2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版）
2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高二上学期期末联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知点的极坐标为，则它的直角坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由代值计算即可。
【详解】
直接代入公式即得所以它的直角坐标是.
故选C.
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
2．函数y＝x－的导数是( )
A．1－ B．1－
C．1＋ D．1＋
【答案】C
【解析】利用导数的运算法则直接求导即可.
【详解】
,选.
【点睛】
此题求解需熟练运用导数的运算法则.
3．已知双曲线（）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，双曲线（）中，，，选A.
【点睛】本题为解析几何选填题，属于基础题型，要搞清圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，抛物线要注意开口方向、焦点坐标、准线方程，双曲线要注意焦点位置，之间的关系，准确求值.
4．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题是真命题
B．命题“”的否定是“”
C．若为真命题，则为真命题
D．在中，“”是“”的充要条件
【答案】C
【解析】根据原命题与逆否命题的等价性判断；根据特称命题的否定是全称命题判断；根据特殊值判断；由正弦定理判断.
【详解】
命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题，对；
由特称命题的否定是全称命题可得，命题“”的否定是“”正确，对；
当时，为真命题，为假命题，错；
因为“”与“”等价，由正弦定理可得“”与“”等价，所以“”是“”的充要条件，对,故选C.
【点睛】
本题主要通过对多个命题真假的判断，综合考查原命题与逆否命题的等价性、特称命题的否定、特殊值的应用以及由正弦定理的应用，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
5．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的符号判断出函数的单调性，然后结合所给选项进行判断即可得到正确的结果．
【详解】
由导函数的图象可知，当时，，所以函数为增函数；
当时， ，所以函数为减函数；
当时，，所以函数为增函数．
结合各选项可得C正确．
故选C．
【点睛】
解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系，即导函数大（小）于零时，函数单调递增（减），由此可得导函数图象的大体形状．
6．已知曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
【答案】A
【解析】因为，所以，由已知得，解得，故选A.
7．已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：，是增函数，故需
，，所以.
【考点】函数的单调性．
8．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求得函数的导数，对分成两种情况，根据函数的单调区间以及零点存在性定理列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
.
①当时，若，则，此时函数在区间上单调递增，不可能有两个零点；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，若函数在区间内有两个零点，有，得.故选B.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
9．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
【答案】C
【解析】计算两顶点的距离，然后按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，可得结果.
【详解】
由题可知：双曲线的方程为
所以可知：，
当过焦点直线斜率不存在时，，有1条
当过焦点直线斜率存在时，
双曲线的定点距离为，有2条
故选：C
【点睛】
本题考查直线与双曲线的几何关系的应用，重点在于对直线斜率的划分，容易忽略的是斜率不存在的时候也满足，审清题干，属基础题.
10．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x
C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x
【答案】B
【解析】求函数在处的导数即可求解.
【详解】
∵，．令，得，
.故.
【点睛】
本题主要考查导数定义的运用.求解在处的导数是解题的关键.
11．已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）
A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－
【答案】A
【解析】根据函数的极值点以及极值，计算，可得，最后可得结果.
【详解】
由题可知：
所以
即
可得或
当时，可知
令，所以或
令，所以
函数在递增，在递减
所以可知函数在处取极小值，故不符合题意
所以，所以
故选：A
【点睛】
本题考根据函数的极值点以及极值求参，重在于理解和计算，属基础题.
12．如果函数f(x)＝x3－x满足：对于任意的x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，则a的取值范围是( )
A．[－，]
B．[－，]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝x2－1，
∴当0
0，f(x)单调递增.
∴f(x)＝x3－x在x＝1时取到极小值，也是x∈[0,2]上的最小值，
∴f(x)极小值＝f(1)＝－＝f(x)最小值，
又∵f(0)＝0，f(2)＝，
∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝，∵对于任意的x1，x2∈[0,2]，
∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，
∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝－(－)＝即可，
∴a≥或a≤－.
故选D.
点睛：本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立和分类讨论思想的应用，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
二、填空题
13．设函数，则在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题意知，，则切线的斜率，∴切线的方程为，即 .
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
14．已知函数,则它的递减区间为__________.
【答案】
【解析】利用导数，令，可得结果.
【详解】
由题可知：
令，所以
故函数递减区间为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间，熟练掌握用导数求单调区间的方法，重在于计算，同时对于含参数的函数要使用分类讨论的方法，属基础题.
15．已知函数是奇函数，，当时，则不等式<0的解集为_______．
【答案】
【解析】由函数的单调性和奇偶性可以构建大致函数图象，标明特殊点位置，观察图象即得答案.
【详解】
因为当时，所以函数在上单调递减，
又函数是奇函数，所以在上单调递减且
所以可以草绘函数的大致函数图象，观察可知不等式<0的解集为
故答案为 ：
【点睛】
本题考查由抽象函数的性质解不等式问题，属于中档题.
16．对于函数,若其定义域内存在两个不同的实数， 使得成立，则称函数具有性质,若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】分析：通过分离参数法，确定；构造函数，求出函数的导函数和极值点；画出函数图像研究 的取值范围．
详解：若函数具有性质，则 有两个不等实数根
代入得
即在R上有个两个不等实数根
令
则，令
得 ，所以列出函数及其导数的表格如下所示：
-1
﹣
0
+
单调递减
极小值
单调递增
根据表格，画出如下图所示的函数图像
由图像可知，在R上有个两个不等实数根
即 与的图像有两个不同交点，由极小值 可知
当有两个交点时， 的取值范围为.
点睛：本题考查了函数与导数的综合应用，分离参数、构造函数、利用单调性与极值画出函数图像，进而分析取值范围，涉及知识点多、综合性强，是函数的常考点．
三、解答题
17．在直角坐标系中，曲线（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过原点的直线与曲线，分别相交于异于原点的点，，求的最大值.
【答案】（1），；（2）4
【解析】（1）直接利用参数方程公式和极坐标公式计算得到答案.
（2）得到曲线的极坐标方程，得到，计算得到答案.
【详解】
（1）消去得到
，等式两边同乘可得，
且代入化简得
（2）由曲线，的极坐标方程为，.
，当时取得等号.故最大值为4
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．设命题：函数无极值．命题，
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由命题真时，可得恒成立，得，即可求解；
（2）求得A={}， B={}，根据是的充分不必要条件，转化为BA，列出不等式组，即可求解。
【详解】
（1）由题意，命题真时，则恒成立，
所以，解得
（2）命题真：，设集合A={}，集合B={}
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
即BA，则有，解得，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中准确求解命题对应的集合是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。
19．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值
【答案】（1）；
（2）面积最大为．
【解析】（1）设出点的坐标，由为线段的中点得到的坐标，把的坐标代入圆整理得线段的中点的轨迹方程；（2）联立直线和椭圆，求出的长；设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值．
【详解】
设，由题意，
为线段的中点，
即
又在圆上，
，即，
所以轨迹为椭圆，且方程为.
联立直线和椭圆，
得到，即
即有
设过且与直线平行的直线为，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将代入椭圆方程得：
由相切的条件得
解得，
则所求直线为或，
故与直线的距离为，
则的面积的最大值为.
【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．
20．设函数f（x）=lnx-x2+x.
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值.
【答案】（I）f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）; （II）f（x）max=f（1）=0.
【解析】【详解】试题分析：（1）求导,可得单调区间；
（2）根据单调性可求最值.
试题解析：
（I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x>0
所以f '（x）=-2x+1=-
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.
（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0.
21．已知函数有极值.
（1）求的取值范围；
（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知中函数解析式，求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数有极值，方程f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（2）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．
【详解】
（1）∵，
∴，
因为有极值，则方程有两个相异实数解，
从而，
∴．∴c的取值范围为.
（2）∵在处取得极值，
∴，∴.
∴，
∵
∴当时，，函数单调递增；当时，
，函数单调递减.∴当x<0时，在x=-1处取得最大值，
∵x<0时，恒成立，
∴，即，
∴ 或，∴d的取值范围为．
【点睛】
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
22．函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2) 或
【解析】（1）先求得函数的导函数和定义域，对分成等种情况，分类讨论函数的单调性.（2）将分离常数化为，构造函数，利用导数求得的单调性和最值，由此求得的取值范围.
【详解】
（1），
（i）当时，，令,得，令,得，
函数在上单调递增，上单调递减；
（ii）当时，令，得,
令,得，令,得，
函数在和上单调递增，上单调递减；
（iii）当时，，函数f(x)在上单调递增；
（iv）当时，
令,得，令,得
函数在和上单调递增，上单调递减；
综上所述：当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）当时，，由，得，
又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，
只需有唯一实数解，
令，∴，
由得；得，
∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.
，，，故或
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.