河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学（文）试题（解析版）

河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学（文）试题（解析版）

河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试 数学（文）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式得到集合，根据指数函数的性质求出的值域B，取交集即可．‎ ‎【详解】，‎ ‎，则，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算，考查解不等式问题，指数函数的性质，准确求出集合A，B是解题的关键，属于基础题．‎ ‎2.已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算法则求出，由此能求出复数的虚部．‎ ‎【详解】∵复数满足：(其中为虚数单位)，‎ ‎∴．‎ ‎∴复数的虚部等于，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．‎ ‎3.命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )‎ A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.‎ ‎【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，‎ 对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，‎ 又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，‎ 由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．‎ ‎4.正项等比数列中的，是函数的极值点，则( )‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，由于，是函数的极值点，可得，，即可得出结果．‎ ‎【详解】，∴，‎ ‎∵，是函数的极值点，‎ ‎∴，又，∴．‎ ‎∴，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎5.已知是正方形的中心，若，其中，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量加减运算的三角形法则以及平面向量基本定理求出，，即可得出答案．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．平面向量基本定理补充说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行，（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...‎ ‎6.在中，角所对的边分别为，且.若，则的形状是( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合，利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得，代入，可得，进而可得结论.‎ ‎【详解】在中，∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，代入，∴，解得．‎ ‎∴的形状是等边三角形，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点的纵坐标易得，求出，根据三角形的面积公式得到，结合范围得出，将所求等式利用三角恒等式可化简将代入即可得结果.‎ ‎【详解】角、角的终边分别交单位圆于、两点，‎ ‎∵点的纵坐标为，∴，，‎ ‎∵，∴，，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎ ，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎8.已知公比不为1的等比数列的前项和为，且满足、、成等差数列，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 公比不为1的等比数列的前项和为，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.‎ ‎【详解】公比不为1的等比数列的前项和为，、、成等差数列，‎ 可得，即为，即，‎ 解得（1舍去），则，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，若函数与图象的交点为，，…，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的解析式可得，求出的对称轴为，根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴的图象关于直线对称，‎ 又的图象关于直线对称，‎ 当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，‎ ‎∴，‎ 当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，‎ ‎∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到，属于中档题．‎ ‎10.将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解．‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，‎ 又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．‎ ‎∴，当时，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，解得，∴的取值范围是，故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．‎ ‎11.已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可．‎ ‎【详解】函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，‎ 化为：，即，；‎ 令，（），．‎ 令，，‎ 函数在单调递增，，‎ ‎∴时，，，函数单调减函数，时，，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出，，求出的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，求出的最小值，问题转化为只需即可，求出的范围即可．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ ‎∴，解得，，解得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴在递增，而，‎ ‎∴在恒成立，在恒成立，‎ ‎∴在递减，在递增，∴，‎ 若存在实数使得不等式成立，‎ 只需即可，解得：，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，属于中档题．由，得函数单调递增，得函数单调递减；注意区分“恒成立问题”与“能成立问题”之间的区别与联系.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.平面向量与的夹角为，，，则等于____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的数量积的定义，可得 ，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】由向量与的夹角为，，|，可得，，‎ 则，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎14.在中，分别是内角的对边且为锐角，若，，，则的值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及正弦定理可得，利用三角形面积公式可得，联立①②可得，，利用同角三角函数基本关系式可求，由余弦定理可得的值.‎ ‎【详解】∵，∴，可得：，①‎ ‎∵，，‎ ‎∴，②‎ ‎∴联立①②可得，，‎ ‎∵，且为锐角，∴，‎ ‎∴由余弦定理可得：，解得：，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题.‎ ‎15.已知数列的前项和为，且满足：，，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，则，化为：，由，，可得，可得数列是等比数列，首项为2，公比为2，即可得出．‎ ‎【详解】，则，‎ 化为：．‎ 由，，可得，‎ 因此对都成立．‎ ‎∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎∴，即，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有交点得出的范围即可．‎ ‎【详解】关于直线对称的直线为，‎ ‎∴直线与在上有交点，‎ 作出与的函数图象，如图所示：‎ 若直线经过点，则，若直线与相切，‎ 设切点为，则，解得．‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，且满足，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】（1） .； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为，由，得，‎ 则有，所以，故 .‎ ‎(2)由(1)知，，则，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎18.在中, 内角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为,且,求.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值．‎ 试题解析：（1）由及正弦定理可得,,,又因为.‎ ‎（2）①,‎ 又由余弦定理得,代入①式得,‎ 由余弦定理．‎ ‎,得.‎ 考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．‎ ‎19.已知数列中，，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件推导出，从而得到，由此能求出结果；（2）由，利用裂项求和法求出，从而得到为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围．‎ ‎【详解】(1)证明：由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，‎ 从而；‎ ‎(2)，‎ ‎.‎ ‎，两式相减得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ 若为偶数，则，∴，‎ 若为奇数，则，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．‎ ‎20.已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果．‎ ‎【详解】∵，得，得，‎ 即，所以，‎ 又，∴，故，，‎ ‎.‎ ‎(2)，所以，得①，‎ 由(1)得，所以.‎ 在中，由正弦定理，得，即②，‎ 联立①②，解得，，则，所以.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，分为和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的，恒有成立，即，根据，分离，从而求出的范围即可．‎ ‎【详解】(1)函数定义域为，且，‎ 令，得，，‎ 当时，，函数在定义域单调递减；‎ 当时，由，得；由，得或，‎ 所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.‎ 综上所述，‎ 当时，在定义域单调递减；‎ 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.‎ ‎(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.‎ 问题等价于：对任意的，恒有成立，即.‎ 因为，则，∴，‎ 设，则当时，取得最小值，‎ 所以，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．‎ ‎22.已知函数(其中，是自然对数的底数).‎ ‎(1)若，当时，试比较与2的大小；‎ ‎(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而比较大小即可；（2）问题转化为方程有两个根，设，根据函数的单调性，结合函数图象证明即可．‎ ‎【详解】(1)当时，，则，令，，‎ 由于，故，于是在为增函数，‎ 所以，即在恒成立，‎ 从而在为增函数，故.‎ ‎(2)函数有两个极值点，，则是的两个根，即方程有两个根，‎ 设，则，‎ 当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示：‎ 故实数的取值范围是，又由上可知函数的两个极值点，满足，由 得，‎ ‎∴，由于，‎ 故，所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属于难题，通过对导函数进行求导，判断导函数的单调性，得到其与0的关系是解题的关键.‎ ‎ ‎