河南省信阳高级中学2019届高三3月月考数学（理）试题

河南省信阳高级中学2019届高三3月月考数学（理）试题

信阳高中2020届高二下期三月月考理数试题 命题人： ‎ 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①命题“函数的最小值不为”是假命题；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则， 均为假命题;‎ ‎④若命题： ， ，则： ， ；‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，，若是与的等比中项，则的最小值为：（ ）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎5．若是的一个内角，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）‎ A．720 B．520 C．600 D．264‎ ‎8．函数的部分图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.下图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）‎ A． B．40 C． D．‎ ‎10．已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，连接，若直线，，与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，，点，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）‎ A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有 C．对于任意点都有 D．存在点使得 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______‎ ‎14．曲线与其在点处的切线及直线所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎15.设为数列的前n项和，若 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列是首项为，公差为（）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系式为_________________． ‎ ‎16．若是函数的极值点，则的极小值为 _________ ．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，、b、c且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若边长，求△ABC面积的最大值.‎ ‎18．如图，四边形为梯形， 点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．‎ ‎（1）证明：;‎ ‎（2）求直线与面所成角的正弦值．‎ ‎19．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014～2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：‎ 年份 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 补贴额亿元 ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎8‎ 粮食产量万亿吨 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎21‎ ‎（1）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；‎ ‎（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（Ⅰ）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.‎ ‎（1）求椭圆的方程和点的坐标；‎ ‎（2）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，证明.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修：参数方程与极坐标选讲 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0 ≤ α < π).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ.‎ ‎(1)求直线l与曲线C的平面直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若,求α的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．‎ 信阳高中2020届高二下期三月月考理数试题 参考答案 一．C C B B D A D C D C D C ‎13．135°或者 14.e-2.5 15. ． 16．‎ ‎17． （1）由及正弦定理得，‎ ‎，‎ 即，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴， ∴，‎ 又，∴．‎ ‎（2）在△ABC中，由余弦定理得，‎ 即，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴△ABC面积的最大值为．‎ ‎18．（Ⅰ）连，所以 所以BD=‎ 因为 ∴ ‎ 又 ∴ ‎ 从而 所以 ‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ） ‎ 由，（需要证明过程）如图建系，‎ 则 设平面的法向量为，‎ 由，可取 ， ‎ ‎． ‎ ‎19． （1）由已知数据，可得，‎ ‎.‎ 代入公式，经计算，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴所求关于的线性回归直线方程为.‎ ‎20．（I）设，，‎ 可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，‎ 由题意知，得， ‎ 由，得， ‎ 所以椭圆的方程为， ‎ 点P的坐标为. ‎ ‎（II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，‎ 设l2的方程为，由题意可知，‎ 联立椭圆方程，得， ‎ 设，则，得，‎ 所以； ‎ 由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即 圆心到l1的距离，又圆的半径，‎ 所以，‎ ‎， ‎ 由即，得，‎ ‎ ， ‎ 设，则，，‎ 当且仅当即时，取“＝”，‎ 所以△ABC的面积的取值范围是． ‎ ‎21．（1）当时，，，‎ 当时，；当时，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，. ‎ ‎（2），令，则.‎ ‎①当时，在上，，单调递增，，即，在上为增函数，‎ ‎，当时满足条件. ‎ ‎②当时，令，解得，在上，，单调递减，‎ 当时，有，即 在上为减函数，，不合题意. ‎ 综上，实数的取值范围为. ‎ ‎（3）由（2）得，当，时，，即=，‎ 欲证不等式，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 只需证 ，‎ 设，则.‎ 当时，恒成立，且， 恒成立.‎ 原不等式得证. ‎ ‎22．:(Ⅰ)直线普通方程为 曲线的极坐标方程为,则 ‎ 6分 ‎(Ⅱ),将代入曲线 ‎ ‎ 或 ‎23．（1）不等式等价于或或 解得或或，所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以， 解得． 故实数的取值范围是．‎