河北省衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（文）试卷

河北省衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（文）试卷

河北衡水金卷2018—2019年度高三第三次联合质量测评 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎2.已知全集，集合 为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.‎ ‎【详解】因为，所以或.‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.‎ ‎3.若命题p为：为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.‎ ‎【详解】根据的构成方法得，为.故选C.‎ ‎【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米‎3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A. 14 B. ‎16 C. 18 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.‎ ‎【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎5.若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的长为，由以AC为直径的圆的面积不超过 ‎，可得x的范围，根据长度比即可得到结果.‎ ‎【详解】设的长为，因为以为直径的圆的面积不超过，‎ 所以，解得。‎ 根据几何概率的计算公式得，以AC为直径的圆的面积不超过的概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据圆的面积关系求出圆半径的取值范围是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎6.已知定义在R上的函数满足：(1) (2)当，则有 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件分别求出的值即可.‎ ‎【详解】由条件可知，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎,‎ 所以.故选B ‎【点睛】本题考查函数值大小的比较，解题关键充分利用条件把自变量转化到区间上，属于基础题.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，其中点分别是几何体上下底面的一组对应顶点，打点器从P点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱, 将直三棱柱的侧面展开,把折线问题转化为直线问题即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱（如图一），，，，；，现将直三棱柱的侧面展开（如图二），则轨迹线的最短长度即为，在展开图中易知,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．‎ ‎8.已知向量的夹角为，则的值为 A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两种方式计算数量积，建立等量关系，从而解得的值.‎ ‎【详解】因为 ‎，‎ 所以，即为，‎ 即，得（含去）或.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义和坐标公式，待定系数法求出x的值．‎ ‎9.已知双曲线的左，右焦点分别为过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易知为等腰直角三角形，又点为的中点，故OP⊥，从而可得，结合面积即可得到双曲线E的方程.‎ ‎【详解】由题可知，双曲线的渐近线方程为，‎ 由于直线的斜率为，所以（为坐标原点），‎ 所以为等腰直角三角形，‎ 因为点为的中点，所以，即双曲线为等轴双曲线，‎ 因为的面积为，‎ 所以，所以，‎ 所以所求的双曲线方程为.故选A ‎【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，充分利用题目当中的平面几何性质推得渐近线互相垂直是解题的关键.‎ ‎10.在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,由题意可知平面，故为直线与平面所成的角，又，可得的取值区间.‎ ‎【详解】设.连接.‎ 在长方体中，因为，‎ 所以平面，‎ 所以为直线与平面所成的角，‎ 因为，‎ 所以的取值区间为.故选B.‎ ‎【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.‎ ‎11.椭圆与抛物线相交于点M，N，过点的直线与抛物线E相切于M，N点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点的直线方程为，由直线与抛物线相切，可得，又四边形为平行四边形，所以，从而得到a=3，结合交点在椭圆上，得到c值，从而得到椭圆的离心率.‎ ‎【详解】设过点的直线方程为，‎ 联立方程组，‎ 因为直线与抛物线相切，所以，‎ 所以切线方程分别为或.‎ 此时，或，，即切点或.‎ 又椭圆的右顶点，因为四边形为平行四边形，所以，‎ 即得.又交点在椭圆上，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以离心率为.故选B.‎ ‎【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎（1）求得的值，直接代入公式求解；‎ ‎（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．‎ ‎12.已知函数对恒成立，且为函数的一个零点，将函数的图象向右平移个单位得函数的图象，则方程的解的个数为 A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意明确函数的表达式，经平移变换得到，作出函数 的图象，数形结合即可得到交点的个数.‎ ‎【详解】由于对恒成立，‎ 所以，所以①.‎ 又由为函数的一个零点，可知，‎ 所以②.‎ 由①一②并化简，得，因为，且.‎ 所以当时，符合条件。‎ 此时由符合条件，‎ 所以.‎ 将其向右平移个单位，得，‎ 所以，‎ 作出函数的图象，因为当时，，‎ 所以在两图象无交点，又因为的周期为，而，‎ 所以数形结合易知两图象有4个交点（如图），‎ 所以方程的解的个数为4个.故选A.‎ ‎【点睛】函数零点的求解与判断 ‎(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 二．埴空题：本大题其4小题，每小题5分。‎ ‎13.若实数满足约束条件的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】作出如图所示的可行域，则直线经过点A（-1，0）时取得最小值为-3.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且有 ___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和正弦公式及条件 可得，结合正弦定理可得，从而得到结果.‎ ‎【详解】由.‎ 得 所以，即，‎ 又由正弦定理可知，‎ 所以，‎ 从而，‎ 又因为，所以。‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，两角和正弦公式及同角基本关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，点C为(2，5)，则过点A，B，C的圆的标准方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过三点的圆的方程可设为，利用待定系数法即可得到所求圆的方程.‎ ‎【详解】椭圆的右顶点为，上顶点为，‎ 所以过三点的圆的方程可设为.‎ 所以 ‎ 所以圆的方程为.‎ 标准方程为 ‎【点睛】本题考查圆的一般方程的求法，考查了待定系数法，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎16.定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由构建新函数，借助其单调性解抽象不等式即可.‎ ‎【详解】由，令，则，所以为奇函数.因为当时，成立，所以当时，成立，所以在上单调递增，所以在R上单调递增.因为，‎ 即为，‎ 所以，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，解题关键结合条件合理构造新函数，借助新函数的单调性解抽象不等式，属于难题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.已知正项等比数列满足．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，已知数列的前n项和为，试证明：恒成立．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设等比数列的首项为，公比为，由题意构建基本量的方程即可得到数列的通项公式；（2），利用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，‎ 由 得，‎ 解得，‎ 所以数列是以为首项.为公比的等比数列，其通项公式为 ‎（2）由（1）知，，所以，‎ 所以 所以.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：‎ ‎(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎18.随着经济的发展，个人收入的提高．自‎2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ ‎(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于的函数表达式；‎ ‎(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；‎ ‎(3)小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法得到调整前后y关于的函数表达式；‎ ‎（2）利用分层抽样明确各层所占人数，利用古典概型公式计算即可；‎ ‎（3）按调整前起征点应纳个税为295元，调整后起征点应纳个税为75元，从而作出判断.‎ ‎【详解】（1）调整前y关于x的表达式为 ‎.‎ 调整后y关于x的表达式为 ‎，‎ ‎（2）由频数分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，分别记为A，B，C，[5000，7000）中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，共21种情况，‎ 其中不在同一收入人群的有：Al，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，共12种，所以所求概率为.‎ ‎（3）由于小李的工资、薪金等收入为7500元，‎ 按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；‎ 按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元，‎ 比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。‎ ‎【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.‎ ‎19.如图所示，在直三棱柱，其中P为棱上的任意一点，设平面PAB与平面的交线为QR．‎ ‎(1)求证：AB∥QR；‎ ‎(2)若P为棱上的中点，求几何体的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由 可得AB//平面 ，利用线面平行性质定理可得结果；(2)由题意先明确平面，利用割补法求体积:几何体QR-ABC的体积为.‎ ‎【详解】（1）在直三棱柱中，‎ 因为，平面.平面，‎ 所以AB//平面.‎ 因为平面PAB与平面的交线为QR，且平面PAB，‎ 所以AB∥QR. ‎ ‎（2）在侧面中，因为BC=2，，P为棱上的中点，‎ 所以，‎ 所以=∠PBC，所以，‎ 即.‎ 在直三棱柱中，平面ABC，‎ 所以.‎ 因为AB=BC=2，AC=，‎ 所以，所以，‎ 又，所以平面，‎ 所以平面.‎ 因为BC=2，.‎ 所以 又，‎ 所以，‎ 因为，所以。‎ 所以.‎ 所以几何体QR-ABC的体积为 ‎，‎ 法二：在侧面中，因为BC=2，为棱上的中点，‎ 则.‎ 所以有，‎ 所以，‎ 则QR，RP，RC三线相互垂直. ‎ 又.‎ 在△BPC中，由射影定理，可得 在△ABP中，由三角形相似，可得 则.‎ 又.‎ 则 ‎【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：‎ ‎（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；‎ ‎（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；‎ ‎（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.‎ ‎（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.‎ ‎20.已知定点F(1，0)，定直线，动点M到点F的距离与到直线l的距离相等．‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程；‎ ‎(2)设点，过点F作一条斜率大于0的直线交轨迹M于A，B两点，分别连接PA，PB，若直线PA与直线PB不关于x轴对称，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用抛物线定义可知：动点的轨迹为抛物线，从而得到动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线方程可设为代入可得，利用韦达定理表示，即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点在轴上，且.‎ 所以动点的轨迹方程为.‎ ‎（2）过点的直线方程可设为，‎ 联立方程组.‎ 设，‎ 所以 所以 而 ‎，‎ ‎，‎ ‎，2‎ ‎，‎ 当时，，此时直线关于轴对称，‎ 当时，，此时直线不关于轴对称。‎ 所以实数t的取值范围为.‎ ‎【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)证明：函数在区间内有且只有一个零点．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出 得到 ，从而得到切线方程；(2) 在区间内必存在，在上单调递减，在上单调递增，结合零点存在定理即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）当时.‎ 由，‎ 得.‎ 所以斜率，‎ 所以切线方程为.‎ ‎（2）由题可知，函数的定义域为，‎ 由（1）知，‎ ‎.‎ 记，‎ 所以，‎ 易知时，，‎ 所以在区间上单调递增， ‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以在区间内必存在.使， ‎ 所以当时，，即，‎ 所以单调递减；‎ 当时，，即，‎ 所以单调递增，‎ 所以当时，有极小值且为.‎ 因为，‎ 所以 而，‎ 所以在区间内必存在唯一零点，‎ 所以函数在区间内有且只有一个零点.‎ ‎【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．‎ ‎（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。‎ ‎22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 当时，利用消参法得到直线l的普通方程，利用及得到曲线C的直角坐标方程； (2) 将代入中并整理得，借助韦达定理表示，利用正弦函数的有界性求出取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，直线的参数方程为 ‎.‎ 消去参数t得.‎ 由曲线C的极坐标方程为.‎ 得，‎ 将，及代入得，‎ 即 ‎（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，‎ 将代入中并整理得 ‎，‎ 设A，B两点对应的参数分别为，‎ 则 所以 因为，所以，‎ 所以 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．‎ ‎23.设函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)当的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ‎ 求出函数f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；(2)等价于，求出的最值即可.‎ ‎【详解】（1）当a=1时，，‎ 可得的解集为 ‎（2）当时，‎ ‎,‎ 因为， ‎ 所以.‎ 所以，所以.‎ 所以a的取值范围是[-3，-1]‎ ‎【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.‎