2)在求两直线的斜率时未考虑斜率不存在的情形，两直线平行的条件为k1＝k2，b1≠b2，垂直的条件k1·k2＝－1，都是在两直线都有斜率，即方程中y的系数均不为0的条件下才成立，若方程中y的系数中含字母参数时，则应就等于0和不等于0两种情况去讨论，否则就会遗漏特殊情况．
求直线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对直线的斜率存在还是不存在进行讨论，这是避免出错的重要方法．
补救训练2 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点(3,5)且与圆C相切的切线方程为________．
答案 5x－12y＋45＝0或x＝3
解析 由于点(3,5)到圆心的距离为＝>2＝r得到点(3,5)在圆外，所以过点(3,5)的切线应有2条．当切线的斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－3)，由圆心到切线的距离d＝＝2，化简得12k＝5，可解得k＝，所以切线方程为5x－12y＋45＝0.当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，与圆相切．综上可知切线方程为5x－12y＋45＝0或x＝3.
忽视圆的一般方程中隐含条件致误
已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．
[错解] 将圆C的方程配方有
2＋(y＋1)2＝.
∴圆心C的坐标为，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可以作圆的两条切线，
∴|AC|>r，即 >，
化简得a2＋a＋9>0，Δ＝1－4×9＝－35<0.
∴a∈R.
[错因分析] 忽视了x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件．
[正解] 由题意知
解得－0.本题的失分原因是忽视了这个条件.在解决此类问题时，可以直接判断D2＋E2－4F>0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2.
补救训练3 已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则实数a＝________.
答案 －1
解析 由题意，得点P(2,1)一定在圆C上，且方程x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0表示一个圆，
所以
∴∴a＝－1.
焦点位置考虑不全致误
已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
[错解] 由已知a2＝4即a＝2，又＝，得
c＝，故m＝b2＝a2－c2＝1.
[错因分析] 对焦点位置没有分情况讨论，误认为焦点在x轴上造成漏解．
[正解] ①当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，
得a2＝4，即a＝2.又e＝＝，
所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.
则由方程，得b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故＝.
解得＝，即a＝2b，
所以a＝4.故m＝a2＝16.
综上，m＝1或16.
[答案] 1或16
[防范措施] 在圆锥曲线方程问题中，当焦点位置不明确时要注意依焦点所在位置进行分情况讨论，以免造成漏解.
补救训练4 [2016·南昌一模]以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为( )
A．2或 B．2或
C. D．2
答案 B
解析 ①当双曲线的焦点在x轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以b＝a，c＝＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝＝2；
②当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以a＝b，c＝＝2b，故双曲线C的离心率e＝＝＝.
综上所述，双曲线C的离心率为2或.
忽视特殊情况(位置)致误
双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
[错解] 如图，设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ<π)，由条件得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cosθ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝＝＝.
又－10)，
所以＝1，解得p＝2，所以曲线Γ的方程为y2＝4x.
(2)·为定值0.证明如下：
①当过点F的直线l与x轴垂直时，则直线l的方程为x＝1，
根据抛物线的对称性，知点P在x轴上，
所以PF⊥AB，所以·＝0.
②当过点F的直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝k(x－1)，k≠0，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xP，yP)，不妨设y1>0，y2<0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，
由y2＝4x(y>0)，得y＝2，y′＝，所以过点A的切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝＋；
由y2＝4x(y<0)，得y＝－2，y′＝－，所以过点B的切线PB的方程为y－y2＝－(x－x2)，即y＝－－；
由得
即P.
所以直线PF的斜率kPF＝＝－，所以kPF·k＝－×k＝－1，所以PF⊥AB.
综上所述，·为定值，且定值为0.
忽视“判别式”致误
已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[错解1] 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y＝k(x－1)＋1.代入双曲线方程x2－＝1，
整理得(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，
设直线与双曲线交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
点A(1,1)是弦中点，则＝1.
∴＝1，解得k＝2.
故所求直线方程为2x－y－1＝0.
[错解2] 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③
因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以
将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝(y1－y2)．
若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2.
所以符合题设条件的直线的方程为2x－y－1＝0.
[错因分析] 没有判断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交．
[正解1] 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y＝k(x－1)＋1.代入双曲线方程x2－＝1，整理得，
(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0.
由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0，
2－k2≠0
解得k<且k≠±.
设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
点A(1,1)是弦中点，则＝1.
∴＝1，解得k＝2>，故不存在被点A(1,1)平分的弦．
[正解2] 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
式①－②得
(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③
因为点A(1,1)为线段PQ的中点，所以
将式④、⑤代入式③得x1－x2＝(y1－y2)．
若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2.
所以直线l的方程为2x－y－1＝0，
再由得2x2－4x＋3＝0.
根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．
[防范措施] 用点差法求直线方程时，只是承认了直线与曲线相交，而事实上，存在不相交的可能，所以在求出直线方程后，应利用判别式判断直线与曲线是否相交.当然，就本题来讲，也可以不用点差法求解.直接设直线的方程，利用待定系数法求解.属于直接用直线与曲线方程联立解方程组问题，当然不论哪种方法都必须用判别式.
补救训练6 已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，右顶点与上顶点分别为A、B.顶点在原点，分别以A、B为焦点的抛物线C1、C2交于点P(不同于O点)，且以BP为直径的圆经过点A.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M、N不同两点，求△OMN面积的最大值和此时直线l的方程．
解 (1)由已知得A(a,0)，B(0,1)，
∴以A为焦点的抛物线C1的方程为y2＝4ax，以B为焦点的抛物线C2的方程为x2＝4y.
由得P(4a，4a)，
又以BP为直径的圆经过点A，
∴⊥，·＝0，(4a－a,4a)·(－a,1)＝0，
即a－4a＋4＝0，得a＝2，a2＝8，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知P(4，8)，kOP＝，∴直线l的斜率kl＝－.
设直线l的方程为y＝－x＋t，
由得5y2－2ty＋t2－4＝0，
则Δ＝4t2－4×5×(t2－4)>0，解得t2<5，
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
由弦长公式得|MN|＝|y2－y1|＝×＝ .
又点O到直线l的距离为d＝＝|t|，
∴S△OMN＝|MN|·d＝××|t|＝×2≤×(t2＋5－t2)＝，当且仅当t2＝5－t2时等号成立，又t2<5，易知当t＝±时，△OMN的面积取得最大值，
此时直线l的方程为y＝－x±.
定点问题意义不明致误
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点．
[错解] 如正解中在得到直线MN方程后，将直线方程化简整理得
kx＋(k2－1)y－3k＝0
故当k＝1时，x＝3；k＝－1时，x＝3，故直线恒过定点(3,0)．
[错因分析] 对直线恒过定点意义不明确．
[正解] 证明：由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设lAB∶y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x，
得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
得xM＝＝，又yM＝k(xM－1)＝，
故M.
因为CD⊥AB，
所以kCD＝－.以－代k，
同理，可得N(2k2＋1，－2k)．
所以直线MN的方程为(y＋2k)＝(x－2k2－1)，
化简整理，得yk2＋(x－3)k－y＝0，该方程对任意k恒成立，故
解得
故不论k为何值，直线MN恒过点(3,0)．
[防范措施]
直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解.本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解.
补救训练7 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ＝.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为－，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．
解 (1)双曲线－＝1的焦距2c＝2，则c＝，
∴a2＋b2＝7，①
渐近线方程为y＝±x，由题知tanθ＝＝，②
由①②解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)在(1)的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，
由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
又A(－2,0)，由题知kAP·kAQ＝·＝－，
则(x1＋2)(x2＋2)＋4y1y2＝0，且x1，x2≠－2，
则x1·x2＋2(x1＋x2)＋4＋4(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋4k2)x1x2＋(2＋4km)(x1＋x2)＋4m2＋4
＝＋(2＋4km)＋4m2＋4＝0，
则m2－km－2k2＝0，
∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k.
当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不适合题意．
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，此时直线PQ
过定点(1,0)．
当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)，P、Q点的坐标分别是、，满足kAP·kAQ＝－.
综上，直线PQ恒过定点(1,0).
忽略变量间的关系致误
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的圆上，求m的取值范围．
[错解] 由已知，得
解之得a2＝3，b2＝1.所以双曲线方程为－y2＝1.
将直线y＝kx＋m代入双曲线方程，并整理得
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
所以Δ＝12(m2＋1－3k2)>0. ①
设CD中点为P(x0，y0)，则AP⊥CD，
且易知：x0＝，y0＝.
所以kAP＝＝－⇒3k2＝4m＋1.②
将式②代入式①，得m2－4m>0，解得m>4或m<0.
故所求m的范围是m∈(－∞，0)∪(4，＋∞)．
[错因分析] 在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将k2＝代入式①时，m受k的制约．
[正解] 由已知，有
解之得a2＝3，b2＝1. 所以双曲线方程为－y2＝1.
将直线y＝kx＋m代入双曲线方程，
并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
所以Δ＝12(m2＋1－3k2)>0.①
设CD中点为P(x0，y0)，则AP⊥CD，
且易知：x0＝，y0＝.
所以kAP＝＝－.
∴3k2＝4m＋1.②
将式②代入式①，得m2－4m>0，解得m>4或m<0.
因为k2>0，所以m>－.
故所求m的范围应为∪(4，＋∞)．
[防范措施] 由于直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何问题，往往会用到图形的一些平面几何性质，如本题，CD是圆的弦，圆心与弦中点的连线垂直于弦，垂直关系可以较方便地利用斜率互为负倒数而表示出来，解析几何不等的关系通常由判别式大于、等于0而得到.通过圆心与弦中点的连线垂直于弦，建立k与m两变量间的关系是关键，若不考虑Δ>0或k与m两变量之间的制约关系，则会出现解答不全，导致错误.
补救训练8 [2016·洛阳高三统考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
解 (1)由题意得c＝1，又e＝＝，所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.
因为x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由kOA·kOB＝－＝－得y1y2＝－x1x2，
即＝－·，化简得2m2－4k2＝3，满足Δ>0.
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝.
又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝，
所以S△AOB＝·d·|AB|＝ ·＝ ＝＝＝，
故△AOB的面积为定值.
