专题2-7 几何体与球切、接的问题(测)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测

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专题2-7 几何体与球切、接的问题(测)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测

‎2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标理科数学】‎ 测---能力提升 热点七 几何体与球切、接的问题 总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1.【2018届福建省福州市高三上学期期末】已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上, 可得,球的表面积为,故选D.‎ ‎2.【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】已知球面上有A、B、C三点,且AB=AC=,BC=,球心到平面ABC的距离为,则球的体积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3.【2018届福建省福州市高三上学期期末】已知圆锥的高为3,它的底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图:‎ 设球心到底面圆心的距离为,则球的半径为,由勾股定理得 解得,故半径, ‎ 故选.‎ ‎4.【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】正三棱柱的顶点都在同一个球面上,若球的半径为4,则该三棱柱侧面面积最大值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎5.【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】由题可知该几何体为轴截面为正三角形的圆锥,底面圆的直径为2,高为 ‎∴外接球半径 ‎∴外接球表面积 故选A ‎6.已知球面上的三个点,且,球的半径为,则球心到平面的距离等于( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,得球心在面的射影为的外心,因为,所以,即是以为钝角的等腰三角形,则外心在高 的延长线上,设,则,解得,即.故选B. ‎ ‎7.【2018届四川省乐山四校第三学期半期联考】如图,在等腰梯形中, , 为中点.将与分别沿、折起,使、重合于点,则三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8.已知直角三角形的三个顶点在半径为的球面上,两直角边的长分别为和 ‎,则球心到平面的距离为( )‎ A. 5 B. 6 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知,直角三角形的斜边为直角三角形所在小圆的直径,其直径为: ,‎ 在大圆内应用勾股定理可得:球心到平面的距离为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,, ,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是( )‎ ‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【答案】A ‎10.【2018届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考】若正四棱锥内接于球,且底面过球心,则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设外接球半径为R,由题意可知,OA=OB=OC=OD=OP=R,设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r,由等体积法,所以选A.‎ ‎11.【2018届云南民族大学附属中学高三上学期期末】已知一个球的表面上有A、B、C三点,且,若球心到平面ABC的距离为1,则该球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′,‎ 设截面圆O′的半径为r,由正弦定理可得2r=4,解得r=2,‎ 设球O的半径为R,∵球心到平面ABC的距离为1,‎ ‎∴由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5,‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=20π。‎ 故答案为:A。‎ ‎12.已知是球的球面上三点,,,,且棱锥的体积为,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在中,由正弦定理,即,所以,,所以,,由得球心到平面的距离为,由于为直角三角形,设斜边中点为,则面,在中,球的半径,所以球的表面积,选D.‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13.【2018届山东省寿光市高三上学期期末】已知正四棱柱的顶点在同一球面上,且球的表面积为,当正四棱锥的体积最大时,正四棱柱的高为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】球的表面积为,故得到球的半径为正四棱柱的外接球球心在体对角线上的中点处,设底面边长为a,高为h,则得到 ‎ 当h=2时,体积最大。‎ 故答案为:2.‎ ‎14.【2018届福建省宁德市高三第一次质量检查】若正三棱台的上、下底面边长分别为和,高为1,则该正三棱台的外接球的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示, 分别为上下底面的外心,则外接球球心O则在线上,‎ 连接并延长交于D1,连接C并延长交AB于D,‎ ‎∵等边三角形的边长为cm,∴,‎ ‎∵等边三角形ABC的边长为cm,∴C=CD=cm,‎ 若点在线段由上,则,‎ 得,无解.‎ 若点在线段由外,则,‎ 得,,解得.‎ 则该正三棱台的外接球的表面积为.‎ 故答案为: .‎ ‎15.【2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次】已知四面体,则该四面体外接球的大圆的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16.已知三棱锥,满足两两垂直,且,是三棱锥外接球上一动点,则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知,可将三棱锥放入正方体中,其长宽高分别为,则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上,因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等,则. 则到面距离的最大值为.‎ 三、 解答题(共6道小题,共70分)‎ ‎17. 过球表面上一点引三条长度相等的弦、、,且两两夹角都为,若球半径为,求弦的长度.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件可抓住是正四面体,、、、为球上四点,则球心在正四面体中心,设,则截面与球心的距离,过点、、的截面圆半径,所以得.‎ ‎18. 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少?‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先作出轴截面,弄清楚圆锥和球相切时的位置特征,利用铁球取出后,锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积,列式求解.如图作轴截面,设球未取出时水面高,球取出后,水面高 ‎∵,,‎ 则以为底面直径的圆锥容积为,‎ 球取出后水面下降到,水体积为.‎ 又,则, 解得.‎ ‎19. 【改编自浙江高考题】已知球的面上四点A、B、C、D,,,,求球的体积.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】本题用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于,,联想长方体中的相应线段关系,构造如图所示的长方体,又因为,则此长方体为正方体,所以长即为外接球的直径,利用直角三角形解出.故球的体积等于.‎ ‎20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形中,,,为的中点,将与分布沿、向上折起,使重合于点,求三棱锥的外接球的体积.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图,因为,,所以 ‎,即三棱锥为正四面体,至此,不难求得三棱锥外接球的体积是.‎ ‎21. 一个正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,五个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设外接球半径为R,在△OO1A中有解得.‎ ‎∴.‎ ‎22. 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过3个点的小圆的周长为,求这个球的半径.‎ ‎【答案】.‎
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