2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知抛物线的准线方程是，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. -2 D. -4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，故选B.‎ 考点：抛物线及其性质.‎ ‎2. 已知命题：，总有，则为（ ）‎ A. ，使得 B. ，总有 C. ，使得 D. ，总有 ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题：，总有，‎ 有，总有.‎ 故选B.‎ ‎3. 袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有一个白球；至少有一个红球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；都是白球 ‎【答案】B ‎【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个, 在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立; 在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立; 在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立; 在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立. 故选B.‎ 点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.‎ ‎4. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人 ‎ ‎5. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.‎ ‎6. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，水滴接触水面后半径与时间的关系为，‎ 则圆的面积，‎ 对时间求导可得：，‎ 令可得末时圆面积的变化速率为 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎7. 过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，过弦中点作准线的垂线，做直线的垂线，‎ 过点作准线的垂线，‎ 由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得：，‎ 则弦的中点到直线的距离等于.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．‎ ‎8. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的解析式可得：，则，‎ 函数的解析式为：，.‎ 本题选择A选项.‎ ‎9. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为4，2，则输出的等于（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，， 继续循环；结束输出.‎ 点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.‎ ‎10. 在处有极小值，则常数的值为（ ）‎ A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数，‎ ‎∴，‎ 又在x=2处有极值，‎ ‎∴f′(2)=12−8c+=0，‎ 解得c=2或6，‎ 又由函数在x=2处有极小值，故c=2，‎ c=6时,函数在x=2处有极大值，‎ 故选：A.‎ 点睛：已知函数的极值点求参数的值时，可根据建立关于参数的方程（组），通过解方程（组）得到参数的值后还需要进行验证，因为“”是“为极值点”的必要不充分条件，而不是等价条件，因此在解答此类问题时不要忘了验证，以免产生增根而造成解答的错误．‎ ‎11. 为定义在上的函数的导函数，而的图象如图所示，则的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式可得：‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减；‎ 综上可得：的单调递增区间是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎12. 是双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知渐近线方程为l1：，l2：，‎ 由条件得F到渐近线的距离，则，‎ 在Rt△AOF中，，则.‎ 设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.‎ 在Rt△AOF中，，在Rt△AOB中，.‎ ‎∵，即，即a2=3b2，‎ ‎∴a2=3(c2-a2)，‎ ‎∴，即.‎ 故选C.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.‎ ‎13. 有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.‎ ‎14. 过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则过点，，，四点的圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为(1,1)，半径为1，‎ 由直线与圆相切知，,‎ 所以过点 四点的圆的直径为，的中点为圆心，即圆心为(0,0).‎ ‎.‎ 所以.‎ 过点 四点的圆的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎15. 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：）检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为__________．‎ ‎【答案】22.5‎ ‎【解析】根据频率分布直方图，得；‎ ‎∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，‎ ‎0.3+0.08×5=0.7>0.5；‎ ‎∴中位数应在20∼25内，‎ 设中位数为x，则 ‎0.3+(x−20)×0.08=0.5，‎ 解得x=22.5；‎ ‎∴这批产品的中位数是22.5.‎ 故答案为：22.5.‎ 点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：‎ ‎①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；‎ ‎②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；‎ ‎③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎16. 古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度宽高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为__________时，横梁的强度最大.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直径为d,如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意知,当xy2取最大值时,横梁的强度最大.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 令，‎ 得,令，‎ 解得或(舍去).‎ 当,f′(x)>0;当时,f′(x)<0，‎ 因此,当时,f(x)取得极大值，也是最大值。‎ ‎∴，‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知命题：方程表示圆；命题：双曲线的离心率，若命题“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 若命题p为真命题，则，解得． ‎ 若命题q为真命题，则，解得．‎ 命题“”为真命题，则p为假实数m的取值范围是．‎ 试题解析：‎ 若命题p：方程表示圆为真命题，则，解得． ‎ 若命题q：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．‎ 命题“”为真命题，则p为假命题,q真命题，‎ ‎， ‎ 解得，‎ 综上可得：实数m的取值范围是．‎ ‎18. 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7.0‎ ‎6.5‎ ‎5.5‎ ‎3.8‎ ‎2.2‎ 已知和具有线性相关关系.‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润取到最大值？（保留一位小数）‎ 参考数据及公式：，，‎ ‎ ，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当年产量约为2.7吨时，年利润最大.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）结合题中的数据计算可得，则，， ‎ ‎∴关于的线性回归方程是，‎ ‎（Ⅱ）结合(Ⅰ)中的结论计算可得年利润， 由二次函数的性质可知当年产量约为2.7吨时，年利润最大.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）结合题中的数据计算可得，‎ ‎∴，， ‎ ‎∴关于的线性回归方程是，‎ ‎（Ⅱ）年利润， ‎ 其对称轴为，故当年产量约为2.7吨时，年利润最大.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎19. 已知圆：，直线过定点.‎ ‎（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若与圆相交于、两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.（其中点是圆的圆心）‎ ‎【答案】（Ⅰ）x=1或3x-4y=3；（Ⅱ）最大为2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）分类讨论：‎ 直线无斜率时，直线的方程为，此时直线和圆相切，‎ 直线有斜率时，结合圆心到直线的距离等于半径得到关于k的方程，解方程可得，则直线方程为，‎ 综上可得直线方程为x=1或3x-4y=3.‎ ‎（Ⅱ）结合三角形面积公式可知，当，面积有最大值，‎ 由几何关系可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式可知直线的斜率或1，则直线方程为：.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直线无斜率时，直线的方程为，此时直线和圆相切，‎ 直线有斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得：，直线方程为，‎ 故所求直线方程为x=1或3x-4y=3.‎ ‎（Ⅱ）面积最大时，，，‎ 即是等腰直角三角形，由半径得：圆心到直线的距离为，‎ 设直线的方程为：或1，‎ 直线方程为：.‎ ‎20. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120分、人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为，，，，，，现随机从中抽取2人上台抽奖.求和至少有一人上台抽奖的概率；‎ ‎（Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样可得，故可求n的值；‎ ‎（Ⅱ）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；‎ ‎（Ⅲ）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意可得，∴n=160；‎ ‎（Ⅱ）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，‎ 其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，‎ ‎∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；‎ ‎（Ⅲ）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，‎ 由条件得到的区域为图中的阴影部分，‎ ‎（指出点形成的正方形一分,不等式组一分,画出图形一分,算出阴影部分面积2分）‎ 由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1，‎ ‎∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为，‎ 设“该运动员获得奖品”为事件N,‎ 则该运动员获得奖品的概率P（N）==‎ 考点：程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，判断的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最大值f(e)＝；（Ⅱ）见解析；（III）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）求解导函数有f′(x)＝（x＞0），由导函数研究函数的单调性可得当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝． ‎ ‎（Ⅱ）a=1,,令，则，,则.在x>0时单调递减.‎ ‎（III）令 ，原问题等价于h（x）有两个零点，，‎ 结合(Ⅰ)的结论可得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），‎ 当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，‎ 所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝． ‎ ‎（Ⅱ）a=1,,令，‎ ‎，当，‎ 当，,即，‎ ‎.故在x>0时单调递减.‎ ‎（III） g(x)有两个零点等价于h（x）有两个零点，‎ 由（1）知，‎ 由图像可知.‎ ‎22. 已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.、是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）=2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知：＝ ，．‎ 又圆与直线相切，，，‎ 故所求椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，其中，‎ 将代入椭圆的方程整理得：，‎ 故．①‎ 又点到直线的距离分别为，‎ ‎，‎ 所以四边形的面积为 ‎ ，‎ 当，即当时，上式取等号，所以当四边形面积的最大值时，．‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式．‎