2018届二轮复习几何证明选讲课件（全国通用）(1)

2018届二轮复习几何证明选讲课件（全国通用）(1)

考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 相似三角形的判定与性质 . 2. 直线与圆的位置关系 . 1. 理解相似三角形的判定和性质定理，了解三角形的射影定理 . 2. 理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理 . 3. 理解相交弦定理、割线定理、切割线定理 . 4. 理解圆内接四边形的判定与性质定理 . 　　考查相似三角形的判定与性质、射影定理、平行线分线段成比例定理、圆的切线定理、切割线定理、相交弦定理、垂径定理、圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等 . 以圆与三角形为载体，考查圆与三角形的性质、圆的切割线定理及相交弦定理及运算能力、逻辑推理能力等 . 　　预测本部分内容为必考点，高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力 . 与圆的有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点 . 知识点一 相似三角形与比例线段 1. 平行线等分线段定理 (1) 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 . (2) 推论 ① 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 . ② 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 . 2. 平行线分线段成比例定理 (1) 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 . (2) 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 3. 相似三角形 (1) 相似三角形的判定 ① 判定定理 定理 1 ：两角对应相等，两三角形相似 . 定理 2 ：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 . 定理 3 ：三边对应成比例，两三角形相似 . ② 引理：如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 . ③ 直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . (2) 相似三角形的性质 ① 相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比 . ② 相似三角形的面积比等于相似比的平方 . (3) 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 . 知识点二 直线与圆的位置关系 1. 圆周角定理与圆心角定理 (1) 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 . 推论 2 ：半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是直角， 90 ° 的圆周角所对的弦是直径 . (2) 圆心角定理 定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 . 2. 圆的切线 (1) 切线的性质及判定 ① 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 . 推论 1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论 2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . ② 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . (2) 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 . (3) 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 . 3. 圆内接四边形的性质与判定 (1) 性质定理 定理 1 ：圆的内接四边形的对角互补 . 定理 2 ：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 . (2) 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 . 推论：如果四边形的个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 .4. 与圆有关的成比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 内容 相交弦 定理 弦 AB ， CD 相交于圆内点 P (1) PA · PB ＝ PC · PD (2) △ ACP ∽△ DBP (1) 在 PA ， PB ， PC ， PD 四条线段中知三求一 (2) 求弦长及角 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 割线 定理 PAB ， PCD 是 ⊙ O 的割线 (1) PA · PB ＝ PC · PD (2) △ PAD ∽△ PCB (1) 求线段 PA ， PB ， PC ， PD 及 AB ， CD (2) 应用三角形相似求 AD ， BC 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 切割 线定 理 PA 切 ⊙ O 于点 A ， PBC 是 ⊙ O 的割线 (1) PA 2 ＝ PB · PC (2) △ PAB ∽△ PCA (1) 对于线段 PA ， PB ， PC 的长可知二求一　 (2) 求解 AB ， AC 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 方法 1 相似三角形的判定与性质 (1) 已知有一角相等时，可选择判定定理 1 与判定定理 2 ； (2) 已知有两边对应成比例时，可选择判定定理 2 与判定定理 3 ； (3) 判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定 . 【 例 1 】 如图，梯形 ABCD 内接于 ⊙ O ， AD ∥ BC ，过点 C 作 ⊙ O 的切线，交 BD 的延长线于点 P ，交 AD 的延长线 于点 E . (1) 求证： AB 2 ＝ DE · BC ； (2) 若 BD ＝ 9 ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 9 ，求切线 PC 的长 . [ 解题指导 ] 一般地，证明等积式成立时，可先将其转化成比例式，再根据三角形相似证明其成立 . (1) 证明　 ∵ AD ∥ BC ， ∴ AB ＝ CD ， ∠ EDC ＝ ∠ BCD . 又 PC 与 ⊙ O 相切， ∴∠ ECD ＝ ∠ DBC . [ 点评 ] 　判定两个三角形相似的几种方法： ① 两角对应相等 ， 两三角形相似； ② 两边对应成比例且夹角相等 ， 两三角形相似； ③ 三边对应成比例 ， 两三角形相似； ④ 相似三角形的定义 . 方法 2 与圆有关的定理的应用 判定圆的切线的方法以及切线定理的应用 (1) 判定切线通常有三种方法： ① 和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线； ② 到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 . (2) 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理 . 【 例 2 】 如图， AB 是 ⊙ O 的直径， C ， F 为 ⊙ O 上的点， AC 是 ∠ BAF 的平分线， 过点 C 作 CD ⊥ AF 交 AF 的延长线于 D 点， CM ⊥ AB ，垂足为点 M . (1) 求证： DC 是 ⊙ O 的切线； (2) 求证： AM · MB ＝ DF · DA . [ 解题指导 ] 本题主要考查圆的切线定义及切割线定理的应用，解题 (1) 的关键是根据切线的定义证明 OC ⊥ CD ，解题 (2) 的关键是根据割线定理及切割线定理得到等量关系 . 证明　 (1) 如图，连接 OC ， ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ OCA ＝ ∠ OAC . 又 ∵ AC 是 ∠ BAF 的平分线， ∴∠ DAC ＝ ∠ OAC . ∴∠ DAC ＝ ∠ OCA . ∴ AD ∥ OC . 又 CD ⊥ AD ， ∴ OC ⊥ CD ，即 DC 是 ⊙ O 的切线 . (2) ∵ AC 是 ∠ BAF 的平分线， ∠ CDA ＝ ∠ CMA ＝ 90 ° ， AC ＝ AC ， ∴△ ACD ≌△ ACM ， ∴ CD ＝ CM . 由 (1) 知 DC 2 ＝ DF · DA ， 又 CM 2 ＝ AM · MB ， ∴ AM · MB ＝ DF · DA . [ 点评 ] 　涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 ， 常利用圆周角或弦切角证明三角形相似 ， 在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例 ， 在实际应用中 ，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理 . 方法 3 几何证明问题 (1) 如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆 . (2) 如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 . (3) 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 . (4) 如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆 . (5) 相交弦定理的逆定理 . (6) 割线定理的逆定理 . 【 例 3 】 如图， D ， E 分别为 △ ABC 的边 AB ， AC 上的点，且不与 △ ABC 的顶点重合 . 已知 AE 的长为 m ， AC 的长为 n ， AD ， AB 的长 是关于 x 的方程 x 2 － 14 x ＋ mn ＝ 0 的两个根 . (1) 证明： C ， B ， D ， E 四点共圆； (2) 若 ∠ A ＝ 90 ° ，且 m ＝ 4 ， n ＝ 6 ，求 C ， B ， D ， E 所在圆的半径 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [ 解题指导 ] (1) 证明思路为连接 DE ⇒ △ ADE ∽△ ACB ⇒ ∠ ADE ＝ ∠ ACB ⇒ C ， B ， D ， E 四点共圆； (2) 利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径 .