2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十章第二讲　双曲线

2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十章第二讲　双曲线

第二讲　双曲线 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2019全国卷Ⅰ,10,5分][文]双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(　　)‎ A.2sin 40° B.2cos 40° C.‎1‎sin50°‎ D.‎‎1‎cos50°‎ ‎2.[2020湖南师大附中高三摸底改编]给出以下关于双曲线的命题:‎ ‎①双曲线y‎2‎‎9‎‎-‎x‎2‎‎4‎=1的渐近线方程是y=±‎2‎‎3‎x;‎ ‎②若点(2,3)在焦距为4的双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=2;‎ ‎③若点F,B分别是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上;‎ ‎④等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于‎2‎;‎ ‎⑤若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)与y‎2‎b‎2‎‎-‎x‎2‎a‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则‎1‎e‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎e‎2‎‎2‎=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线).‎ 以上说法正确的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.[2019全国卷Ⅲ,10,5分]双曲线C:x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎4‎ B.‎3‎‎2‎‎2‎ C.2‎2‎ D.3‎‎2‎ ‎4.[2019全国卷Ⅱ,12,5分][文]设F为双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ ‎5.[2018天津,7,5分][文]已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1 B.x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1 C.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎12‎=1 D.x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考法1 双曲线定义的应用 ‎1(1)已知点F1( - 3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 A.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1(y>0) B.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1(x>0)‎ C.y‎2‎‎4‎‎-‎x‎2‎‎5‎=1(y>0) D.y‎2‎‎4‎‎-‎x‎2‎‎5‎=1(x>0)‎ ‎(2)已知F1,F2为双曲线C:x2 - y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎(1)由题设知点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支,(注意“距离之差”与“距离之差的绝对值”的区别)‎ 设其方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,则b2=5,所以点P的轨迹方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1(x>0).‎ ‎(2)由双曲线的方程得a=1,c=‎2‎,‎ 由双曲线的定义得||PF1| - |PF2||=2.‎ 在△PF1F2中,由余弦定理得 ‎|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|·|PF2|cos 60°,‎ 即(2‎2‎)2=|PF1|2+|PF2|2 - |PF1|·|PF2|‎ ‎=(|PF1| - |PF2|)2+|PF1|·|PF2|‎ ‎=22+|PF1|·|PF2|,‎ 解得|PF1|·|PF2|=4.‎ ‎(1)B　(2)B ‎1.[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C:x‎2‎‎2‎ - y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为(　　)‎ A.1 B.2+‎15‎‎5‎ C.4+‎15‎‎5‎ D.2‎2‎+1‎ 考法2 求双曲线的标准方程 ‎2 [2017全国卷Ⅲ,5,5分]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,且C与椭圆x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1有公共焦点,则C的方程为 A.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎10‎=1　 B.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1　 C.x‎2‎‎5‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1　 D.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1‎ 思路一　根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭圆共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程.‎ 思路二　利用与椭圆共焦点的双曲线方程的设法求解.‎ 解法一　根据双曲线C的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,可知ba‎=‎‎5‎‎2‎　①.因为椭圆x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的焦点坐标为(3,0)和( - 3,0),所以a2+b2=9　②,根据①②可知a2=4,b2=5.‎ 所以双曲线C的方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1.‎ 解法二　因为双曲线与椭圆有共同的焦点,所以设双曲线方程为x‎2‎‎12 - λ‎+‎y‎2‎‎3 - λ=1(3<λ<12).‎ 令x‎2‎‎12 - λ‎+‎y‎2‎‎3 - λ=0,得y2=λ - 3‎‎12 - λx2.‎ 又双曲线的渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,‎ 所以λ - 3‎‎12 - λ‎=‎‎5‎‎4‎,解得λ=8.‎ 所以双曲线C的方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1.‎ B ‎3[2019辽宁五校联考]已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±‎3‎x,则该双曲线的标准方程是 A.‎7‎x‎2‎‎16‎‎-‎y‎2‎‎12‎=1　B.y‎2‎‎3‎‎-‎x‎2‎‎2‎=1　C.x2 - y‎2‎‎3‎=1　D.‎3‎y‎2‎‎23‎‎-‎x‎2‎‎23‎=1‎ 解法一　若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),则由题意可得‎4‎a‎2‎‎ - ‎9‎b‎2‎=1,‎ba‎=‎3‎,‎解得a=1,‎b=‎3‎,‎所以双曲线的标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1;若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为y‎2‎a‎2‎‎-‎x‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),则由题意可得‎9‎a‎2‎‎ - ‎4‎b‎2‎=1,‎ab‎=‎3‎,‎该方程组无解.‎ 综上,所求双曲线的标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1.‎ 解法二　设双曲线的方程为x‎2‎m‎-‎y‎2‎n=1(mn>0),则由题意可得‎4‎m‎ - ‎9‎n=1,‎nm‎=‎3‎,‎解得m=1,‎n=3,‎所以所求双曲线的标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1.‎ 解法三　因为双曲线的渐近线方程为y=±‎3‎x,所以可设双曲线的方程为3x2 - y2=λ(λ≠0),则由双曲线过点(2,3),可得λ=3×22 - 32=3,故双曲线的方程为3x2 - y2=3,其标准方程为x2 - y‎2‎‎3‎=1.‎ C ‎2.[2017天津,5,5分]已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为‎2‎.若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎8‎=1 C.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎8‎=1 D.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1‎ 考点3 双曲线的几何性质 命题角度1　求双曲线的渐近线　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎4(1)[2018全国卷Ⅱ,6,5分][文]双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎3‎,则其渐近线方程为 A.y=±‎2‎x　 B.y=±‎3‎x 　 C.y=±‎2‎‎2‎x　 D.y=±‎3‎‎2‎x ‎(2)[2018全国卷Ⅰ,11,5分]已知双曲线C:x‎2‎‎3‎ - y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=‎ A.‎3‎‎2‎ B.3 C.2 ‎3‎ D.4‎ ‎(1)解法一　由题意知,e=ca‎=‎‎3‎,所以c=‎3‎a,所以b=c‎2‎‎ - ‎a‎2‎‎=‎2‎a,所以ba‎=‎‎2‎,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±‎2‎x.‎ 解法二　由e=ca‎=‎1+(‎ba‎)‎‎2‎=‎‎3‎,得ba‎=‎‎2‎,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±‎2‎x.‎ ‎(2)易知双曲线x‎2‎‎3‎ - y2=1的渐近线方程为y=±‎3‎‎3‎x,所以∠MON=60°.不妨设过点F的直线与直线y=‎3‎‎3‎x交于点M,由△OMN为直角三角形,不妨设∠OMN=90°,则∠MFO=60°,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN的方程为y= - ‎3‎(x - 2),由y= - ‎3‎(x - 2),‎y=‎3‎‎3‎x,‎得x=‎3‎‎2‎,‎y=‎3‎‎2‎,‎所以M(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎),所以|OM|=‎(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎,所以|MN|=‎3‎|OM|=3.‎ ‎(1)A　(2)B 命题角度2　求双曲线的离心率或其范围 ‎ 5[2019全国卷Ⅰ,16,5分]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F‎1‎A‎=‎AB,F‎1‎B·F‎2‎B=0,则C的离心率为　　　　. ‎ 思路一‎ ‎由F‎1‎B·F‎2‎B=0‎推得F‎1‎B⊥F‎2‎B由F‎1‎A=AB推得F‎1‎B⊥OA→由tan∠BOF2=tan 2∠BF1O建立关于a,b的方程→可求得离心率的值 思路二‎ ‎由F‎1‎B·F‎2‎B=0‎推得F‎1‎B⊥F‎2‎B由F‎1‎A=AB推得△OBF‎2‎为等边三角形→由点B在直线y=bax上建立关于a,b的方程→可求得离心率的值 解法一　因为F‎1‎B·F‎2‎B=0,所以 F1B⊥F2B,如图10 - 2 - 1.所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为F‎1‎A‎=‎AB,所以点A为线段F1B的中点,又点O为线段F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF1O=ab,tan∠BOF2=ba.因为tan∠BOF2=‎ tan 2∠BF1O,所以ba‎=‎‎2×‎ab‎1 - (‎ab‎)‎‎2‎,所以b2=3a2,所以c2 - a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2.‎ 解法二　因为F‎1‎B·F‎2‎B=0,所以F1B⊥F2B.在Rt△F1BF2中,|OB|=|OF2|,所以∠OBF2=∠OF2B.又F‎1‎A‎=‎AB,所以A为线段F1B的中点,所以OA∥F2B,所以∠F1OA=∠OF2B.又∠F1OA=∠BOF2,所以△OBF2为等边三角形.由F2(c,0)可得B(c‎2‎,‎3‎c‎2‎),因为点B在直线y=bax上,所以‎3‎‎2‎c=ba·c‎2‎,所以ba‎=‎‎3‎,所以e=‎1+‎b‎2‎a‎2‎=2.‎ 命题角度3　与双曲线有关的范围(或最值)问题 ‎ 6 [2020湘东六校联考]已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1,A2,F为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个端点,若在线段BF上(不含端点)存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=π‎2‎,则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是 A.(1,‎5‎‎+1‎‎2‎) B.(1,‎3‎‎+1‎‎2‎) C.(0,‎5‎‎+1‎‎2‎) D.(‎3‎‎+1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎ 由以A1A2为直径的圆O上存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=π‎2‎→由圆心O到直线BF的距离小于圆的半径a建立关于a,b的不等式→可求得双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围 不妨设点F为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F( - c,0),B(0,b),直线BF的方程为bx - cy= - bc.如图10 - 2 - 2所示,以O为圆心,A1A2为直径作圆O,则P1,P2在圆O上.‎ 由题意可知b>a,‎bcb‎2‎‎+‎c‎2‎‎0,b>0)的左、右焦点,‎ 若双曲线上存在点P满足PF‎1‎·PF‎2‎= - a2,则该双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A.[‎3‎,+∞) B.[‎2‎,+∞) C.(1,‎3‎] D.(1,‎2‎]‎ 考法4 直线与双曲线的综合问题 ‎7 已知双曲线C:x2 - y2=1及直线l:y=kx - 1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为‎2‎,求实数k的值.‎ ‎(1)联立双曲线方程与直线方程,消去y→x2的系数不为0且Δ>0→求k的取值范围 ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)→S△OAB转化为S△OAD±S△OBD→根与系数的关系→解关于k的方程 ‎(1)联立双曲线C与直线l的方程得x‎2‎‎ - y‎2‎=1,‎y=kx - 1,‎消去y整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=0.‎ 因为l与C有两个不同的交点,即上式有两个不同的实数根,‎ 所以‎1 - k‎2‎≠0,‎Δ=4k‎2‎+8(1 - k‎2‎)>0,‎ 解得 - ‎2‎|x2|时,‎ S△OAB=S△OAD - S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1| - |x2|)=‎1‎‎2‎|x1 - x2|;‎ 当A,B分别在双曲线的两支上且x1>x2时,‎ S△OAB=S△OAD+S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1|+|x2|)=‎1‎‎2‎|x1 - x2|.‎ 综上,S△OAB=‎1‎‎2‎|x1 - x2|=‎2‎,‎ 所以(x1 - x2)2=(x1+x2)2 - 4x1x2=(2‎2‎)2,‎ 即(‎ - 2k‎1 - ‎k‎2‎)2+‎8‎‎1 - ‎k‎2‎=8,解得k=0或k=±‎6‎‎2‎.‎ 所以当△AOB的面积为‎2‎时,实数k的值为0或‎6‎‎2‎或 - ‎6‎‎2‎.‎ ‎318‎ ‎1.D　由题意知, - ba=tan 130°=tan(130° - 180°)= - tan 50°,两边平方得c‎2‎‎ - ‎a‎2‎a‎2‎=tan250°=e2 - 1,e2=1+tan250°=‎1‎cos‎2‎50°‎,又e>1,∴e=‎1‎cos50°‎,选D.‎ ‎【思维拓展】　实际上,若双曲线x‎2‎a‎2‎‎ - ‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为θ,则该双曲线的离心率e=|‎1‎cosθ|.‎ ‎2.D　对于①,双曲线y‎2‎‎9‎‎ - ‎x‎2‎‎4‎=1的渐近线方程应是y=±‎3‎‎2‎x,故①不正确;‎ 对于②,双曲线的焦点为( - 2,0),(2,0),‎ ‎2a=|‎(2+2‎)‎‎2‎+(3 - 0‎‎)‎‎2‎‎ - ‎‎(2 - 2‎)‎‎2‎+(3 - 0‎‎)‎‎2‎|=2,a=1,从而离心率e=2,所以②正确;‎ 对于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c‎2‎,±b‎2‎)不满足双曲线的渐近线方程y=±bax,所以③正确;‎ 对于④,由等轴双曲线的性质可得④正确;‎ 对于⑤,由共轭双曲线的性质可知⑤正确.故选D.‎ ‎3.A　设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=‎6‎.又tan∠POF=ba‎=‎‎2‎‎2‎,所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=‎6‎‎2‎‎×‎2‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎,所以S△PFO=‎1‎‎2‎‎×‎6‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎4‎.故选A.‎ ‎4.A　如图D 10 - 2 - 1,由题意知,以OF为直径的圆的方程为(x - c‎2‎)2+y2=c‎2‎‎4‎　①,将x2+y2=a2记为②式,① - ②得x=a‎2‎c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a‎2‎c,所以|PQ|=2a‎2‎‎ - (‎a‎2‎c‎)‎‎2‎.由|PQ|=|OF|,得2a‎2‎‎ - (‎a‎2‎c‎)‎‎2‎=c,整理得c4 - 4a2c2+4a4=0,即e4 - 4e2+4=0,又e>1,解得e=‎2‎,故选A.‎ 图D 10 - 2 - 1‎ ‎5.A　由题意不妨设A(c,b‎2‎a),B(c, - b‎2‎a),双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx - ay=0,则d1=‎|bc - b‎2‎|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎,d2=‎|bc+b‎2‎|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎,‎ 故d1+d2=‎|bc - b‎2‎|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎+‎|bc+b‎2‎|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎bc - b‎2‎+bc+‎b‎2‎c=2b=6,故b=3.‎ 又ca‎=c‎2‎a‎2‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=‎‎1+‎b‎2‎a‎2‎=2,所以b2=3a2,得a2=3.所以双曲线的方程为x‎2‎‎3‎‎ - ‎y‎2‎‎9‎=1.‎ ‎1.D　设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1| - |PF2|=2‎2‎,所以|PF1|=2‎2‎+|PF2|,|PF1|+|PQ|=2‎2‎+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±‎2‎‎2‎x,焦点F2(‎3‎,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为2‎2‎+1,故选D.‎ ‎2.B　由e=‎2‎知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=±x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为( - 4,0),所以c=4,则a2=b2=c‎2‎‎2‎=8.故选B.‎ ‎3. B　由题意可得F1( - c,0),F2(c,0),设P(m,n),则PF‎1‎=( - c - m, - n),PF‎2‎=(c - m, - n),m2+n2≥a2.由PF‎1‎·PF‎2‎=( - c - m, - n)·(c - m, - n)=m2 - c2+n2= ‎ ‎- a2,知m2+n2=c2 - a2,所以c2 - a2≥a2,得c2≥2a2,所以c‎2‎a‎2‎≥2,得e2≥2,所以e≥‎2‎,故选B.‎