数学理卷·2017届湖南省六校（湘潭市一中、长沙一中、师大附中等）高三下学期联考（2017

数学理卷·2017届湖南省六校（湘潭市一中、长沙一中、师大附中等）高三下学期联考（2017

湖南省2017届高三六校联考试题 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数的共轭复数的虚部是（ ）‎ A． 2 B．-2 C． D．‎ ‎3.若点到直线的距离比到点的距离大1，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知数列满足：对于，都有，且，那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ A． 8 B． 17 C. 29 D．83‎ ‎6.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的两种药品捐献给贫困地区某医院，其中药品至少100箱，药品箱数不少于药品箱数.则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（ ）‎ A．200 B． 350 C. 400 D．500‎ ‎8.圆的半径为3，一条弦为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设函数，则关于函数有以下四个命题：（ ）‎ ‎①；②；③函数是偶函数；④函数是周期函数.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A． 4 B．3 C. 2 D．1‎ ‎10. 若函数的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.一个总体分为两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为 ．‎ ‎14.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器----商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为 ．‎ ‎15.设是双曲线的右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线的对称点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项.若，其中为给定的正整数，则的所有可能取值的和为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度）. ，‎ ‎.‎ ‎（1）求道路的长度；‎ ‎（2）求生活区面积的最大值.‎ ‎18.如图，三棱柱中，底面分别是棱的中点，是棱上的动点.‎ ‎（1）当为何值时，平面平面？‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19.随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物的概率为，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物，若化验结果呈阳性则含，呈阴性则不含.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.‎ ‎（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；‎ ‎（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：‎ 方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；‎ 请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆.过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意，恒有不等式成立.‎ ‎①求实数的值；②证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若曲线的左焦点在直线上，且直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求的值并写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）求证：中至少有一个不小于.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBDAC 6-10: DCDAC 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 48 14. 3 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解析: （1）‎ 如图，连接，在中，由余弦定理得：‎ ‎，∴.‎ ‎∵，∴，‎ 又，∴.‎ 在中，所以.‎ ‎（2）设，∵，∴.‎ 在中，由正弦定理，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴当，即时，取得最大值为，‎ 即生活区面积的最大值为.‎ 注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解.‎ ‎18.【解析】（1）‎ 当为中点（即）时，平面平面.‎ 证明如下:由于且,∴,故四点共面.‎ 连接交于.在正方形中，，故，即.又平面，平面，所以，又因为，故平面，从而平面平面.‎ ‎（2）‎ 三棱柱中, 底面，于是可以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 因为分别是棱的中点，所以，.‎ 由（1）知平面的法向量为，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 令得，‎ 设平面与平面所成的锐二面角为，‎ 则.‎ ‎19.【解析】（1）设为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，‎ 所求的概率为，‎ 所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为.‎ ‎（2）设，则.‎ 方案一：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为2，4，6次，‎ ‎，‎ ‎.‎ 方案二：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为1，5次，‎ ‎，.‎ 因为，即，‎ 所以方案二更适合.‎ ‎20.【解析】（1）由题设知，，，又，‎ 解得.‎ 故所求椭圆的方程是.‎ ‎（2）①，则有，化简得，‎ 对于直线，同理有，‎ 于是是方程的两实根，故.‎ 考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.‎ 由，得，于是有.‎ 直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令，得，‎ 故直线过定点.‎ ‎21.【解析】（1），则 ‎.‎ 当时，，故单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；‎ 当时，有唯一解，此时，则.‎ 注意到，因此.‎ ‎（2）①当时，单调递增，的值域为，不符合题意；‎ 当时，则，也不符合题意.‎ 当时，由（1）可知，，故只需.‎ 令，上式即转化为，‎ 设，则，因此在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.‎ 因此，，从而有.‎ 故满足条件的实数为.‎ ‎②由①可知，因而只需证明：，恒有.‎ 注意到前面已经证明：，因此只需证明：.‎ 当时，恒有，且等号不能同时成立；‎ 当时，设，则，当时，是单调递增函数，且，因而时恒有；从而时，单调递减，从而，即.‎ 故.‎ ‎22.【解析】（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，‎ 故，曲线的方程.‎ ‎（2）直线的参数方程为，与曲线的方程联立，‎ 得，则，‎ ‎，故.‎ ‎23.【解析】（1）当时，，‎ 无解；，解得；，解得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）：法一：由，‎ 故中至少有一个不小于.‎ 法二：（反证法）若都小于，‎ 则，前两式相加得与第三式矛盾.‎