【数学】2019届一轮复习人教A版（文）选修4-5第一节绝对值不等式学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版（文）选修4-5第一节绝对值不等式学案

第一节绝对值不等式 ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值不等式|x|a的解法：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎1．设a，b为满足ab<0的实数，那么(　　)‎ A．|a＋b|>|a－b|　　　　　B．|a＋b|<|a－b|‎ C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|‎ 解析：选B　∵ab<0，‎ ‎∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.‎ ‎2．若不等式|kx－4|≤2的解集为，则实数k＝________.‎ 解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.‎ ‎∵不等式的解集为，∴k＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．‎ 解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，‎ 所以所求函数的最小值为8.‎ 答案：8‎ ‎4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．‎ 解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ 当－11恒成立．‎ 所以不等式的解集为.‎ 答案： 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 绝对值不等式的解法是每年高考的重点，既单独考查，也与函数的图象、含参问题等的综合考查，难度较小，属于低档题.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ 解：(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ ‎2．解下列不等式．‎ ‎(1)|2x＋1|－2|x－1|>0；‎ ‎(2)|x＋3|－|2x－1|<＋1.‎ 解：(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，‎ 两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，‎ 解得x>，‎ 所以原不等式的解集为.‎ 法二：原不等式等价于 或或 解得x>，所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)①当x<－3时，‎ 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，‎ 解得x<10，∴x<－3.‎ ‎②当－3≤x≤时，‎ 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，‎ 解得x<－，∴－3≤x<－.‎ ‎③当x>时，‎ 原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<＋1，‎ 解得x>2，∴x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎[怎样快解·准解]‎ 绝对值不等式的常见3解法 ‎(1)零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：‎ ‎①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；‎ ‎②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；‎ ‎③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；‎ ‎④这些解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(3)数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎ ‎[易错提醒]　用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．‎ 　　　　 ‎[典题领悟]‎ ‎1．若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．‎ 解：因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|‎ ‎≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，‎ 所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.‎ ‎2．若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.‎ 证明：因为|x－1＋a|＋|x－a|‎ ‎≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|‎2a－1|，‎ 又a≥2，故|‎2a－1|≥3，‎ 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．‎ ‎[解题师说]‎ 证明绝对值不等式的3种主要方法 ‎(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明．‎ ‎(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ ‎(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．‎ ‎[冲关演练]‎ 已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.‎ 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.‎ ‎∴由绝对值不等式的性质，得 ‎|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|‎ ‎＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.‎ 即|x＋5y|≤1成立．‎ 　　　　 绝对值不等式的综合应用是每年高考的热点，主要涉及绝对值不等式的解法、恒成立问题，难度适中，属于中档题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝ 当x＜－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，‎ 当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎[解题师说]‎ 设函数f(x)中含有绝对值，则 ‎(1)f(x)>a有解⇔f(x)max>a.‎ ‎(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.‎ ‎(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.　①‎ 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ 当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，‎ 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ ‎2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，‎ 即＋≥.‎ 又min＝，‎ 所以≥，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎1．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)解不等式f(x)≤5.‎ 解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，‎ 从而解得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝ 故当x≤2时，由－2x＋6≤5，得≤x≤2，‎ 当24时，由2x－6≤5，得40，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1.‎ ‎(1)证明：‎2a＋b＝2；‎ ‎(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ 解：(1)证明：因为－a<，所以f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝显然f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝a＋，所以a＋＝1，即‎2a＋b＝2.‎ ‎(2)因为a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立，‎ ＝＋＝(‎2a＋b)‎ ‎＝≥＝.‎ 当且仅当a＝b＝时，取得最小值，‎ 所以t≤，即实数t的最大值为.‎ ‎7．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，‎ 解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(‎2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ 所以△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎8．已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，‎ 即|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ 当x<－时，不等式化为－3x－2－x＋1<4，‎ 解得－1时，不等式化为3x＋2＋x－1<4，无解．‎ 综上所述，原不等式的解集为.‎ ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，‎ 当且仅当m＝n＝时等号成立．‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝‎ ‎∴x＝－时，g(x)max＝＋a，‎ 要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，‎ 解得0
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